高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 超几何分布复习练习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 超几何分布复习练习题，共16页。
题组一 超几何分布及其概率计算
1.设10件产品中有3件次品,现从中抽取5件,则C32C73C105表示( )
A.5件产品中有3件次品的概率
B.5件产品中有2件次品的概率
C.5件产品中有2件正品的概率
D.5件产品中至少有2件次品的概率
2.从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张,则至少有3张A牌的概率为( )
A.C43C482C525 B.C42C483C525
C.1-C44C481C525 D.C43C482+C44C481C525
3.(多选题)已知在10件产品中可能存在次品,从中抽取2件检查,其次品数为ξ,已知P(ξ=1)=1645,则这10件产品中的次品数可能为( )
A.8 B.6 C.4 D.2
4.(2020山东烟台栖霞四中高二下月考)盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是310的事件为( )
A.恰有1个是坏的
B.4个全是好的
C.恰有2个是好的
D.至多有2个是坏的
5.一个盒子里装有大小相同的黑球10个,红球12个,白球4个,从中任取2个球,其中取到白球的个数记为X,则结果为C221C41+C222C262的是( )
A.P(0310,故D选项不正确.故选C.
5.B 依题意知随机变量X服从参数为26,4,2的超几何分布,其分布列为P(X=k)=C4kC222-kC262(k=0,1,2).
∴P(X=0)=C222C262,P(X=1)=C41C221C262,
P(X=2)=C42C262.
∴P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=C222+C41C221C262.
6.答案
解析 X的可能取值为0,1,2,
当X=0时,表示没有抽到女生;当X=1时,表示抽到1名女生;当X=2时,表示抽到2名女生,
∴P(X=0)=C52C72=1021,
P(X=1)=C51C21C72=1021,
P(X=2)=C22C72=121.
7.信息提取 ①从10篇课文中随机抽取3篇让学生背诵,至少要背出两篇才能及格;②某同学只能背出其中的6篇.
数学建模 本题以教学为背景,通过老师让学生背诵课文建立概率模型.本题先设抽到他能背出的课文的数量为X,求出X取每个值时的概率,进而列出分布列,由分布列求出他能及格的概率.
解析 (1)设抽到他能背出的课文的数量为X,依题意知X服从参数为10,6,3的超几何分布,其分布列为P(X=k)=C6kC43-kC103(k=0,1,2,3).
P(X=0)=C60C43C103=130,P(X=1)=C61C42C103=310,
P(X=2)=C62C41C103=12,P(X=3)=C63C40C103=16.
如表所示:
(2)他能及格的概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=12+16=23.
8.解析 (1)由题意知X服从参数为10,3,3的超几何分布,
其分布列为P(X=k)=C3kC73-kC103(k=0,1,2,3).
P(X=0)=C30C73C103=35120=724,
P(X=1)=C31C72C103=63120=2140,
P(X=2)=C32C71C103=21120=740,
P(X=3)=C33C70C103=1120.
如表所示:
(2)设“取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件数”为事件A,“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1,“恰好取出2件一等品”为事件A2,“恰好取出3件一等品”为事件A3,
则P(A1)=C31C32C103=340,
P(A2)=P(X=2)=740,
P(A3)=P(X=3)=1120,
由于事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1+A2+A3,
所以P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=340+740+1120=31120.
所以取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概率为31120.
9.解析 (1)由题图知,所抽取的20人中得分落在[0,20]内的人数有0.0050×20×20=2,得分落在(20,40]内的人数有0.0075×20×20=3.
(2)由题意可知,X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=C33C53=110,
P(X=1)=C21C32C53=610=35,
P(X=2)=C22C31C53=310,
所以X的分布列为
所以EX=0×110+1×35+2×310=65.
10.解析 (1)由题意得
110×[105+107+113+115+119+126+(120+x)+132+134+141]=122,
解得x=8.
(2)由题意知,η的可能取值为0,1,2,3,4.
P(η=0)=C72C62C102C102=745,
P(η=1)=C71C31C62+C41C61C72C102C102=91225,
P(η=2)=C32C62+C72C42+C71C31C61C41C102C102=13,
P(η=3)=C32C61C41+C71C31C42C102C102=22225,
P(η=4)=C32C42C102C102=2225,
∴η的分布列为
∴Eη=0×745+1×91225+2×13+3×22225+4×2225=75.
能力提升练
1.解析 (1)由题意可得
27+a+b+4=46,30+a+c+4=49,18+b+c+4=34,解得a=9,b=6,c=6.
(2)记“只观看了《中国机长》和《我和我的祖国》”的为A组,共9人;
“只观看了《中国机长》和《攀登者》”的为B组,共6人;
“只观看了《我和我的祖国》和《攀登者》”的为C组,共6人.
所以按分层随机抽样,A,B,C组被抽取的人数分别为9×721=3,6×721=2,6×721=2.
在被抽取的7人中,没有观看《我和我的祖国》的有2人,
所以X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=C54C74=17,
P(X=1)=C21C53C74=47,
P(X=2)=C22C52C74=27,
所以X的分布列为
所以X的数学期望EX=0×17+1×47+2×27=87.
2.解析 (1)由题可知“非微信依赖”人数为100×35=60,则“微信依赖”人数为40,
故可得x=60-(5+15+15)=25,则p=25100=0.25;y=40-30=10,则q=10100=0.10.
(2)根据题意,10人中“非微信依赖”人数为60×110=6,“微信依赖”人数为40×110=4.
则X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=C63C103=16,P(X=1)=C41C62C103=12,
P(X=2)=C42C61C103=310,P(X=3)=C43C103=130.
故X的分布列为
(3)由题可知选取的3人中“微信依赖”至少2人的概率为P(X≥2),
由(2)中分布列可得P(X≥2)=310+130=13.
故选取的3人中“微信依赖”至少2人的概率为13.
3.解析 (1)设“从100个水果中随机抽取1个,抽到礼品果”为事件A,则P(A)=20100=15,
现有放回地随机抽取4个,设抽到礼品果的个数为Z,则Z~B4,15,
∴恰好抽到2个礼品果的概率P(Z=2)=C42152452=96625.
(2)用分层随机抽样的方法从100个水果中抽取10个,则其中精品果4个,非精品果6个.
现从中随机抽取3个,则精品果的数量X服从超几何分布,其可能的取值为0,1,2,3.
P(X=0)=C63C103=16,P(X=1)=C62C41C103=12,
P(X=2)=C61C42C103=310,P(X=3)=C43C103=130.
∴X的分布列为
∴EX=0×16+1×12+2×310+3×130=65.
4.解析 (1)由题意,当x∈(0,228]时,y=3.25x;
当x∈(228,348]时,y=3.83x-132.24;
当x∈(348,+∞)时,y=4.7x-435,
所以年用气费y(元)关于年用气量x(立方米)的函数关系式为
y=3.25x,x∈(0,228],3.83x-132.24,x∈(228,348],4.7x-435,x∈(348,+∞).
(2)由题知10户居民中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户,
设抽到年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为ξ,则ξ的可能取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)=C73C103=724,P(ξ=1)=C72C31C103=2140,
P(ξ=2)=C71C32C103=740,P(ξ=3)=C33C103=1120,
故ξ的分布列为
所以Eξ=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910.
(3)由题意知P(k)=C10k35k2510-k(k=0,1,2,3,…,10),
由C10k35k2510-k≥C10k+135k+12510-k-1,C10k35k2510-k≥C10k-135k-12510-k+1,
解得285≤k≤335,
所以当k=6时,P(k)取得最大值.
X
0
1
2
P



使用微信
时间(单
位:小时)
(0,0.5]
(0.5,1]
(1,1.5]
(1.5,2]
(2,2.5]
(2.5,3]
合计
频数
5
15
15
x
30
y
100
频率
0.05
0.15
0.15
p
0.30
q
1.00
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
20
阶梯
年用气量(立方米)
价格(元/立方米)
第一阶梯
不超过228的部分
3.25
第二阶梯
超过228而不超过348的部分
3.83
第三阶梯
超过348的部分
4.70
居民用气户编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年用气量(立方米)
95
106
112
161
210
227
256
313
325
457
X
0
1
2
P
1021
1021
121
X
0
1
2
3
P
130
310
12
16
X
0
1
2
3
P
724
2140
740
1120
X
0
1
2
P
110
35
310
η
0
1
2
3
4
P
745
91225
13
22225
2225
X
0
1
2
P
17
47
27
X
0
1
2
3
P
16
12
310
130
X
0
1
2
3
P
16
12
310
130
ξ
0
1
2
3
P
724
2140
740
1120