高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆与圆的位置关系随堂练习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆与圆的位置关系随堂练习题，共15页。试卷主要包含了若圆C1，当实数m变化时,圆C1，已知A是圆C1，已知圆C1，圆心都在直线l，已知圆O1，已知两圆C1等内容，欢迎下载使用。

题组一 圆与圆的位置关系
1.(2020北京第一次普通高中高二学业水平考试)圆x2+(y-1)2=1与圆(x-1)2+y2=1的公共点的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.(2020四川遂宁中学高二上段考)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=( )
A.21 B.9 C.-21 D.-9
3.(多选题)(2020江苏泰州高一下期末)当实数m变化时,圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-m)2+(y-1)2=4的位置关系可能是( )
A.外离 B.相切 C.相交 D.内含
4.已知A是圆C1:x2+y2=1上的动点,B是圆C2:(x-3)2+(y-4)2=1上的动点,则|AB|的取值范围为 .
5.已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,问:m为何值时,
(1)圆C1与圆C2外切?
(2)圆C1与圆C2内含?
(3)圆C1与圆C2只有一个公共点?
题组二 两圆的公共弦问题
6.(2020湖北部分重点中学高一下期末)圆心都在直线l:x+y=0上的两圆相交于两点M(m,3),N(-3,n),则m+n=( )
A.-1 B.1 C.0 D.2
7.(2020黑龙江哈尔滨师范大学附属中学高二月考)圆x2+y2-2x-8=0和圆x2+y2+2x-4y-4=0的公共弦长为( )
A.7 B.2 C.1 D.27
8.已知圆C1:x2+y2-4x+2y=0与圆C2:x2+y2-2y-4=0.
(1)求证:两圆相交;
(2)求两圆公共弦所在直线的方程.
9.(2021山西阳泉盂县第三中学高三上第一次月考)已知圆O1:x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心为O2(2,1).
(1)若圆O1与圆O2外切,求圆O2的方程;
(2)若圆O1与圆O2交于A,B两点,且|AB|=22,求圆O2的方程.
题组三 两圆的公切线问题
10.(2020山西大学附属中学校高二第四次诊断)已知两圆C1:x2+y2=16,C2:x2+y2+2x+2y-7=0,则两圆公切线的条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.(2021江西南昌第二中学高二上第一次月考)若圆C:x2+y2=5-m与圆E:(x-3)2+(y-4)2=16有三条公切线,则m的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
12.(2021浙江“七彩阳光”新高考研究联盟高三上返校联考)已知A(-1,3),B(2,-1)两点到直线l的距离分别是2和3,则满足条件的直线l的条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
能力提升练
题组一 由圆与圆的位置关系求参数的值(或取值范围)
1.()集合M={(x,y)|x2+y2≤4},N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2,r>0},且M∩N=N,则r的取值范围是( )
A.(0,2-1) B.(0,1]
C.(0,2-2] D.(0,2]
2.(2021江西南昌第二中学高二上第一次月考,)两圆x2+y2=16与(x-4)2+(y+3)2=r2(r>0)在交点P处的切线互相垂直,则r=( )
A.5 B.4 C.3 D.22
3.(2020江苏南京师范大学附属中学高一下期末,)若圆C:x2+(y-4)2=18与圆D:(x-1)2+(y-1)2=R2的公共弦长为62,则圆D的半径为( )
A.5 B.25 C.26 D.27
题组二 由圆与圆的位置关系求圆的圆心、半径或方程
4.(2020江苏南通高三高考模拟,)在平面直角坐标系xOy中,已知过点(-10,0)的圆M与圆x2+y2-6x-6y=0相切于原点,则圆M的半径是 .
5.(2020广西兴安第三中学高一下开学适应性检测,)已知圆M:x2+y2-2mx+4y+m2-1=0与圆N:x2+y2+2x+2y-2=0相交于A、B两点,且这两点平分圆N的圆周,求圆M的圆心坐标.
6.()求与圆M:(x-1)2+y2=1外切,且与直线x+3y=0相切于点Q(3,-3)的圆N的方程.
题组三 圆与圆位置关系的综合问题
7.(多选题)(2021河北巨鹿中学高二上第一次月考,)已知圆O:x2+y2=9和圆M:x2+y2+6x-4y+9=0交于P、Q两点,下列说法正确的是( )
A.两圆有两条公切线
B.直线PQ的方程为3x-2y+9=0
C.线段PQ的长为61313
D.所有过点P、Q的圆的方程可以记为x2+y2-9+λ(x2+y2+6x-4y+9)=0(λ∈R,λ≠-1)
8.(多选题)(2021江苏高三上联考,)已知点A(-1,0),B(1,0),若圆(x-2a+1)2+(y-2a-2)2=1上存在点M满足MA·MB=3,则实数a的值可以为( )
A.-2 B.-1 C.2 D.0
9.(2020江苏南京高一下期末,)设圆O:x2+y2=r2(r>0),定点A(3,4),若圆O上存在两点到A的距离为2,则r的取值范围是 .
10.(2020吉林白城第一中学高一下期末,)已知圆C1:(x-2csθ)2+(y-2sinθ)2=1与圆C2:x2+y2=1,有下列说法:
①对于任意的θ,圆C1与圆C2始终相切;
②对于任意的θ,圆C1与圆C2始终有四条公切线;
③若P,Q分别为圆C1与圆C2上的动点,则|PQ|的最大值为4.
其中说法正确的序号为 .
11.()某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB,对应的圆心角∠AOB=π3,该地区为打击走私,在海岸线外侧2海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证(如图,其中海域与陆地近似看作在同一平面内),在圆弧的两端点A、B处分别建有监测站,A与B之间的直线距离为10海里.
(1)求海域ABCD的面积;
(2)现海上P点处有一艘不明船只,在A点测得其距A点4海里,在B点测得其距B点219海里.判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD,请说明理由.
答案全解全析
基础过关练
1.C 圆x2+(y-1)2=1的圆心为(0,1),半径r1=1,圆(x-1)2+y2=1的圆心为(1,0),半径r2=1,两圆圆心距为(0-1)2+(1-0)2=2,∵|r1-r2|<22.B 由圆C1:x2+y2=1,得其圆心为C1(0,0),半径r1=1,由圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0,得其圆心为C2(3,4),半径r2=25-m,因为圆C1与圆C2外切,所以32+42=25-m+1,解得m=9,故选B.
3.ABC 圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径r1=1,圆C2:(x-m)2+(y-1)2=4的圆心为C2(m,1),半径r2=2,则|r1-r2|=1,r1+r2=3,∵|C1C2|=m2+12≥1,∴当|C1C2|=1时,两圆内切;当1<|C1C2|<3时,两圆相交;当|C1C2|=3时,两圆外切;当|C1C2|>3时,两圆外离,∴两圆的位置关系可能是相切、相交、外离.故选ABC.
4.答案 [3,7]
解析 由题意知圆C1的圆心为C1(0,0),半径为1;圆C2的圆心为C2(3,4),半径为1.易知|C1C2|=5且两圆外离,所以5-2≤|AB|≤5+2,即3≤|AB|≤7.
5.解析 把圆C1,圆C2的方程化为标准方程,得圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9,其圆心为(m,-2),半径为3,圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4,其圆心为(-1,m),半径为2.
(1)如果圆C1与圆C2外切,那么(m+1)2+(-2-m)2=3+2,整理得m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2,即当m=-5或m=2时,两圆外切.
(2)如果圆C1与圆C2内含,那么(m+1)2+(-2-m)2<3-2,整理得m2+3m+2<0,解得-2(3)如果圆C1与圆C2只有一个公共点,那么两个圆相切,因此(m+1)2+(-2-m)2=3-2或(m+1)2+(-2-m)2=3+2,解得m=-2或m=-1或m=-5或m=2,即当m的值为-2或-1或-5或2时,两圆只有一个公共点.
6.C ∵两圆相交于两点M(m,3),N(-3,n),且两圆的圆心都在直线x+y=0上,∴直线MN垂直于直线x+y=0,则直线MN的斜率k=3-nm-(-3)=3-nm+3=1,得m+n=0.故选C.
7.D 将两圆方程相减得4x-4y+4=0,即x-y+1=0,易知圆x2+y2-2x-8=0的标准方程为(x-1)2+y2=9,则圆心(1,0)到公共弦所在直线的距离d=|1-0+1|2=2,因此所求弦长为29-(2)2=27.故选D.
8.解析 (1)证明:圆C1的方程可化为(x-2)2+(y+1)2=5,圆C2的方程可化为x2+(y-1)2=5,∴C1(2,-1),C2(0,1),两圆的半径均为5,又|C1C2|=(0-2)2+(1+1)2=22∈(0,25),∴两圆相交.
(2)将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程,即(x2+y2-4x+2y)-(x2+y2-2y-4)=0,得x-y-1=0.
9.解析 由圆O1的方程知其圆心为O1(0,-1),半径为2,
所以|O1O2|=(2-0)2+(1+1)2=22.
(1)由圆O1与圆O2外切,可得圆O2的半径为2(2-1),∴圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4(3-22).
(2)由圆O1与圆O2交于A,B两点,可得如图所示的几何关系,
∴由已知可得|O1A|=2,|AC|=2,
∴|O1C|=2,
∵|O1O2|=22,
∴|O2C|=2,故圆O2的半径|O2A|=2,
∴圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
10.B 圆C1:x2+y2=16,其圆心为C1(0,0),半径为4,圆C2:x2+y2+2x+2y-7=0,其标准方程为(x+1)2+(y+1)2=9,圆心为C2(-1,-1),半径为3,两圆圆心距|C1C2|=2,因为|4-3|<2<4+3,所以两圆相交,所以公切线恰有两条.故选B.
11.C 由题意可知两圆外切,圆C的圆心为(0,0),半径为5-m,圆E的圆心为(3,4),半径为4,则32+42=5-m+4,解得m=4.
12.C 分别以A(-1,3),B(2,-1)为圆心,2,3为半径画圆,
因为|AB|=(-1-2)2+(3+1)2=5=2+3,
所以两圆外切,公切线有3条,则满足条件的直线l有3条.故选C.
能力提升练
1.C 由M∩N=N得N⊆M,∴圆x2+y2=4与圆(x-1)2+(y-1)2=r2内切或内含,又两圆的圆心距为2,∴2-r≥2,即02.C 设交点P(x0,y0),则x02+y02=16,(x0-4)2+(y0+3)2=r2,∴r2=41-8x0+6y0,∵两切线互相垂直,∴y0x0·y0+3x0-4=-1,∴3y0-4x0=-16.∴r2=41+2(3y0-4x0)=9,∴r=3.
3.D 联立x2+(y-4)2=18,(x-1)2+(y-1)2=R2,得2x-6y=4-R2,因为圆C的直径为62,且圆C与圆D的公共弦长为62,所以直线2x-6y=4-R2经过圆C的圆心(0,4),则2×0-6×4=4-R2,所以R2=28,所以圆D的半径为27.故选D.
4.答案 52
解析 圆x2+y2-6x-6y=0可化为(x-3)2+(y-3)2=18,圆心坐标为(3,3),半径为32.如图,∵圆M与圆x2+y2-6x-6y=0相切于原点,∴两圆圆心的连线在直线y=x上,可设圆M的圆心为(a,a),则(a+10)2+a2=a2+a2,解得a=-5,∴所求圆M的半径为52.
5.解析 由圆M和圆N的方程易知两圆的圆心分别为M(m,-2),N(-1,-1),两圆方程相减得直线AB的方程为2(m+1)x-2y-m2-1=0.因为A,B两点平分圆N的圆周,所以AB为圆N的直径,直线AB过点N(-1,-1),∴2(m+1)×(-1)-2×(-1)-m2-1=0,解得m=-1,故圆M的圆心坐标为(-1,-2).
6.解析 设圆N的圆心为N(a,b),半径为r,因为圆N与直线x+3y=0相切于点Q(3,-3),所以直线NQ垂直于直线x+3y=0,所以kNQ=b+3a-3=3,即b=3a-43,
圆N的半径
r=|NQ|=(a-3)2+(b+3)2
=(a-3)2+(3a-43+3)2=2|a-3|,
因为圆N与圆M:(x-1)2+y2=1外切,
所以|MN|=(a-1)2+b2=1+r=1+2|a-3|,
即(a-1)2+3(a-4)2=1+2|a-3|,
对该式讨论如下:①当a≥3时,可得a=4,b=0,r=2,此时圆N的方程为(x-4)2+y2=4;
②当a<3时,可得a=0,b=-43,r=6,此时圆N的方程为x2+(y+43)2=36.
故圆N的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+43)2=36.
7.AB A.因为圆O:x2+y2=9和圆M:x2+y2+6x-4y+9=0相交于P、Q两点,所以两圆有两条公切线,故正确;B.圆O:x2+y2=9和圆M:x2+y2+6x-4y+9=0的方程相减得3x-2y+9=0,所以直线PQ的方程为3x-2y+9=0,故正确;C.圆心O到直线PQ的距离d=99+4=91313,所以|PQ|=29-8113=121313,故错误;D.方程可化为x2+y2+6λx1+λ-4λy1+λ+9λ-91+λ=0,而6λ1+λ2+-4λ1+λ2-4×9λ-91+λ=16λ2+36(1+λ)2>0,所以方程x2+y2-9+λ(x2+y2+6x-4y+9)=0(λ∈R,λ≠-1)表示圆,因为λ∈R,λ≠-1,所以由所给方程可得x2+y2=9,x2+y2+6x-4y+9=0,所以该圆恒过P,Q两点,但此方程不能表示圆M,故不正确.故选AB.
8.BD 设点M(x,y),则MA=(-x-1,-y),MB=(-x+1,-y),所以MA·MB=(-x-1)(-x+1)+y2=3,所以M的轨迹方程为x2+y2=4,其圆心为(0,0),半径为2,由此可知圆(x-2a+1)2+(y-2a-2)2=1与圆x2+y2=4有公共点,又圆(x-2a+1)2+(y-2a-2)2=1的圆心为(2a-1,2a+2),半径为1,所以1≤(2a-1)2+(2a+2)2≤3,解得-1≤a≤12.故选BD.
9.答案 (3,7)
解析 根据题意,设以A(3,4)为圆心,2为半径的圆为圆A,易知圆O:x2+y2=r2(r>0)的圆心为O(0,0),半径为r,则两圆圆心距为|OA|=5,因为圆O上存在两点到A的距离为2,所以圆O与圆A相交,所以|r-2|<510.答案 ①③
解析 由圆C1:(x-2csθ)2+(y-2sinθ)2=1与圆C2:x2+y2=1,可得圆心分别为C1(2csθ,2sinθ),C2(0,0),半径分别记为R,r,则R=1,r=1,则圆心距d=(2csθ)2+(2sinθ)2=2,而R+r=2,所以两圆相外切,所以①正确;由①知两圆相外切,故对于任意的θ,圆C1与圆C2始终有三条公切线,所以②不正确;由①知两圆相外切,所以|PQ|max=2(R+r)=4,所以③正确.综上可得,说法正确的序号为①③.
11.信息提取 ①海域ABCD的形状为扇环,且在海岸线(AB)外侧2海里内;
②∠AOB=π3,AB=10;
③PA=4,PB=219.
数学建模 以探究海域监测问题为背景,构建圆的模型解决实际问题.先建立坐标系,得出相关圆的方程,根据题意分析出不明船只在以A为圆心,半径为4的圆上,也在以B为圆心,半径为219的圆上,从而通过解方程组可以确定不明船只的准确位置(即不明船只相应坐标),再判断不明船只是否在海域ABCD内,而海域ABCD的范围也可以通过圆的方程进行表达.
解析 (1)∵∠AOB=π3,AB=10,AD=BC=2,所以OA=OB=AB=10,OD=OA+AD=12,所以S海域ABCD=π32π·π(OD2-OA2)=16π·(122-102)=22π3(平方海里).
(2)以O为原点,OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系.由题意知,点P在以B为圆心,219为半径的圆上,即(x-10)2+y2=76;点P也在以A为圆心,4为半径的圆上,即(x-5)2+(y-53)2=16.
由(x-10)2+y2=76,(x-5)2+(y-53)2=16,
解得x=3,y=33或x=9,y=53,
又海域ABCD内的点满足x2+y2≥100,x2+y2≤144,
由32+(33)2=36<100,92+(53)2=156>144,可知这艘不明船只没有进入海域ABCD.