高中数学4.2 二项式系数的性质当堂达标检测题

这是一份高中数学4.2 二项式系数的性质当堂达标检测题，共11页。试卷主要包含了下图中的数满足等内容，欢迎下载使用。
题组一 杨辉三角
1.如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒,若a,b是某行的前两个数,当a=7时,b=( )
A.20 B.21
C.22 D.23
2.下图中的数满足:①第n行首尾两数均为n;②图中的递推关系与杨辉三角类似,则第n(n≥2)行的第2个数是 .
1
2 2
3 4 3
4 7 7 4
51114115
……
3.(2020广东江门一中高二上期末)观察如图所示的三角形数阵,则该数阵最后一行各数之和为 .
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
……
1 10 45 … 45 10 1
4.如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第 行中从左到右第14个与第15个数的比为2∶3.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 510105 1
……
题组二 二项式系数的性质
5.在(2-3x)15的展开式中,二项式系数的最大值为( )
A.C159 B.C158
C.-C159 D.-C158
6.在(a-b)20的二项展开式中,二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( )
A.第15项 B.第16项
C.第17项 D.第18项
7.(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展开式中x2的系数是( )
A.60 B.80 C.84 D.120
8.在(1-3x)n(n∈N+)的展开式中,偶数项的二项式系数的和为128,则展开式的中间项为( )
A.-4536x4 B.-5670x4
C.5670x4 D.4536x4
9.(2020山东烟台高二下月考)若x+1xn(n∈N+)的展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为( )
A.10 B.20 C.30 D.120
10.已知x-2x2n(n∈N+)的展开式的第5项的系数与第3项的系数之比是10∶1.
(1)求展开式中各项系数的和;
(2)求展开式中含x32的项;
(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.
能力提升练
题组一 杨辉三角
1.(2020浙江杭州第二中学高二期末,)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第n行有n个数且两端的数均为1n(n∈N+,n≥2),每个数是它下一行左、右相邻两数的和,如11=12+12,12=13+16,13=14+112,……,则第10行第4个数字(从左往右数)为 .
11
12 12
13 16 13
14 112 112 14
15 120 130 120 15
……
2.(2020安徽合肥一中、安庆一中等六校高三上第一次联考,)我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律,现把杨辉三角中的数从上到下,从左到右依次排列,得数列:1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,…,记作数列{an},若数列{an}的前n项和为Sn,则S67= .
题组二 二项式系数的性质
3.(2020重庆第八中学高三下月考,)(mx+x)n(n∈N+)的展开式中,各二项式系数和为32,各项系数和为243,则展开式中x3的系数为( )
A.40 B.30 C.20 D.10
4.(2020山东枣庄滕州一中高二下月考,)已知在3x-2xn(n∈N+)的展开式中,仅有第9项的二项式系数最大,则展开式的有理项的项数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.(多选题)(2020山东东营胜利一中高二下月考,)已知n为满足S=a+C271+C272+C273+…+C2727(a≥3)能被9整除的正整数a的最小值,则x-1xn的展开式中,二项式系数最大的项为( )
A.第6项 B.第7项
C.第8项 D.第9项
6.(2020上海浦东华东师范大学第二附属中学高二下月考,)已知(3x+x2)2n(n∈N+)的展开式的二项式系数和比(3x-1)n+1的展开式的偶数项的二项式系数和大992,求2x-1x20n的展开式中:
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数的绝对值最大的项.
7.(2020河北衡水高二下月考,)在x-13xn(n≠7,且n∈N+)的展开式中:
(1)若所有二项式系数之和为256,求展开式中二项式系数最大的项;
(2)若第3项的系数的14倍是第2项与第4项的系数的绝对值之和的9倍,求展开式中各项的系数的绝对值之和.
答案全解全析
基础过关练
1.C 观察题图可知,从第三行开始,每一行除开始和末尾的两个数外,中间的数分别是其“两肩”上相邻两个数的和,当a=7时,b的“两肩”上的第一个数为6,第二个数为16,所以b=6+16=22.
2.答案 n2-n+22
解析 由题图中数字的规律可知,第n(n≥2)行的第2个数是1+2+3+…+(n-1)+1=n(n-1)2+1=n2-n+22.
3.答案 1024
解析 由题图得最后一行各数之和为C100+C101+C102+…+C1010=210=1024.
4.答案 34
解析 ∵在第n(n≥14,n∈N+)行中,即(a+b)n的展开式中,第14个与第15个二项式系数分别为Cn13和Cn14,∴Cn13∶Cn14=2∶3,即3n!13!(n-13)!=2n!14!(n-14)!,∴n=34.
5.B (2-3x)15的展开式中共有16项,中间的两项为第8项和第9项,这两项的二项式系数相等且最大,为C157=C158,故选B.
6.B 第6项的二项式系数为C205,又C2015=C205,所以第6项与第16项的二项式系数相同,故选B.
7.D (1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展开式中x2的系数为C22+C32+…+C92=C33+C32+…+C92=C103=120.故选D.
8.C 偶数项的二项式系数的和为2n-1=128=27,即n=8,故展开式的中间项为T5=C84×(-3x)4=5670x4.故选C.
9.B ∵Cn0+Cn1+…+Cnn=2n=64,
∴n=6,
∴该式为x+1x6,其展开式的通项为
Tr+1=C6rx6-2r,
令6-2r=0,得r=3,
∴常数项为T4=C63=20,
故选B.
10.解析 由题意知,第5项的系数为Cn4·(-2)4,第3项的系数为Cn2·(-2)2,则Cn4(-2)4Cn2(-2)2=10,
化简得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去),故该式为x-2x28.
(1)令x=1,得各项系数的和为(1-2)8=1.
(2)展开式的通项为Tr+1=C8r(x)8-r·-2x2r=C8r(-2)rx4-5r2,
令4-5r2=32,得r=1,故展开式中含x32的项为T2=-16x32.
(3)展开式中的第r项,第r+1项,第r+2项的系数的绝对值分别为C8r-1·2r-1,C8r·2r,C8r+1·2r+1,设第r+1项的系数的绝对值最大,
则C8r-1·2r-1≤C8r·2r,C8r+1·2r+1≤C8r·2r,解得5≤r≤6(r∈N+).
又第6项的系数为负,所以系数最大的项为T7=1792x-11.
由n=8知第5项的二项式系数最大,即T5=1120x-6.
能力提升练
1.答案 1840
解析 将杨辉三角中的每一个数Cnr都换成分数1(n+1)Cnr即可得到“莱布尼茨调和三角形”,杨辉三角中,第10行第4个数字为C93=84,所以“莱布尼茨调和三角形”中第10行第4个数字为110×84=1840.
2.答案 2048
解析 将数列{an}中的项从上到下,从左到右排成杨辉三角.如图所示:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
……
使得行数与该行的项数相等,则第k行最后一项在数列{an}中的项数为k(k+1)2,
设a67位于第k(k∈N+)行,则k(k-1)2