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- 2.2 双曲线的简单几何性质-2022版数学选择性必修第一册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析） 试卷 2 次下载
- 3.2 抛物线的简单几何性质-2022版数学选择性必修第一册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析） 试卷 1 次下载
- 4.1 直线与圆锥曲线的交点-2022版数学选择性必修第一册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析） 试卷 1 次下载
- 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题-2022版数学选择性必修第一册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析） 试卷 1 次下载
数学3.1 抛物线及其标准方程随堂练习题
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这是一份数学3.1 抛物线及其标准方程随堂练习题，共14页。试卷主要包含了1 抛物线及其标准方程，抛物线y=2x2的焦点坐标为，抛物线x2=14y的准线方程为等内容，欢迎下载使用。
基础过关练
题组一 抛物线的定义
1.在平面内,“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为( )
A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线
3.(2020广东佛山高二上统考)已知动点M的坐标满足方程13x2+y2=|12x+5y-12|,则动点M的轨迹为( )
A.抛物线 B.双曲线
C.椭圆 D.以上都不对
4.已知抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4,则点A到抛物线焦点的距离为( )
A.10 B.4 C.5 D.15
5.(2020吉林白城第四中学高二上阶段检测)若点P到直线x=-2的距离比它到点(3,0)的距离小1,则点P的轨迹为( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
6.(2021云南师范大学附属中学呈贡校区高二上模考)已知抛物线y2=4x上一点P到焦点的距离是它到y轴的距离的2倍,则点P到焦点的距离为 .
题组二 抛物线的标准方程、焦点和准线方程
7.(2021吉林省实验中学高二上期中)抛物线y=2x2的焦点坐标为( )
A.(1,0) B.14,0 C.0,14 D.0,18
8.(2021河北邢台高二上期中)抛物线x2=14y的准线方程为( )
A.x=-1 B.x=-116 C.y=-1 D.y=-116
9.(2020湖北荆门高二下期末)已知抛物线ax2=y的焦点到准线的距离为12,则实数a等于( )
A.±1 B.±2 C.±14 D.±12
10.(2020陕西商丹高新学校高二下学情质量检测)抛物线y2=8x上的点(x0,y0)到抛物线焦点的距离为3,则|y0|=( )
A.2 B.22 C.2 D.4
11.(2020上海建平中学高二上期末)已知抛物线y2=-8x的焦点与双曲线x2m-y2=1的左焦点重合,则实数m的值为 .
12.点M(1,1)到抛物线y=ax2的准线的距离为2,则a的值为 .
13.(2021江苏南通平潮高级中学高二上期中)以直线2x-y-1=0与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为 .
14.(2020湖北黄石第一中学高二下期末)经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程为 .
题组三 抛物线中与距离有关的问题
15.(2020北京高考考前冲刺)抛物线y2=8x上到其焦点F距离为5的点有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.4个
16.(2021广西钦州、崇左高三上第一次教学质量检测)抛物线x=y24上的点与其焦点的距离的最小值为( )
A.2 B.1 C.116 D.12
17.(2021四川西昌高二上期中)已知点P是抛物线y2=8x上的一个动点,求点P到点A(0,2)的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值.
能力提升练
题组一 抛物线的定义及其标准方程
1.(2020陕西西安高三上第一次八校联考,)已知点A(2,3)到抛物线y=px2(p>0)的准线的距离为5,则抛物线的焦点坐标为( )
A.(2,0) B.0,12 C.(0,2) D.0,132
2.()设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若A,B,C三点的坐标分别为(1,2),(x1,y1),(x2,y2),且|FA|+|FB|+|FC|=10,则x1+x2=( )
A.6 B.5 C.4 D.3
3.(2021湖南师大附中高二上月考,)已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点F在x轴正半轴上,M为圆O:x2+y2=12与C的一个交点,且|MF|=3,则C的标准方程是( )
A.y2=2x B.y2=3x
C.y2=4x D.y2=6x
4.(多选题)()已知F是抛物线C:y2=16x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为线段FN的中点,则( )
A.C的准线方程为x=-4
B.点F的坐标为(0,4)
C.|FN|=12
D.△ONF的面积为162(O为坐标原点)
5.(2021北京汇文中学高二上期中,)已知点A-12,0,抛物线y2=2x的焦点为F,点P在抛物线上,且|AP|=2|PF|,则|OP|= .
6.(2021江苏徐州高三上期中,)某学习小组研究一种卫星接收天线(如图①所示),发现其曲面与轴截面的交线为抛物线,在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线,经反射聚焦到焦点处(如图②所示),已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为1m,求该抛物线的焦点到顶点的距离.
7.(2021重庆第一中学高二上月考,)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,PA⊥l,垂足为A,若直线AF的斜率为-3,求|PF|.
题组二 抛物线中距离的最值问题
8.(2020安徽合肥第六中学高三下最后一卷,)已知P为抛物线y2=4x上一点,Q为圆(x-6)2+y2=1上一点,则|PQ|的最小值为( )
A.21-1 B.2-55
C.25-1 D.21-45
9.(2021山西运城高三上调研,)已知抛物线C:y=14x2的焦点为F,O为坐标原点,点A在抛物线C上,且|AF|=2,P是抛物线C的准线上的一动点,则|PA|+|PO|的最小值为( )
A.13 B.213 C.313 D.26
10.(2020陕西汉中洋县第一中学高二上期中,)已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆(x-8)2+(y-1)2=1上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点的距离之和的最小值是( )
A.52 B.8 C.9 D.7
11.(2021江西赣州会昌七校高三联合月考,)已知抛物线y2=4x的焦点为F,P为抛物线上一动点,定点A(1,1),当△PAF的周长最小时,PF所在直线的斜率为 .
12.(2020吉林通化一中高二月考,)设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点.
(1)若点P到直线x=-1的距离为d,A(-1,1),求|PA|+d的最小值;
(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.
答案全解全析
基础过关练
1.B 当定点在定直线上时,点P的轨迹可以是过该定点且与该定直线垂直的直线;若点P的轨迹为抛物线,则点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离,故应为必要不充分条件.故选B.
2.D 设点P为满足条件的一点,由题意可知点P到点A的距离等于点P到y轴的距离,由抛物线的定义可得,点P在以A为焦点,y轴为准线的抛物线上.故选D.
3.A 由题意,动点M的坐标满足方程13x2+y2=|12x+5y-12|,
变形为x2+y2=|12x+5y-12|13,
易知此式表示动点M(x,y)到定点(0,0)的距离与其到定直线12x+5y-12=0的距离相等,且定点不在定直线上,
结合抛物线的定义可知,动点M的轨迹是以定点(0,0)为焦点,定直线12x+5y-12=0为准线的抛物线.故选A.
4.C 抛物线x2=4y的准线方程为y=-1,点A到准线的距离为5,根据抛物线的定义可知,点A到焦点的距离为5.故选C.
5.C 因为点P到直线x=-2的距离比它到点(3,0)的距离小1,
所以点P到直线x=-3的距离等于它到点(3,0)的距离,又点(3,0)不在直线x=-3上,
所以点P的轨迹为抛物线,故选C.
6.答案 2
解析 设点P的横坐标为m(m>0).
因为抛物线的方程为y2=4x,所以其准线方程为x=-1,
根据抛物线的定义可得,点P到焦点的距离为m+1,所以m+1=2m,解得m=1,
所以点P到焦点的距离为2.
7.D 抛物线的标准方程为x2=12y,
∴此抛物线的焦点在y轴上,p=14,
∴焦点坐标为0,18,故选D.
8.D 因为2p=14,所以p2=116,故准线方程为y=-116.故选D.
9.A 把抛物线方程ax2=y化为标准方程得x2=1ay,
∵抛物线的焦点到准线的距离为12,
∴12|a|=12,∴a=±1,故选A.
10.B 因为抛物线y2=8x上的点(x0,y0)到抛物线焦点的距离为3,
所以根据抛物线的定义可得,x0+2=3,解得x0=1,
代入y2=8x,得y02=8,所以|y0|=22.
故选B.
11.答案 3
解析 易得抛物线y2=-8x的焦点为(-2,0),
又抛物线y2=-8x的焦点与双曲线x2m-y2=1的左焦点重合,
所以m+1=(-2)2,则m=3.
12.答案 14或-112
解析 抛物线y=ax2的准线方程为y=-14a,因为点M(1,1)到抛物线y=ax2的准线的距离为2,所以1+14a=2,解得a=14或a=-112.
13.答案 y2=2x或x2=-4y
解析 直线2x-y-1=0与x轴的交点坐标是12,0,即抛物线的焦点坐标是12,0,此时抛物线的标准方程为y2=2x;直线2x-y-1=0与y轴的交点坐标是(0,-1),即抛物线的焦点坐标是(0,-1),此时抛物线的标准方程为x2=-4y.
14.答案 y2=x或x2=-8y
解析 若抛物线的焦点在x轴上,设抛物线的方程为y2=-2px(p>0),因为抛物线经过点P(4,-2),所以(-2)2=2p×4,解得p=12,此时抛物线的方程为y2=x.
若抛物线的焦点在y轴上,设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),因为抛物线经过点P(4,-2),所以42=-2p×(-2),解得p=4,此时抛物线的方程为x2=-8y.
15.C 抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,
结合抛物线的定义可知,抛物线y2=8x上到其焦点F距离为5的点的横坐标为5-2=3,
将x=3代入y2=8x,得y=±26,
所以抛物线y2=8x上到其焦点F距离为5的点有2个.故选C.
16.B 由题意,设y2=4x的焦点为F,则F(1,0),准线方程为x=-1.
设抛物线上的动点P(x0,y0),
根据抛物线的定义可知,|PF|=1+x0,
因为x0∈[0,+∞),所以|PF|=1+x0≥1,
故抛物线y2=4x上的点与其焦点的距离的最小值为1.故选B.
17.解析 由y2=8x可知p=4,所以F(2,0)为抛物线的焦点,根据抛物线的定义知,点P到抛物线准线的距离等于|PF|,
所以|PF|+|PA|≥|AF|=22+22=22,当且仅当A,P,F三点共线,且P在线段AF上时,等号成立.
所以点P到点A(0,2)的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值为22.
能力提升练
1.C y=px2(p>0)可变形为x2=1py(p>0),则焦点坐标为0,14p,准线方程为y=-14p,结合抛物线的定义,点A(2,3)到抛物线y=px2(p>0)的准线的距离为5,即14p+3=5,解得14p=2,则抛物线的焦点坐标为(0,2).故选C.
2.A 因为抛物线方程为y2=4x,所以p2=1,
由抛物线的定义得,|FA|=1+1=2,|FB|=x1+1,|FC|=x2+1,
因为|FA|+|FB|+|FC|=10,
所以2+x1+1+x2+1=10,即x1+x2=6.
故选A.
3.C 由题意设抛物线的方程为y2=2px(p>0),连接MO,过M作MM1⊥准线,垂足为M1,交y轴于M2.
因为|MF|=3=xM+p2,所以|MM2|=xM=3-p2,所以|M2O|=|yM|=2pxM=6p-p2,
在Rt△OMM2中,有|M2O|2+|M2M|2=|MO|2,即6p-p2+3-p22=12,
解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,
故选C.
4.ACD 如图,不妨设点M位于第一象限,抛物线的准线l与x轴交于点F',作MB⊥l于点B,NA⊥l于点A.
由抛物线的标准方程可得其准线方程为x=-4,
点F的坐标为(4,0),则|AN|=4,|FF'|=8,
在直角梯形ANFF'中,易得|BM|=|AN|+|FF'|2=6,
由抛物线的定义得|MF|=|MB|=6,结合题意,有|MN|=|MF|=6,
故|FN|=|FM|+|NM|=6+6=12,
|ON|=122-42=82,
S△ONF=12×4×82=162.
故选ACD.
5.答案 52
解析 由已知可得F12,0,设P12m2,m,
∵|AP|=2|PF|,∴|AP|2=2|PF|2,
则m22+122+m2=2m22-122+m2,解得m2=1,
∴|OP|=14m4+m2=14+1=52.
故答案为52.
6.信息提取 ①曲面与轴截面的交线为抛物线;②接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为1m;③求抛物线的焦点到顶点的距离.
数学建模 建立抛物线模型研究实际问题.在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合,焦点在x轴上,根据题意将有关数据转换成抛物线上的点的坐标,从而求得抛物线的标准方程以及焦点坐标,进而可得出结果.
解析 如图所示,在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合,焦点在x轴上.
设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),由已知条件可得,点A(1,2.4)在抛物线上,
所以2.42=2p,解得p=2.88,
所以抛物线的标准方程为y2=5.76x,焦点坐标为(1.44,0),
因此,该抛物线的焦点到顶点的距离为1.44m.
7.解析 ∵抛物线方程为y2=4x,
∴焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1.
∵直线AF的斜率为-3,
∴直线AF的方程为y=-3(x-1),
当x=-1时,y=23,可得A点坐标为(-1,23).
∵PA⊥l,A为垂足,
∴P点的纵坐标为23,代入抛物线方程,得P点坐标为(3,23),
∴|PF|=|PA|=3-(-1)=4.
8.C 设圆心为M,P(x,y)(x>0),则M(6,0),
|PM|=(x-6)2+y2=(x-6)2+4x=x2-8x+36=(x-4)2+20,
当x=4时,|PM|取得最小值,则|PM|min=25,故|PQ|min=25-1.故选C.
9.A 易得抛物线的准线方程为y=-1.
∵|AF|=2,∴点A到准线的距离为2,故A点的纵坐标为1,
把y=1代入抛物线方程,可得x=±2.
不妨设点A在第一象限,则A(2,1),
设点O关于准线y=-1的对称点为M,
则M(0,-2),连接AM,PM,如图,
则|PO|=|PM|,于是|PA|+|PO|=|PA|+|PM|≥|AM|,
当且仅当A、P、M三点共线时,等号成立.
故|PA|+|PO|的最小值为|AM|=22+32=13.故选A.
10.B 如图,过P作PD垂直准线x=-1于D,设圆心为M,则M(8,1).
根据抛物线的定义以及点和圆的位置关系,求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点的距离之和的最小值,
可以转化为求点P到圆心M的距离和点P到抛物线的准线的距离之和的最小值,
易知当D,P,M三点共线时,距离之和最小,
此时|MD|=9,点Q为直线MD与圆的交点,
所以点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点的距离之和的最小值dmin=9-1=8,
故选B.
11.答案 -43
解析 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,从点P向准线作垂线,垂足为B,从点A向准线作垂线,垂足为A1,如图.设△PAF的周长为l,则l=|PF|+|PA|+|AF|=|PB|+|PA|+1≥|AA1|+1=3,当且仅当A,P,A1三点共线时,取等号,此时P14,1,kPF=1-014-1=-43.
12.解析 (1)依题意,抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.
由已知及抛物线的定义,可知|PF|=d,于是问题转化为求|PA|+|PF|的最小值.
由平面几何知识知,当F,P,A三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值,最小值为|AF|=5,即|PA|+d的最小值为5.
(2)把点B的横坐标代入y2=4x中,得y=±23,因为23>2,所以点B在抛物线的内部.
过B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1(如图所示).
由抛物线的定义,可知|P1Q|=|P1F|,则|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=3+1=4,所以|PB|+|PF|的最小值为4.
基础过关练
题组一 抛物线的定义
1.在平面内,“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为( )
A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线
3.(2020广东佛山高二上统考)已知动点M的坐标满足方程13x2+y2=|12x+5y-12|,则动点M的轨迹为( )
A.抛物线 B.双曲线
C.椭圆 D.以上都不对
4.已知抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4,则点A到抛物线焦点的距离为( )
A.10 B.4 C.5 D.15
5.(2020吉林白城第四中学高二上阶段检测)若点P到直线x=-2的距离比它到点(3,0)的距离小1,则点P的轨迹为( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
6.(2021云南师范大学附属中学呈贡校区高二上模考)已知抛物线y2=4x上一点P到焦点的距离是它到y轴的距离的2倍,则点P到焦点的距离为 .
题组二 抛物线的标准方程、焦点和准线方程
7.(2021吉林省实验中学高二上期中)抛物线y=2x2的焦点坐标为( )
A.(1,0) B.14,0 C.0,14 D.0,18
8.(2021河北邢台高二上期中)抛物线x2=14y的准线方程为( )
A.x=-1 B.x=-116 C.y=-1 D.y=-116
9.(2020湖北荆门高二下期末)已知抛物线ax2=y的焦点到准线的距离为12,则实数a等于( )
A.±1 B.±2 C.±14 D.±12
10.(2020陕西商丹高新学校高二下学情质量检测)抛物线y2=8x上的点(x0,y0)到抛物线焦点的距离为3,则|y0|=( )
A.2 B.22 C.2 D.4
11.(2020上海建平中学高二上期末)已知抛物线y2=-8x的焦点与双曲线x2m-y2=1的左焦点重合,则实数m的值为 .
12.点M(1,1)到抛物线y=ax2的准线的距离为2,则a的值为 .
13.(2021江苏南通平潮高级中学高二上期中)以直线2x-y-1=0与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为 .
14.(2020湖北黄石第一中学高二下期末)经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程为 .
题组三 抛物线中与距离有关的问题
15.(2020北京高考考前冲刺)抛物线y2=8x上到其焦点F距离为5的点有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.4个
16.(2021广西钦州、崇左高三上第一次教学质量检测)抛物线x=y24上的点与其焦点的距离的最小值为( )
A.2 B.1 C.116 D.12
17.(2021四川西昌高二上期中)已知点P是抛物线y2=8x上的一个动点,求点P到点A(0,2)的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值.
能力提升练
题组一 抛物线的定义及其标准方程
1.(2020陕西西安高三上第一次八校联考,)已知点A(2,3)到抛物线y=px2(p>0)的准线的距离为5,则抛物线的焦点坐标为( )
A.(2,0) B.0,12 C.(0,2) D.0,132
2.()设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若A,B,C三点的坐标分别为(1,2),(x1,y1),(x2,y2),且|FA|+|FB|+|FC|=10,则x1+x2=( )
A.6 B.5 C.4 D.3
3.(2021湖南师大附中高二上月考,)已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点F在x轴正半轴上,M为圆O:x2+y2=12与C的一个交点,且|MF|=3,则C的标准方程是( )
A.y2=2x B.y2=3x
C.y2=4x D.y2=6x
4.(多选题)()已知F是抛物线C:y2=16x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为线段FN的中点,则( )
A.C的准线方程为x=-4
B.点F的坐标为(0,4)
C.|FN|=12
D.△ONF的面积为162(O为坐标原点)
5.(2021北京汇文中学高二上期中,)已知点A-12,0,抛物线y2=2x的焦点为F,点P在抛物线上,且|AP|=2|PF|,则|OP|= .
6.(2021江苏徐州高三上期中,)某学习小组研究一种卫星接收天线(如图①所示),发现其曲面与轴截面的交线为抛物线,在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线,经反射聚焦到焦点处(如图②所示),已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为1m,求该抛物线的焦点到顶点的距离.
7.(2021重庆第一中学高二上月考,)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,PA⊥l,垂足为A,若直线AF的斜率为-3,求|PF|.
题组二 抛物线中距离的最值问题
8.(2020安徽合肥第六中学高三下最后一卷,)已知P为抛物线y2=4x上一点,Q为圆(x-6)2+y2=1上一点,则|PQ|的最小值为( )
A.21-1 B.2-55
C.25-1 D.21-45
9.(2021山西运城高三上调研,)已知抛物线C:y=14x2的焦点为F,O为坐标原点,点A在抛物线C上,且|AF|=2,P是抛物线C的准线上的一动点,则|PA|+|PO|的最小值为( )
A.13 B.213 C.313 D.26
10.(2020陕西汉中洋县第一中学高二上期中,)已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆(x-8)2+(y-1)2=1上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点的距离之和的最小值是( )
A.52 B.8 C.9 D.7
11.(2021江西赣州会昌七校高三联合月考,)已知抛物线y2=4x的焦点为F,P为抛物线上一动点,定点A(1,1),当△PAF的周长最小时,PF所在直线的斜率为 .
12.(2020吉林通化一中高二月考,)设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点.
(1)若点P到直线x=-1的距离为d,A(-1,1),求|PA|+d的最小值;
(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.
答案全解全析
基础过关练
1.B 当定点在定直线上时,点P的轨迹可以是过该定点且与该定直线垂直的直线;若点P的轨迹为抛物线,则点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离,故应为必要不充分条件.故选B.
2.D 设点P为满足条件的一点,由题意可知点P到点A的距离等于点P到y轴的距离,由抛物线的定义可得,点P在以A为焦点,y轴为准线的抛物线上.故选D.
3.A 由题意,动点M的坐标满足方程13x2+y2=|12x+5y-12|,
变形为x2+y2=|12x+5y-12|13,
易知此式表示动点M(x,y)到定点(0,0)的距离与其到定直线12x+5y-12=0的距离相等,且定点不在定直线上,
结合抛物线的定义可知,动点M的轨迹是以定点(0,0)为焦点,定直线12x+5y-12=0为准线的抛物线.故选A.
4.C 抛物线x2=4y的准线方程为y=-1,点A到准线的距离为5,根据抛物线的定义可知,点A到焦点的距离为5.故选C.
5.C 因为点P到直线x=-2的距离比它到点(3,0)的距离小1,
所以点P到直线x=-3的距离等于它到点(3,0)的距离,又点(3,0)不在直线x=-3上,
所以点P的轨迹为抛物线,故选C.
6.答案 2
解析 设点P的横坐标为m(m>0).
因为抛物线的方程为y2=4x,所以其准线方程为x=-1,
根据抛物线的定义可得,点P到焦点的距离为m+1,所以m+1=2m,解得m=1,
所以点P到焦点的距离为2.
7.D 抛物线的标准方程为x2=12y,
∴此抛物线的焦点在y轴上,p=14,
∴焦点坐标为0,18,故选D.
8.D 因为2p=14,所以p2=116,故准线方程为y=-116.故选D.
9.A 把抛物线方程ax2=y化为标准方程得x2=1ay,
∵抛物线的焦点到准线的距离为12,
∴12|a|=12,∴a=±1,故选A.
10.B 因为抛物线y2=8x上的点(x0,y0)到抛物线焦点的距离为3,
所以根据抛物线的定义可得,x0+2=3,解得x0=1,
代入y2=8x,得y02=8,所以|y0|=22.
故选B.
11.答案 3
解析 易得抛物线y2=-8x的焦点为(-2,0),
又抛物线y2=-8x的焦点与双曲线x2m-y2=1的左焦点重合,
所以m+1=(-2)2,则m=3.
12.答案 14或-112
解析 抛物线y=ax2的准线方程为y=-14a,因为点M(1,1)到抛物线y=ax2的准线的距离为2,所以1+14a=2,解得a=14或a=-112.
13.答案 y2=2x或x2=-4y
解析 直线2x-y-1=0与x轴的交点坐标是12,0,即抛物线的焦点坐标是12,0,此时抛物线的标准方程为y2=2x;直线2x-y-1=0与y轴的交点坐标是(0,-1),即抛物线的焦点坐标是(0,-1),此时抛物线的标准方程为x2=-4y.
14.答案 y2=x或x2=-8y
解析 若抛物线的焦点在x轴上,设抛物线的方程为y2=-2px(p>0),因为抛物线经过点P(4,-2),所以(-2)2=2p×4,解得p=12,此时抛物线的方程为y2=x.
若抛物线的焦点在y轴上,设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),因为抛物线经过点P(4,-2),所以42=-2p×(-2),解得p=4,此时抛物线的方程为x2=-8y.
15.C 抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,
结合抛物线的定义可知,抛物线y2=8x上到其焦点F距离为5的点的横坐标为5-2=3,
将x=3代入y2=8x,得y=±26,
所以抛物线y2=8x上到其焦点F距离为5的点有2个.故选C.
16.B 由题意,设y2=4x的焦点为F,则F(1,0),准线方程为x=-1.
设抛物线上的动点P(x0,y0),
根据抛物线的定义可知,|PF|=1+x0,
因为x0∈[0,+∞),所以|PF|=1+x0≥1,
故抛物线y2=4x上的点与其焦点的距离的最小值为1.故选B.
17.解析 由y2=8x可知p=4,所以F(2,0)为抛物线的焦点,根据抛物线的定义知,点P到抛物线准线的距离等于|PF|,
所以|PF|+|PA|≥|AF|=22+22=22,当且仅当A,P,F三点共线,且P在线段AF上时,等号成立.
所以点P到点A(0,2)的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值为22.
能力提升练
1.C y=px2(p>0)可变形为x2=1py(p>0),则焦点坐标为0,14p,准线方程为y=-14p,结合抛物线的定义,点A(2,3)到抛物线y=px2(p>0)的准线的距离为5,即14p+3=5,解得14p=2,则抛物线的焦点坐标为(0,2).故选C.
2.A 因为抛物线方程为y2=4x,所以p2=1,
由抛物线的定义得,|FA|=1+1=2,|FB|=x1+1,|FC|=x2+1,
因为|FA|+|FB|+|FC|=10,
所以2+x1+1+x2+1=10,即x1+x2=6.
故选A.
3.C 由题意设抛物线的方程为y2=2px(p>0),连接MO,过M作MM1⊥准线,垂足为M1,交y轴于M2.
因为|MF|=3=xM+p2,所以|MM2|=xM=3-p2,所以|M2O|=|yM|=2pxM=6p-p2,
在Rt△OMM2中,有|M2O|2+|M2M|2=|MO|2,即6p-p2+3-p22=12,
解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,
故选C.
4.ACD 如图,不妨设点M位于第一象限,抛物线的准线l与x轴交于点F',作MB⊥l于点B,NA⊥l于点A.
由抛物线的标准方程可得其准线方程为x=-4,
点F的坐标为(4,0),则|AN|=4,|FF'|=8,
在直角梯形ANFF'中,易得|BM|=|AN|+|FF'|2=6,
由抛物线的定义得|MF|=|MB|=6,结合题意,有|MN|=|MF|=6,
故|FN|=|FM|+|NM|=6+6=12,
|ON|=122-42=82,
S△ONF=12×4×82=162.
故选ACD.
5.答案 52
解析 由已知可得F12,0,设P12m2,m,
∵|AP|=2|PF|,∴|AP|2=2|PF|2,
则m22+122+m2=2m22-122+m2,解得m2=1,
∴|OP|=14m4+m2=14+1=52.
故答案为52.
6.信息提取 ①曲面与轴截面的交线为抛物线;②接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为1m;③求抛物线的焦点到顶点的距离.
数学建模 建立抛物线模型研究实际问题.在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合,焦点在x轴上,根据题意将有关数据转换成抛物线上的点的坐标,从而求得抛物线的标准方程以及焦点坐标,进而可得出结果.
解析 如图所示,在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合,焦点在x轴上.
设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),由已知条件可得,点A(1,2.4)在抛物线上,
所以2.42=2p,解得p=2.88,
所以抛物线的标准方程为y2=5.76x,焦点坐标为(1.44,0),
因此,该抛物线的焦点到顶点的距离为1.44m.
7.解析 ∵抛物线方程为y2=4x,
∴焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1.
∵直线AF的斜率为-3,
∴直线AF的方程为y=-3(x-1),
当x=-1时,y=23,可得A点坐标为(-1,23).
∵PA⊥l,A为垂足,
∴P点的纵坐标为23,代入抛物线方程,得P点坐标为(3,23),
∴|PF|=|PA|=3-(-1)=4.
8.C 设圆心为M,P(x,y)(x>0),则M(6,0),
|PM|=(x-6)2+y2=(x-6)2+4x=x2-8x+36=(x-4)2+20,
当x=4时,|PM|取得最小值,则|PM|min=25,故|PQ|min=25-1.故选C.
9.A 易得抛物线的准线方程为y=-1.
∵|AF|=2,∴点A到准线的距离为2,故A点的纵坐标为1,
把y=1代入抛物线方程,可得x=±2.
不妨设点A在第一象限,则A(2,1),
设点O关于准线y=-1的对称点为M,
则M(0,-2),连接AM,PM,如图,
则|PO|=|PM|,于是|PA|+|PO|=|PA|+|PM|≥|AM|,
当且仅当A、P、M三点共线时,等号成立.
故|PA|+|PO|的最小值为|AM|=22+32=13.故选A.
10.B 如图,过P作PD垂直准线x=-1于D,设圆心为M,则M(8,1).
根据抛物线的定义以及点和圆的位置关系,求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点的距离之和的最小值,
可以转化为求点P到圆心M的距离和点P到抛物线的准线的距离之和的最小值,
易知当D,P,M三点共线时,距离之和最小,
此时|MD|=9,点Q为直线MD与圆的交点,
所以点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点的距离之和的最小值dmin=9-1=8,
故选B.
11.答案 -43
解析 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,从点P向准线作垂线,垂足为B,从点A向准线作垂线,垂足为A1,如图.设△PAF的周长为l,则l=|PF|+|PA|+|AF|=|PB|+|PA|+1≥|AA1|+1=3,当且仅当A,P,A1三点共线时,取等号,此时P14,1,kPF=1-014-1=-43.
12.解析 (1)依题意,抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.
由已知及抛物线的定义,可知|PF|=d,于是问题转化为求|PA|+|PF|的最小值.
由平面几何知识知,当F,P,A三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值,最小值为|AF|=5,即|PA|+d的最小值为5.
(2)把点B的横坐标代入y2=4x中,得y=±23,因为23>2,所以点B在抛物线的内部.
过B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1(如图所示).
由抛物线的定义,可知|P1Q|=|P1F|,则|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=3+1=4,所以|PB|+|PF|的最小值为4.
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