高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线4 直线与圆锥曲线的位置关系4.1 直线与圆锥曲线的交点课时练习

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线4 直线与圆锥曲线的位置关系4.1 直线与圆锥曲线的交点课时练习，共16页。试卷主要包含了1　直线与圆锥曲线的交点，直线l，已知椭圆E，若直线l等内容，欢迎下载使用。
基础过关练
题组一 直线与椭圆的交点
1.(2021甘肃临夏中学高二月考)直线y=kx-k与椭圆x29+y24=1的位置关系为( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
2.(2021浙江金华曙光学校高二上第一次阶段考试)无论k为何值,直线y=kx+2和曲线x29+y24=1的交点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.1或2
3.(2020广东云浮高二上期末)直线l:y=kx+2与椭圆C:x22+y2=1有公共点,则k的取值范围是 .
4.(2020山东潍坊一中高二月考)经过椭圆x22+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点,设O为坐标原点,则OA·OB= .
5.(2021山东泰安宁阳一中高二上期中)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(0,1),3,12.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若直线l:x-y-1=0交椭圆E于A,B两点,O是坐标原点,求△OAB的面积.
题组二 直线与双曲线的交点
6.直线x+y=1与双曲线x2-y2=9的交点坐标是( )
A.(5,4) B.(5,-4)
C.(-3,2) D.(3,-2)
7.(2021河北保定第三中学高二上期中)直线y=kx(k>0)与双曲线x22-y26=1没有交点,则k的取值范围为( )
A.33,+∞ B.(2,+∞)
C.[3,+∞) D.(0,3)
8.(2021广东珠海斗门第一中学高二上质量监测)直线y=bax+3与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的交点个数是( )
A.1 B.2 C.1或2 D.0
9.若直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的左、右两支各有一个交点,则实数k的取值范围是( )
A.(-2,-1) B.(1,2)
C.(-2,2) D.(-1,1)
10.(2019广东茂名高二期中)若直线y=x+m与双曲线x24-y2=1有两个公共点,则实数m的取值范围是 .
题组三 直线与抛物线的交点
11.(2021江苏南京天印高级中学高二上学情调研)与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程为( )
A.2x-y+3=0 B.2x-y-3=0
C.2x-y+1=0 D.2x-y-1=0
12.(2020吉林长春外国语学校高二期中)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )
A.-12,12 B.[-2,2]
C.[-1,1] D.[-4,4]
13.(多选题)(2020江苏淮安高二上期末)与直线x+y-2=0仅有一个公共点的曲线是( )
A.x2+y2=1 B.x22+y2=1
C.x2-y2=1 D.y2=x
14.(2020广东佛山高二上统考模拟)过点(2,-1)的直线与抛物线y=x2只有一个公共点,这样的直线共有多少条?
能力提升练
题组一 直线与圆锥曲线的交点
1.(2020安徽阜阳太和中学高二下开学考试,)“a=1”是“直线y=x+a与椭圆C:x225+y216=1有公共点”的( )

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.(2021重庆西南大学附属中学高二上月考,)斜率存在的直线l过点(0,-1)且与双曲线C:y24-x2=1有且只有一个公共点,则直线l的斜率为( )
A.±3 B.±2
C.2或3 D.±3或±2
3.()点P在直线l:y=x-1上,若存在过P的直线交抛物线y=x2于A,B两点,且|PA|=|AB|,则称点P为“A点”,那么下列结论中正确的是( )
A.直线l上的所有点都是“A点”
B.直线l上仅有有限个点是“A点”
C.直线l上的所有点都不是“A点”
D.直线l上有无穷多个点(不是所有的点)是“A点”
4.(多选题)(2020山东德州高二上期末,)若原点O到直线l的距离不大于1,则直线l与下列曲线一定有公共点的是( )
A.y=x2-2 B.(x-1)2+y2=1
C.x22+y2=1 D.x2-y2=1
5.()设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过点M(2,0)且与C交于A,B两点,|BF|=32,若|AM|=λ|BM|,则λ=( )
A.32 B.2
C.4 D.6
6.()若直线mx-ny=4与圆x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1的交点个数是 .
7.(2021中学生标准学术能力诊断性测试高三数学测试,)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B两点,若AF=2FB,则点A的坐标为 .
8.(2020福建漳州高二上期末,)已知双曲线E的两个焦点为F1(-2,0),F2(2,0),并且E经过点P(2,3).
(1)求双曲线E的方程;
(2)过点M(0,1)的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点,求直线l的方程.
题组二 与交点有关的最值问题
9.()已知双曲线x212-y24=1的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线的斜率的取值范围是( )
A.-33,33 B.[-3,3]
C.-33,33 D.(-3,3)
10.(2021江苏镇江中学高二上期中,)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率e的取值范围是( )
A.[2,+∞) B.(1,2)
C.(2,+∞) D.(1,2]
11.(2019重庆南岸高二上期末,)若点(m,n)在椭圆9x2+y2=9上,则nm-3的最小值为( )
A.-223 B.-233 C.-32 D.-324
12.(2020湖南怀化辰溪第一中学高二上月考,)以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中,离心率最大的椭圆方程是( )
A.x220+y219=1 B.x29+y28=1
C.x25+y24=1 D.x23+y22=1
13.(2020江西省重点中学协作体高三联考,)已知直线y=kx-1与焦点在x轴上的椭圆C:x24+y2b2=1(b>0)总有公共点,则椭圆C的离心率的取值范围是 .
14.(2021黑龙江省实验中学高二上期中,)点M是椭圆x29+y216=1上的任意点,则点M到直线x+y-7=0的距离的最大值为 .
答案全解全析
基础过关练
1.A 直线y=kx-k可化为y=k(x-1),所以直线恒过点(1,0),又129+0240,所以k≥3.故选C.
8.A 由题意可得双曲线的渐近线方程为y=±bax,因为直线y=bax+3与双曲线的一条渐近线y=bax平行,所以该直线与双曲线只有1个交点.故选A.
9.D 当直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的渐近线y=±x平行时,k=±1,此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点,如图所示:
因为直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的左、右两支各有一个交点,所以实数k的取值范围为(-1,1),故选D.
10.答案 m>3或m0,即m2>3,解得m>3或m0,所以直线与椭圆有两个交点,不符合题意;C.因为x2-y2=1的渐近线方程为y=±x,所以直线x+y-2=0平行于渐近线且不与渐近线重合,所以直线x+y-2=0与双曲线仅有一个公共点,符合题意;D.联立x+y-2=0,y2=x,消去x,可得y2+y-2=0,所以Δ=1+42>0,所以直线与抛物线有两个交点,不符合题意.故选AC.
14.解析 ①当过点(2,-1)的直线斜率不存在时,显然x=2与抛物线y=x2有且只有一个交点.
②当过点(2,-1)的直线斜率存在,且与抛物线相切时,直线与抛物线只有一个交点,设直线方程为y+1=k(x-2),联立y+1=k(x-2),y=x2,消去y得x2-kx+2k+1=0,则Δ=k2-4(2k+1)=0,解得k=4±25,即过(2,-1)的切线有2条.
综上,过点(2,-1)与抛物线y=x2有且只有一个交点的直线共有3条.
能力提升练
1.A 由a=1得直线y=x+1过点(0,1),又点(0,1)在椭圆C:x225+y216=1内部,故a=1⇒直线y=x+a与椭圆C:x225+y216=1有公共点,而直线y=x+a与椭圆C:x225+y216=1有公共点不一定能得到a=1.所以“a=1”是“直线y=x+a与椭圆C:x225+y216=1有公共点”的充分不必要条件.故选A.
2.D 由题意,设直线l的方程为y=kx-1,代入双曲线方程,化简可得(k2-4)x2-2kx-3=0,当k2=4,即k=±2时,(k2-4)x2-2kx-3=0只有一解,满足直线l与双曲线有且只有一个公共点;当k≠±2时,令Δ=4k2+12(k2-4)=0,解得k=±3,此时方程有两个相等的实数根,满足直线l与双曲线有且只有一个公共点.综上,k=±2或k=±3.故选D.
3.A 如图,
设点A,P的坐标分别为(m,n),(x,x-1),则点B的坐标为(2m-x,2n-x+1).
∵A,B在抛物线y=x2上,
∴n=m2,2n-x+1=(2m-x)2.
消去n,整理,得关于x的方程x2-(4m-1)x+2m2-1=0①,∴Δ=(4m-1)2-4(2m2-1)=8m2-8m+5>0恒成立,∴方程①恒有实数解,故选A.
4.AC 原点(0,0)到直线l的距离小于或等于1,故直线l一定经过圆面x2+y2=1内的点,如图所示.故与直线l一定有公共点的曲线是A,C,故选AC.
5.C 由题意得抛物线的焦点为F(1,0),准线为x=-1,由|BF|=32及抛物线的定义知点B的横坐标为12,代入抛物线方程得B12,±2,根据抛物线的对称性,不妨取B12,-2,则l的方程为y=223(x-2),联立y=223(x-2),y2=4x得A(8,42),于是λ=|AM||BM|=4,故选C.
6.答案 2
解析 由题意知,圆心(0,0)到直线mx-ny-4=0的距离d=|-4|m2+n2>2,整理得m2+n20,b>0),则c=2,4a2-9b2=1,c2=a2+b2,解得a2=1,b2=3,所以双曲线E的方程为x2-y23=1.
(2)当直线l的斜率不存在时,显然不合题意,所以可设直线l的方程为y=kx+1,联立y=kx+1,x2-y23=1得(3-k2)x2-2kx-4=0(*),当3-k2=0,即k=3或k=-3时,方程(*)只有一解,直线l与双曲线E有且仅有一个公共点,此时,直线l的方程为y=±3x+1.当3-k2≠0,即k≠±3时,要使直线l与双曲线E有且仅有一个公共点,则Δ=(-2k)2-4(3-k2)(-4)=0,解得k=±2,此时,直线l的方程为y=±2x+1.
综上所述,直线l的方程为y=±3x+1或y=±2x+1.
9.A 双曲线x212-y24=1的渐近线方程是y=±33x,右焦点为F(4,0).当过点F的直线与双曲线的两条渐近线平行时,与双曲线的右支有且只有一个交点,那么斜率在-33,33之间的所有直线都满足条件,所以此直线的斜率的取值范围是-33,33.故选A.
10.A 已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若直线l与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率ba,∴ba≥3,∴离心率e2=a2+b2a2≥4,∴e≥2.故选A.
11.D 由题知椭圆的方程为x2+y29=1,求nm-3的最小值即求点(m,n)与点(3,0)连线的斜率的最小值,设过点(m,n)和点(3,0)的直线方程为y=k(x-3),联立y=k(x-3),x2+y29=1⇒(9+k2)x2-6k2x+9(k2-1)=0,
易知当Δ=0时直线斜率取最小值,即Δ=(-6k2)2-4(9+k2)[9(k2-1)]=0⇒k2=98,故当k=-324时,斜率取最小值,即nm-3的最小值为-324.故选D.
12.C 设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),根据题意,可得c=1,则a2=b2+1,所以x2b2+1+y2b2=1,所以椭圆的离心率为e2=c2a2=1b2+1,因为直线x-y+3=0与椭圆有公共点,联立x2b2+1+y2b2=1,x-y+3=0,整理得(2b2+1)x2+6(b2+1)x+8b2+9-b4=0,由Δ=36(b4+2b2+1)-4(2b2+1)(8b2+9-b4)≥0,整理得b4-3b2-4≥0,解得b2≥4或b2≤-1(舍去),所以b2的最小值为4,此时离心率e取得最大值e=1b2+1=55,所以椭圆的方程为x25+y24=1.故选C.
13.答案 0,32
解析 因为椭圆焦点在x轴上,所以b20,所以0