北师大版 (2019)选择性必修 第一册第五章 计数原理4 二项式定理4.1 二项式定理的推导课后作业题

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册第五章 计数原理4 二项式定理4.1 二项式定理的推导课后作业题，共18页。试卷主要包含了1　二项式定理的推导，2n的展开式的项数是等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 对二项式定理的理解
1.(a+b)2n(n∈N+)的展开式的项数是( )
A.2n B.2n+1
C.2n-1 D.2(n+1)
2.设S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1,则S等于( )
A.(x-1)3 B.(x-2)3
C.x3 D.(x+1)3
3.设A=37+C72×35+C74×33+C76×3,B=C71×36+C73×34+C75×32+1,则A-B的值为( )
A.128 B.129 C.47 D.0
4.用二项式定理展开1+1x4= .
5.(2019海南海口实验中学高三上月考)3Cn1+9Cn2+27Cn3+…+3nCnn= (n∈N+).
题组二 二项展开式的特定项、项的系数及二项式系数
6.(2020重庆巴蜀中学高三月考)x2-2x5的展开式中,含x项的系数为( )
A.60 B.-60
C.-80 D.80
7.(2020湖南岳阳高二上期末)若x-ax26的展开式的常数项为60,则实数a的值为( )
A.4 B.2 C.8 D.6
8.(2020四川绵阳中学高三4月线上学习评估)(2x+a)5(其中a≠0)的展开式中,x2的系数与x3的系数相同,则实数a的值为( )
A.±12 B.12 C.-2 D.2
9.(2021天津河西高二期末)二项式x-2xn的展开式中,第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9,则该展开式中的常数项为( )
A.-160 B.-80
C.80 D.160
10.(2020辽宁大连高三第一次模拟)12x+2y6的展开式中x2y4的系数为 .
11.(2020天津滨海新区高三月考)在x-12x6的二项展开式中,常数项为 .
12.(2020湖北武昌实验中学高二月考)求(1+x)6(2y+1)5的展开式中x4y2的系数.
题组三 赋值法求系数和
13.(2020山东济宁高二下质量检测)若x-12n(n∈N+)的展开式的第3项的二项式系数是15,则展开式的所有项系数之和为( )
A.132 B.164 C.-164 D.1128
14.(2020山东烟台栖霞一中高二下月考)设(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|的值为( )
A.29 B.49 C.39 D.59
15.(2020陕西宝鸡高考模拟检测)若5x-3xn(n∈N+)的展开式的各项系数之和为32,则展开式中x的系数为 .
16.(2020山东枣庄滕州一中高二下月考)已知(1+mx)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,其中m≠0,且a6+14a3=0.
(1)求实数m的值;
(2)求a2+a4+a6+a8+a10.
能力提升练
题组一 多项式展开式中的特定项及项的系数
1.(2020山东济宁高二下质量检测,)(1-2x)7x的展开式中x2的系数为( )
A.-84 B.84
C.-280 D.280
2.(2020湖南师大附中高三月考,)(x2+2)1x2-15的展开式的常数项是( )
A.-3 B.-2
C.2 D.3
3.(2020山东枣庄第三中学高二下月考,)在1+x+1x202010的展开式中,x2的系数为( )
A.30 B.45
C.60 D.90
4.(2020陕西榆林二中高三月考,)若x+12x8(ax-1)的展开式中含x12的项的系数为21,则实数a的值为( )
A.3 B.-3
C.2 D.-2
5.(2020辽宁沈阳二中高二下月考,)已知x(x-2)8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9,则a6=( )
A.-28 B.-448
C.112 D.448
6.(2020湖北襄阳四中高二月考,)(x+2y)(x+y)4的展开式中x3y2的系数为 .
题组二 赋值法求解系数有关问题
7.(2020山东济南一中高二下第二次月考,)已知(1+x)(a-x)6=a0+a1x+…+a7x7,若a0+a1+…+a7=0,则a3=( )
A.-5 B.-20 C.15 D.35
8.(多选题)(2020山东济南高二期末,)若(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,x∈R,则( )
A.a2=180
B.|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|=310
C.a1+a2+…+a10=1
D.a12+a222+a323+…+a10210=-1
9.(2020湖南长沙长郡中学高三月考,)设(x2+1)·(4x-2)8=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a10(2x-1)10,则a1+a2+…+a10= .
10.(2019浙江杭州高考模拟,)若(x-3)3(2x+1)5=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a0= ,a0+a2+…+a8= .
11.()在(2x-3y+1)5的展开式中,不含y的所有项的系数和为 (用数字作答).
12.(2020广东盐田深圳外国语学校高三月考,)3x-4y+28的展开式中,不含x的各项系数之和为 .
13.()已知An5=56Cn7,且(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn.
(1)求n的值;
(2)求a12+a222+…+an2n的值.
题组三 二项式定理的应用
14.(2020湖南衡阳高二期末,)1.957的计算结果精确到个位的近似值为( )
A.106 B.107
C.108 D.109
15.(2019江西九江高二期末,)1-90C101+902C102-903C103+…+9010C1010除以88的余数是( )
A.2 B.1
C.86 D.87
16.(2020山东青岛莱西一中高二下期中,)求302020被7除的余数.
答案全解全析
基础过关练
1.B 根据二项式定理可知,展开式共有(2n+1)项.
2.C S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1
=C30(x-1)3+C31(x-1)2+C32(x-1)+C33
=[(x-1)+1]3=x3.
3.A A-B=C70×37-C71×36+C72×35-C73×34+C74×33-C75×32+C76×31-C77×30
=(3-1)7=27=128.
4.答案 1+4x+6x2+4x3+1x4
解析 解法一:1+1x4=C401x0+C411x1+C421x2+C431x3+C441x4=1+4x+6x2+4x3+1x4.
解法二:1+1x4=1x4(x+1)4=
1x4(C40x4+C41x3+C42x2+C43x1+C44x0)
=1+4x+6x2+4x3+1x4.
5.答案 4n-1
解析 3Cn1+9Cn2+27Cn3+…+3nCnn=Cn0+3Cn1+9Cn2+27Cn3+…+3nCnn-1=(1+3)n-1=4n-1.
6.C x2-2x5的展开式通项为Tk+1=C5k(x2)5-k-2xk=(-2)kC5kx10-3k.令10-3k=1,得k=3,所以含x项的系数为(-2)3C53=-80,故选C.
7.A x-ax26的展开式的通项为Tr+1=C6rx6-r-ax2r=(-1)rar2C6rx6-3r,
令6-3r=0,解得r=2,则常数项为(-1)2aC62=60,解得a=4.故选A.
8.D (2x+a)5的展开式的通项为Tr+1=C5r(2x)5-rar=25-rarC5rx5-r,
因为x2的系数与x3的系数相同,所以22a3C53=23a2C52,即4a3=8a2,又a≠0,所以a=2.故选D.
9.A 由题知第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9,即Cn2-Cn1=9,n≥2,n∈N+,解得n=6.二项式x-2x6的展开式的通项为Tr+1=C6rx6-r-2xr=(-2)rC6rx6-2r,令6-2r=0,解得r=3.当r=3时,取得常数项T4=(-2)3C63=-160.故选A.
10.答案 60
解析 12x+2y6的展开式的通项为Tr+1=C6r12x6-r(2y)r=22r-6C6rx6-ryr.
令r=4,得T5=60x2y4.
故x2y4的系数为60.
11.答案 -52
解析 x-12x6的展开式的通项为Tr+1=C6rx6-r-12xr=-12rC6rx6-2r,令6-2r=0,得r=3,T4=-123C63=-52,故常数项为-52.
优解 本题中要求常数项,可以直接看出从6个因式中选3个x,3个-12x,即T4=C63x3-12x3=C63(-2)3·x0=C63(-2)3=20-8=-52.
12.解析 (1+x)6(2y+1)5的展开式中含x4y2的项为C64x4C53(2y)2,其系数为22C64C53=600.
13.B 由题意知Cn2=n(n-1)2=15,解得n=6或n=-5(舍去),故x-12n=x-126,令x=1,得所有项系数之和为126=164.
14.B 易得(1-3x)9的展开式的通项为Tr+1=C9r(-3)rxr,∴a0,a2,a4,a6,a8为正数,a1,a3,a5,a7,a9为负数,
∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|
=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9,
令x=-1,得(1+3)9=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=49,
∴|a0|+|a1|+…+|a9|=49.
15.答案 2025
解析 依题意,令x=1,得(5-3)n=32,解得n=5,则该式为5x-3x5,其展开式的通项为Tr+1=C5r5x5-r(-3x12)r=55-r·(-3)r·C5rx3r2-5,
令32r-5=1,得r=4,所以x的系数为55-4×(-3)4×C54=2025.
16.解析 (1)(1+mx)10的展开式的通项为Tr+1=C10r(mx)r=C10rmrxr,所以a3=C103m3,a6=C106m6,
依题意得C106m6+14C103m3=0,即210m6+14×120m3=0,整理得m3(m3+8)=0,因为m≠0,所以m3=-8,所以m=-2.
(2)由(1)得m=-2,所以(1-2x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10.
令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10=(1-2)10=1.①
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8-a9+a10=(1+2)10=310.②
①+②得2(a0+a2+a4+a6+a8+a10)=1+310,
即a0+a2+a4+a6+a8+a10=1+3102.
又a0=C100(-2)0=1,
所以a2+a4+a6+a8+a10=1+3102-1=310-12=29524.
能力提升练
1.C 易得(1-2x)7的展开式的通项为Tk+1=(-2)kC7kxk,则(1-2x)7x的展开式的通项为(-2)kC7kxk-1,令k-1=2,得k=3,所以x2的系数为(-2)3C73=-280.故选C.
2.D (x2+2)1x2-15=x21x2-15+21x2-15.
1x2-15的展开式的通项为Tk+1=C5k·1x25-k·(-1)k=(-1)kC5kx2k-10,令2k-10=0,得k=5,所以1x2-15的展开式的常数项系数为(-1)5C55=-1;令2k-10=-2,得k=4,所以1x2-15的展开式中含x-2项系数为(-1)4C54=5,所以(x2+2)1x2-15=x21x2-15+21x2-15的展开式的常数项是5+2×(-1)=3,故选D.
易错警示
(1)二项式定理的核心是通项,求解此类问题可以分两步完成:第一步,根据所给出的条件(特定项)和通项,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r);第二步,根据所求的指数,再求所求解的项.
(2)求两个多项式的积的特定项,可通过化简或利用分类加法计数原理讨论求解.
3.B 1+x+1x202010的展开式的通项为Tr+1=C10rx+1x2020r,r≤10,r∈N.
x+1x2020r的展开式的通项为Tk+1=Crkxr-2021k,k≤r,k∈N,
令r-2021k=2,可得r=2+2021k,
只有k=0,r=2满足题意,
故x2的系数为C102×C20=45,
故选B.
4.A x+12x8的展开式的通项为Tr+1=C8r(x)8-r12xr=12rC8rx8-3r2,
令8-3r2=-12,得r=3,
此时x+12x8(ax-1)的展开式中含x12的项的系数为123C83a=7a,
令8-3r2=12,得r=73∉N,舍去,
所以x+12x8(ax-1)的展开式中含x12的项的系数为7a,所以7a=21,得a=3.故选A.
5.A 由x(x-2)8=[(x-1)+1][(x-1)-1]8知,
当第一个因式取(x-1)时,第二个因式取C83(x-1)5(-1)3,其系数为-56,
当第一个因式取1时,第二个因式取
C82(x-1)6(-1)2,其系数为28,
故a6=-56+28=-28.
故选A.
6.答案 14
解析 (x+2y)(x+y)4=x(x+y)4+2y(x+y)4.
因为(x+y)4的展开式的通项为Tr+1=C4rxry4-r,
所以展开式中x3y2的系数为1×C42+2×C41=14.
7.A 由题意,令x=1,可得a0+a1+…+a7=(1+1)(a-1)6=2×(a-1)6=0,解得a=1,
∴(1+x)(a-x)6=(1+x)(1-x)6=(1-x)6+x×(1-x)6,
∴展开式中x3的系数为C63(-1)3+C62(-1)2=-20+15=-5,故选A.
8.ABD 因为(2x-1)10的展开式的通项为Tr+1=C10r(2x)10-r(-1)r,所以T9=C108(2x)2×(-1)8=180x2,所以a2=180,故A正确.因为(2x+1)10=|a0|+|a1|x+|a2|x2+…+|a10|·x10,令x=1,得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|=310,故B正确.令x=0,得a0=1,令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=1,所以a1+a2+…+a10=0,故C错误.令x=12,得a0+a12+a222+a323+…+a10210=0,所以a12+a222+a323+…+a10210=-1,故D正确.
9.答案 512
解析 ∵(x2+1)(4x-2)8=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a10(2x-1)10,
∴令x=1,得(1+1)×(4×1-2)8=a0+a1+a2+…+a10=29,
令x=12,得14+1×4×12-28=a0=0,
∴a1+a2+…+a10=29-0=512.
故答案为512.
10.答案 -27;-940
解析 令x=0,得(-3)3=a0,所以a0=-27.
令x=1,得(-2)3×35=a0+a1+a2+…+a8,①
令x=-1,得(-4)3×(-1)5=a0-a1+a2-…+a8,②
①+②得2(a0+a2+…+a8)=-1880,
∴a0+a2+…+a8=-940.
11.答案 243
解析 要求(2x-3y+1)5的展开式中不含y的项,只需令y=0,所以(2x-3y+1)5的展开式中不含y的所有项的系数和为(2x+1)5的展开式中各项的系数和,令x=1,得35=243.故答案为243.
12.答案 256
解析 3x-4y+28=3x+(-4y+2)8的展开式的通项为Tr+1=C8r3x8-r·(-4y+2)r,易知当r=8时不含x项,此时T8+1=C883x8-8(-4y+2)8=(-4y+2)8,令y=1,可得各项系数之和为256.故答案为256.
13.解析 (1)易知n≥7,n∈N.∵An5=56Cn7,
∴n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)=56×
n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)7×6×5×4×3×2×1,
整理可得(n-5)(n-6)90=1,
即n2-11n-60=0,
解得n=15或n=-4(舍去).
故n的值为15.
(2)由(1)得n=15,
∴(1-2x)n=(1-2x)15=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a15x15,
令x=0,可得a0=1,
令x=12,可得1-2×1215=a0+a12+a222+…+a15215=0,
∴a12+a222+…+a15215=-1.
14.B ∵1.957=(2-0.05)7=27-C71×26×0.05+C72×25×0.052-…-0.057≈107.21,
∴1.957≈107.故选B.
15.B 1-90C101+902C102-903C103+…+9010C1010=(1-90)10=(1+88)10=1+88C101+882C102+883C103+…+8810C1010=1+88(C101+88C102+882C103+…+889C1010),所以1-90C101+902C102-903C103+…+9010C1010除以88的余数是1,故选B.
16.解析 302020=(28+2)2020=282020+C20201×282019×2+…+C20202019×28×22019+22020=28×(282019+C20201×282018×2+…+C20202019×22019)+22020,
故只需求出22020被7除的余数即可,
因为22020=2×8673=2×(7+1)673=2×(7673+C6731×7672+C6732×7671+…+C673672×7+1)=2×7×(7672+C6731×7671+C6732×7670+…+C673672)+2,所以余数为2.