高中北师大版 (2019)2.2 双曲线的简单几何性质同步达标检测题

这是一份高中北师大版 (2019)2.2 双曲线的简单几何性质同步达标检测题，共21页。试卷主要包含了已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。

题组一 由双曲线的方程研究其简单几何性质
1.(2020湖南长沙雨花高二上期末)双曲线x29-y24=1的实轴长是( )
A.2 B.3 C.4 D.6
2.双曲线x29-y216=1的左焦点与右顶点之间的距离等于( )
A.6 B.8 C.9 D.10
3.(多选题)(2021河北邢台高二上期中)已知双曲线C:x2-y26=1,则( )
A.C的焦距为7
B.C的虚轴长是实轴长的6倍
C.双曲线y26-x2=1与C的渐近线相同
D.点(2,6)在C上
4.(2020北京师大附中上高二期末)M为双曲线y22-x2=1上任意一点,O是坐标原点,则|OM|的最小值是( )
A.1 B.2 C.2 D.22
5.若点(x,y)在双曲线x24-y2=1上,则3x2-2y的最小值是 .
6.(2021黑龙江肇东第四中学高二上期中)若点A(10,23)是双曲线my2-4x2+4m=0上的点,试求该双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标.
题组二 由双曲线的简单几何性质求其标准方程
7.(2020江苏镇江中学高二上第一次月考)已知双曲线x2m-y2m+6=1(m>0)的虚轴长是实轴长的2倍,则该双曲线的标准方程为( )
A.x24-y210=1 B.x26-y212=1
C.x28-y214=1 D.x22-y28=1
8.(2021吉林白城洮南第一中学高二上期中)等轴双曲线(实半轴长与虚半轴长相等)的一个焦点是F1(-6,0),则它的标准方程是( )
A.y218-x218=1 B.x218-y218=1
C.x28-y28=1 D.y28-x28=1
9.(2021河北保定第三中学高二上期中)若双曲线3x2-y2=m的虚轴长为2,则实数m的值为( )
A.-3或1 B.-1或3 C.1或-1 D.3或-3
10.若三个点(-2,1),(-2,3),(2,-1)中恰有两个点在双曲线C:x2a2-y2=1(a>0)上,则该双曲线的方程为 .
题组三 双曲线的离心率
11.(2021北京首都师范大学附属中学高二上期中)双曲线的方程为x216-y29=1,则其离心率为( )
A.45 B.54 C.43 D.34
12.(2021内蒙古通辽开鲁第一中学高二上期中)若双曲线C:x23-y2m=1的离心率为3,则C的虚轴长为( )
A.4 B.23 C.26 D.2
13.(2021江西南昌第十中学高二上期中)双曲线x2m-y2n=1(mn≠0)的离心率为2,且其焦点与椭圆x29+y25=1的焦点重合,则mn的值为( )
A.3 B.3 C.1 D.4
14.(2021江西临川一中暨临川一中实验学校高二上期中)一个焦点为(0,32)且与双曲线x22-y2=1有相同离心率的双曲线的标准方程为( )
A.x26-y212=1 B.y26-x212=1
C.x212-y224=1 D.y212-x26=1
15.(2021广东珠海斗门第一中学高二上10月质量监测)已知椭圆C:x216+y212=1的离心率与双曲线C':x24-y2b2=1(b>0)的离心率互为倒数关系,则b=( )
A.22 B.23 C.4 D.6
16.(2020湖北武汉五校联合体高二下期末)已知双曲线C:x2m-y2n=1,则n>m>0是双曲线C的离心率大于2的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
17.(2021江西南昌第二中学高二上期中)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,若在双曲线的右支上存在一点P,使得|PF1|=2|PF2|,则双曲线C的离心率e的取值范围是 .
18.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若双曲线上存在一点P,使sin∠PF1F2sin∠PF2F1=ac,求该双曲线的离心率的取值范围.
19.过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上,求双曲线的离心率.
题组四 双曲线的渐近线
20.(2021北京首都师范大学附属中学高二上期中)双曲线x22-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于 ( )
A.2 B.22 C.63 D.233
21.已知双曲线x2m2+12+y24m-1=1的实轴长为8,则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A.±74 B.±477
C.±34 D.±43
22.(多选题)(2021广东湛江第二十一中学高三上9月月考)已知双曲线E的一条渐近线方程为y=2x,则该双曲线的标准方程可以是( )
A.x22-y24=1 B.y22-x24=1
C.y22-x2=1 D.x2-y22=1
23.(多选题)(2021湖北武汉外国语学校高二上期中)已知双曲线E:x24-y2=1,则下列说法正确的是( )
A.E的虚轴长为1
B.E的渐近线方程为y=±12x
C.E的焦距为23
D.E的渐近线上的点到右焦点的距离的最小值为1
24.(多选题)(2021江苏南通如皋高二上教学质量调研(一))已知双曲线x26-y23=λ2(λ≠0),则不因λ变化而变化的是( )
A.渐近线方程 B.顶点坐标
C.离心率 D.焦距
25.(多选题)(2021江苏无锡第一中学高二上期中)已知双曲线C过点(3,2)且渐近线方程为y=33x,则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的方程为x23-y2=1
B.双曲线C的离心率为3
C.曲线y=ex-2-1经过双曲线C的一个焦点
D.焦点到渐近线的距离为1
26.(2021江苏南京大学附属中学高三上第一次阶段检测)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为 .
能力提升练

题组一 双曲线的简单几何性质及其应用
1.(2020非凡联盟高三调研,)已知双曲线C:x2a2-y2=1(a>0)的右焦点为F,点P在C上,且PF⊥x轴,若|PF|=12,则C的实轴长为( )
A.1 B.2
C.4 D.8
2.(2020内蒙古包头高三第二次模拟,)过双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F1(-2,0)作垂直于实轴的弦MN,A为E的右顶点.若AM⊥AN,则E的方程为 ( )
A.x23-y29=1 B.x23-y2=1
C.x2-y23=1 D.x29-y23=1
3.(2021河北衡水中学高三第一次联合考试,)小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支,O为双曲线的一支的顶点.小明经过测量得知,该双曲线的渐近线相互垂直,且AB与OC垂直,AB=80cm,OC=20cm,若该双曲线的焦点位于直线OC上,则在点O以下的焦点距点O cm.
题组二 双曲线的离心率
4.(2021广东中山高三上六校第一次联考,)设双曲线Ω:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,Ω上存在关于y轴对称的两点P,Q(P在Ω的右支上),使得|PQ|+2|PF2|=2|PF1|,O为坐标原点,且△POQ为正三角形,则Ω的离心率为( )
A.62 B.52 C.6 D.5
5.(2021河南洛阳汝阳高三上联考,)已知双曲线T:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与T在第一、三象限内分别交于点M,N,四边形F1MF2N的面积为60,周长为34,则双曲线T的离心率为( )
A.135 B.137 C.125 D.75
6.(2021黑龙江大庆铁人中学高二上期中,)已知F是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点,E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围为( )
A.(1,+∞) B.(1,2) C.(1,1+2) D.(2,1+2)
7.(2020湖北随州高二下期末,)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A、B,点C(0,2b),若线段AC的垂直平分线过点B,则该双曲线的离心率为 .
题组三 双曲线的渐近线及其应用
8.(2021重庆第八中学高二上期中,)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为3,则双曲线C的实轴长为( )
A.3 B.3 C.23 D.6
9.(2021广东珠海第二中学高二上期中,)如图,F1、F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B、A,若△ABF2为等边三角形,则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A.±33 B.±2 C.±15 D.±6
10.()已知双曲线Q:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为π3,过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,设A、B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6.
(1)求双曲线Q的离心率;
(2)求双曲线Q的方程.
答案全解全析
基础过关练
1.D 因为双曲线的标准方程为x29-y24=1,所以a=3,故实轴长为6.故选D.
2.B 由已知得左焦点的坐标为(-5,0),右顶点的坐标为(3,0),所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.故选B.
3.BC 由已知得a2=1,b2=6,所以c2=1+6=7,c=7,焦距为27,A错误;因为2b2a=6,所以B正确;双曲线y26-x2=1与C的渐近线均为y=±6x,C正确;因为22-(6)26≠1,所以(2,6)不在C上,D错误.
故选BC.
4.B 设M(x,y),则|OM|=x2+y2,∵点M在双曲线y22-x2=1上,∴x2=y22-1,|y|≥2,∴|OM|=y22-1+y2=32y2-1≥2,故选B.
5.答案 14312
解析 点(x,y)在双曲线x24-y2=1上,故x24=1+y2,所以3x2-2y=3(1+y2)×4-2y=12y2-2y+12=12y-1122+14312,所以3x2-2y的最小值是14312.
6.解析 因为点A(10,23)在双曲线my2-4x2+4m=0上,
所以(23)2m-4×102+4m=0,解得m=25,
于是双曲线的方程为25y2-4x2+100=0,
即x225-y24=1,
所以双曲线的焦点在x轴上,且a2=25,b2=4,c2=25+4=29,
因此实轴长为2a=10,虚轴长为2b=4,焦距为2c=229,
焦点坐标为(29,0),(-29,0),
顶点坐标为(-5,0),(5,0).
7.D 由题意可知a=m,b=m+6,
则m+6=2m,解得m=2,
所以该双曲线的标准方程为x22-y28=1.
故选D.
8.B 由题意知,该双曲线的焦点在x轴上,设等轴双曲线的标准方程为x2a2-y2a2=1(a>0),∴a2+a2=62,∴a2=18,故该双曲线的标准方程为x218-y218=1.故选B.
9.A 已知双曲线3x2-y2=m的虚轴长为2,
①当m>0时,双曲线方程可化为x2m3-y2m=1,有m=1,得m=1;
②当m<0时,双曲线方程可化为y2-m-x2-m3=1,有-m3=1,得m=-3.
故实数m的值为-3或1.
故选A.
10.答案 x22-y2=1
解析 因为三个点(-2,1),(-2,3),(2,-1)中恰有两个点在双曲线C:x2a2-y2=1(a>0)上,又双曲线C:x2a2-y2=1关于原点对称,
所以点(-2,1),(2,-1)在双曲线C:x2a2-y2=1(a>0)上,
所以4a2-1=1,解得a=2,
所以该双曲线的方程为x22-y2=1.
11.B 因为双曲线的方程为x216-y29=1,
所以a2=16,b2=9,因此c2=16+9=25,
所以离心率为e=ca=c2a2=54.故选B.
12.C 因为双曲线C:x23-y2m=1的离心率为3,故3+m3=3,解得m=6,
所以虚轴长为26.故选C.
13.B 易得椭圆x29+y25=1的焦点为(-2,0),(2,0),
∴双曲线x2m-y2n=1的焦点为(-2,0),(2,0),
∴双曲线的焦点在x轴上,
∴m>0,n>0,半焦距为c=2,
∴m+n=4,
又∵离心率为2,∴m+nn=4,∴m=1,n=3,
∴mn=3,故选B.
14.D 因为该双曲线的一个焦点为(0,32),所以c=32,又该双曲线与双曲线x22-y2=1有相同离心率,所以ca=32=32a,所以a=23,所以b2=c2-a2=(32)2-(23)2=6,所以该双曲线的标准方程为y212-x26=1.故选D.
15.B 由椭圆C:x216+y212=1的离心率与双曲线C':x24-y2b2=1(b>0)的离心率互为倒数关系,且椭圆C:x216+y212=1的离心率为16-1216=12,
得双曲线C':x24-y2b2=1(b>0)的离心率为4+b24=2,解得b=23.故选B.
16.A 因为双曲线C:x2m-y2n=1,若n>m>0,则a2=m,b2=n,c2=a2+b2=m+n,所以e=ca=m+nm>2mm=2,故充分性成立;
若n2nn=2,故必要性不成立.
故n>m>0是双曲线C的离心率大于2的充分不必要条件,故选A.
17.答案 (1,3]
解析 由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2|PF2|-|PF2|=|PF2|=2a,
又|PF2|=2a≥c-a,∴c≤3a,
∵e>1,∴1因此,双曲线C的离心率e的取值范围是(1,3].
18.解析 在△PF1F2中,由正弦定理得|PF1|sin∠PF2F1=|PF2|sin∠PF1F2,
又sin∠PF1F2sin∠PF2F1=ac,所以|PF2||PF1|=ac,
因为a所以|PF1|-|PF2|=2a,即|PF2|=2a2c-a,
又|PF2|>c-a,所以2a2c-a>c-a,
整理得e2-2e-1<0,
所以119.解析 如图所示,不妨设F为右焦点,过F作FP垂直于一条渐近线,垂足为P,过P作PM⊥OF于M.
由已知得M为OF的中点,易知|PF|2=|FM||FO|,
又F(c,0),渐近线OP的方程为bx-ay=0,所以|PF|=bcb2+a2=b,于是b2=c2·c,
即2b2=c2=a2+b2,因此a2=b2,故e=ca=1+b2a2=2.
20.C 因为双曲线x22-y2=1的顶点为(±2,0),渐近线方程为y=±22x,即2x±2y=0,
所以顶点到渐近线的距离为|2×(±2)|2+4=63.故选C.
21.C x2m2+12+y24m-1=1表示双曲线且m2+12>0,∴4m-1<0,即m<14.
∵双曲线的实轴长为8,
∴2m2+12=8,解得m=±2,
又m<14,∴m=-2,
∴该双曲线的渐近线的斜率k=±1-4mm2+12=±916=±34.故选C.
22.ACD 选项A中,a=2,b=2,所以双曲线的渐近线方程为y=±bax=±2x,
选项B中,a=2,b=2,所以双曲线的渐近线方程为y=±abx=±22x.
选项C中,a=2,b=1,所以双曲线的渐近线方程为y=±abx=±2x,
选项D中,a=1,b=2,所以双曲线的渐近线方程为y=±bax=±2x,
故选ACD.
23.BD 因为双曲线E:x24-y2=1,所以a=2,b=1,c=5,所以E的虚轴长为2,
渐近线方程为y=±12x,焦距为25,渐近线上的点到右焦点的距离的最小值为右焦点到渐近线x-2y=0的距离d=|5-0|12+(-2)2=1,故B、D正确.故选BD.
24.AC 双曲线x26-y23=λ2(λ≠0)可化为x26λ2-y23λ2=1,
所以a2=6λ2,b2=3λ2,所以c2=9λ2,
所以e2=1+ba2=32,
渐近线方程为y=±bax=±22x,
故选AC.
25.ACD 设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0),将(3,2)代入得9A+2B=1.
双曲线的渐近线方程为y=±-ABx,所以-AB=33⇒AB=-13.
由9A+2B=1,AB=-13解得A=13,B=-1,
所以双曲线的方程为x23-y2=1.
故选项A正确.
易知a=3,b=1,c=2,
所以双曲线的离心率为ca=23=233,故选项B错误.
双曲线的焦点坐标为(±2,0),其中(2,0)满足y=ex-2-1,所以选项C正确.
双曲线的一个焦点为(2,0),渐近线方程为y=33x,即3x-3y=0,
焦点到渐近线的距离为233+9=1,故选项D正确.故选ACD.
26.答案 3x±y=0
解析 因为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,
所以e=c2a2=a2+b2a2=2,所以b2a2=3,
所以该双曲线的渐近线方程为y=±bax=±3x,即3x±y=0.
能力提升练
1.C F(c,0),故Pc,±1a,|PF|=1a=12,所以a=2,即实轴长为2a=4.
故选C.
2.C 由题意可得c=2,易知M-2,b2a,
N-2,-b2a或M-2,-b2a,N-2,b2a.
不妨令M-2,b2a,N-2,-b2a,
由双曲线的对称性及AM⊥AN可得a+c=b2a,c2=a2+b2=4,解得a2=1,b2=3,
所以双曲线的方程为x2-y23=1,故选C.
3.答案 30(2-1)
信息提取 ①双曲线的一支;②渐近线相互垂直;③AB=80cm,OC=20cm.
数学建模 利用双曲线模型解决问题.先建立平面直角坐标系,设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),根据题意求方程,再根据双曲线的性质求解即可.
解析 以OC所在直线为x轴,垂直于OC的直线为y轴且使O为双曲线的右顶点,建立平面直角坐标系(图略).设该双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).
因为该双曲线的渐近线相互垂直,
所以a=b.
由题意知,(a+20)2a2-402b2=1,
解得a=b=30,c=302,
故该双曲线的一个焦点位于点O以下[30(2-1)]cm.
4.D ∵|PQ|+2|PF2|=2|PF1|,
∴|PQ|=4a,∴xP=2a,yP2=3b2,
由已知得yPxP2=(3)2,∴b2a2=4,
∴e=1+4=5,故选D.
5.B 因为点M在以F1F2为直径的圆上,所以MF1⊥MF2,由对称性可知四边形F1MF2N是矩形,
根据题意可得|MF1|·|MF2|=60,|MF1|+|MF2|=17,|MF1|>|MF2|,
解得|MF1|=12,|MF2|=5,
所以2a=|MF1|-|MF2|=7,
2c=|MF1|2+|MF2|2=13,所以e=137,
故选B.
6.B 如图,利用双曲线的性质可得|AF|=|BF|=b2a,|EF|=a+c,
要使△ABE是锐角三角形,只需∠AEB为锐角,故∠AEF<45°,所以|AF|<|EF|,
即b2a0,两边同除以a2,化简得e2-e-2<0,解得-11,所以17.答案 72
解析 因为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A、B,
所以A(-a,0),B(a,0),|AB|=2a,
又C(0,2b),线段AC的垂直平分线过点B,
所以|BC|=|BA|,即a2+4b2=2a,得b2=34a2,
所以c2=a2+b2=a2+34a2=74a2,
因此e=ca=74=72.
8.D 由题意,双曲线的一条渐近线的方程为y=-bax,即bx+ay=0,设双曲线的右焦点为F(c,0),c>0,则c2=a2+b2,所以焦点到渐近线的距离d=|bc|a2+b2=bcc=b=3,又离心率e=ca=2,所以a=3,所以双曲线C的实轴长为2a=6.故选D.
9.D ∵△ABF2为等边三角形,
∴|AB|=|AF2|=|BF2|,且∠ABF2=60°,
由双曲线的定义可得2a=|AF1|-|AF2|=|AB|+|BF1|-|AF2|=|BF1|,
|BF2|-|BF1|=2a,∴|BF2|=4a,
在△BF1F2中,|BF1|=2a,|BF2|=4a,∠F1BF2=120°,
由余弦定理可得|F1F2|=2c=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1||BF2|cs120°=27a,即ca=7,所以ba=b2a2=c2-a2a2=ca2-1=6.
因此,该双曲线的渐近线的斜率为±6.
故选D.
10.解析 (1)∵双曲线Q:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为π3,
∴ba=tanπ3=3,即b=3a,
∴c=a2+b2=a2+3a2=2a,
∴双曲线Q的离心率e=ca=2aa=2.
(2)由题意可画出图象,CD是该双曲线的一条渐近线y=bax,即bx-ay=0.
作AC⊥CD,BD⊥CD,FE⊥CD,垂足分别为C,D,E,
则四边形ACDB是梯形.
∵F是AB的中点,∴EF=d1+d22=3,
又F(c,0),∴由点到直线的距离公式可得EF=bca2+b2=b,
∴b=3,∴a=3,c=2a=23,
则双曲线Q的方程为x23-y29=1.