2021学年第六章 概率5 正态分布练习

这是一份2021学年第六章 概率5 正态分布练习，共13页。试卷主要包含了设随机变量X~N,若P=P,则，8kg，设随机变量X~N,若P=0等内容，欢迎下载使用。

题组一 正态曲线
1.(2020山东潍坊临朐一中高三阶段检测)设随机变量X~N(μ,7),若P(X<2)=P(X>4),则( )
A.EX=3,DX=7
B.EX=6,DX=7
C.EX=3,DX=7
D.EX=6,DX=7
2.(多选题)(2020江苏盱眙马坝高二期中)已知三个正态分布密度函数fi(x)=1σi2πe-(x-μi)22σi2(x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.σ1=σ2
B.μ1>μ3
C.μ1=μ2
D.σ2<σ3
3.(多选题)(2020山东寿光现代中学高二期中)甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1,σ12),N(μ2,σ22),其正态分布密度曲线如图所示,则下列说法正确的是( )
A.乙类水果的平均质量μ2=0.8kg
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小0.8kg
D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99
4.已知某种零件的尺寸X(单位:mm)服从正态分布,其正态分布密度曲线在(0,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数,且f(80)=182π.
(1)求正态分布密度函数的解析式;
(2)求尺寸在72~88mm(不包括72mm,包括88mm)的零件数大约占总数的百分比.
题组二 正态分布的概率问题
5.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),且P(X<4)=0.8,则P(2A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.2
6.(2020福建厦门高三线上质量检查)设随机变量X~N(μ,σ2),若P(X≤1)=0.3,P(1A.1 B.2 C.3 D.4
7.(2020新疆实验中学高二期末)通过大数据分析,每天从岳阳去长沙的旅客人数为随机变量X,且X~N(3000,502),则一天中从岳阳去长沙的旅客人数不超过3100的概率为(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ
题组三 正态分布的应用
8.(2020江苏常州高二期末)已知在某市的一次学情检测中,学生的数学成绩X服从正态分布N(105,100),其中90分为及格线,120分为优秀线,下列说法正确的是(随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9974)( )
A.该市学生数学成绩的期望为105
B.该市学生数学成绩的标准差为100
C.该市学生数学成绩及格率超过0.99
D.该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等
9.(2020山东枣庄第三中学高二月考)某市教委组织一次10000人参加的高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布N(100,100),则全市学生数学成绩在110~120分的人数大约为 .(已知服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量在区间(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]内取值的概率分别为0.6826,0.9544,0.9974)
10.(2020河北易县中学高三期中)某精密仪器生产车间每天生产n个零件,质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件检查其是否合格,若较多零件不合格,则需对其余所有零件进行检查.根据多年的生产数据和经验,这些零件的长度服从正态分布N(10,0.12)(单位:μm),且相互独立.若零件的长度d满足9.7μm(1)假设某一天小张抽查出不合格的零件数为X,求P(X≥2)及X的数学期望EX;
(2)小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件,若以此频率作为当天生产零件的不合格率.已知检查一个零件的成本为10元,而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元.假设n充分大,为了使损失尽量小,小张是否需要检查其余所有零件?试说明理由.
附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9974,0.997450≈0.8779,0.997449×0.0026≈0.0023.
11.(2020北京西城高二模拟)在新中国成立七十周年之际,某中学的数学课题研究小组在某一个社区设计了一个调查:在每天晚上7:30~10:00共2.5小时内,居民浏览“学习强国”的时间.如果这个社区共有成人10000人,每人每天晚上7:30~10:00期间打开“学习强国”APP的概率均为p某人在某一时刻打开“学习强国”APP的概率p=学习时长调查总时长,0(1)试估计p的值(同一组的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)设X表示这个社区每天晚上打开“学习强国”APP进行学习的人数.
①求X的数学期望EX和方差DX;
②若随机变量Z满足Z=X-EXDX,可认为Z~N(0,1).假设当4950附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ能力提升练
题组一 正态分布及其概率计算
1.(2020山西高二期末,)某个部件由两个电子元件按如图方式连接而成,
元件1或元件2正常工作,则部件正常工作,设两个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1000,502),且各个元件能否正常工作相互独立.那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .
2.(2020广东佛山高三统一调研测试,)测量某一目标的距离时,所产生的随机误差X服从正态分布N(20,102),如果独立测量3次,至少一次测量误差在(0,30]内的概率是 .
附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ题组二 正态分布的综合应用
3.(2020河南名校高三线上联考,)某单位有800名员工,工作之余,工会积极组织员工参与“日行万步”健身活动.经调查统计,得到全体员工近段时间日均健步走步数(单位:千步)的频率分布直方图如图所示.根据直方图可以认为,该单位员工日均健步走步数近似服从正态分布,计算得其方差为6.25.由此估计,在这段时间内,该单位员工中日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为( )
附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σA.103 B.105
C.107 D.109
4.(2020河南驻马店高二下期末,)某校高三年级学生一次数学诊断考试的成绩(单位:分)X服从正态分布N(110,102),记X∈(90,110]为事件A,X∈(80,100]为事件B,则P(B|A)= .(结果用分数表示)
附:P(μ-σ5.(2021新高考八省(市)1月联考,)对一个物理量做n次测量,并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差εn~N0,2n,为使误差εn在(-0.5,0.5)内的概率不小于0.9545,至少要测量 次(若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|<2σ)=0.9545).
6.(2020湖南三湘名校联盟高三联考,)某学校为了解全校学生的体重情况,从全校学生中随机抽取了100人的体重数据,得到如下频率分布直方图,以样本的频率作为总体的概率.
(1)估计这100人体重数据的平均值μ和方差σ2;(结果取整数,同一组数据用该组区间的中点值作代表)
(2)从全校学生中随机抽取3名学生,记X为体重在[55,65)的人数,求X的分布列和数学期望;
(3)由频率分布直方图可以认为,该校学生的体重Y近似服从正态分布N(μ,σ2).若P(μ-2σ0.9544,则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常,并说明理由.
答案全解全析
基础过关练
1.A ∵随机变量X~N(μ,7),且P(X<2)=P(X>4),
∴σ2=7,μ=3,∴EX=3,DX=7.
故选A.
2.AD 根据正态曲线关于直线x=μ对称,知μ越大,图象越靠右,所以μ1<μ2=μ3,B、C错误;
σ越小,曲线越“高瘦”,所以σ1=σ2<σ3,A、D正确.
故选AD.
3.AB 甲图象关于直线x=0.4对称,乙图象关于直线x=0.8对称,
所以μ1=0.4,μ2=0.8,故A正确,C错误;
因为甲图象比乙图象更“高瘦”,
所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近,故B正确;
因为乙图象的最大值为1.99,即12πσ2=1.99,所以σ2≠1.99,故D错误.故选AB.
4.解析 (1)∵正态分布密度曲线在(0,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数,
∴正态分布密度曲线关于直线x=80对称,且在x=80处达到峰值,∴μ=80.
又12πσ=182π,∴σ=8,
故正态分布密度函数的解析式为f(x)=182πe-(x-80)2128.
(2)由μ=80,σ=8,得μ-σ=80-8=72,μ+σ=80+8=88,
∴尺寸在72~88mm(不包括72mm,包括88mm)的零件数大约占总数的68.26%.
5.B 由题可知P(X≥4)=1-P(X<4)=1-0.8=0.2,
由于X~N(3,σ2),所以P(X≤2)=P(X≥4)=0.2,
因此,P(26.C 由于随机变量X~N(μ,σ2),满足P(X≤1)=0.3,P(1因此P(X≥5)=1-0.3-0.4=0.3=P(X≤1),根据正态曲线的对称性可知μ=1+52=3.
故选C.
7.D 因为X~N(3000,502),
所以μ=3000,σ=50,又μ+2σ=3100,所以由正态曲线的对称性可知P(3000则P(X≤3100)≈0.4772+0.5=0.9772,故选D.
8.AD 依题意得μ=105,σ=10,2σ=20,μ-2σ=85.
期望为105,选项A正确;
方差为100,标准差为10,选项B错误;
该市85分以上的约占1-1-0.95442=0.9772,故C错误;
由90+1202=105,根据正态曲线的对称性可判断选项D正确.
故选AD.
9.答案 1359
解析 由题意知该正态分布中μ=100,σ=10,
则P(110≈12×(0.9544-0.6826)=0.1359,
所以全市学生数学成绩在110~120的人数大约为10000×0.1359=1359.
故答案为1359.
10.解析 (1)由题意知X服从二项分布B(50,0.0026),所以P(X≥2)=1-P(X=1)-P(X=0)≈1-C501×0.0026×0.997449-0.997450≈0.0071,EX=50×0.0026=0.13.
(2)由题意可知不合格率为250,
若不检查,则损失的期望为EY=260×n×250-20=525n-20;
若检查,则成本为10n元,
由于EY-10n=525n-20-10n=25n-20,
当n充分大时,25n-20>0,
所以为了使损失尽量小,小张需要检查其余所有零件.
11.解析 (1)该社区内的成人每天晚上的平均学习时长为
55×0.1+65×0.2+75×0.4+85×0.2+95×0.1=75min,
而调查总时长为150min,故p=75150=12.
(2)①根据题意,X~B10000,12.
故EX=10000×12=5000,
DX=10000×12×12=2500.
②Z=X-50002500=150X-100,
当4950则P(-1故P(4950∴估计该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时长为150×0.8185≈123min.
能力提升练
1.答案 34
解析 解法一:由两个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1000,502)得两个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率均为12,则该部件使用寿命超过1000小时的概率为P1=1-1-122=34.
解法二:由题知元件1,2的平均使用寿命均为1000小时,设元件1,2的使用寿命超过1000小时分别为事件A,B,显然P(A)=P(B)=12,所以该部件的使用寿命超过1000小时的事件为AB+AB+AB,所以其概率P=12×12+12×12+12×12=34.
2.答案 0.994
解析 由题意可知,在一次测量中误差在(0,30]内满足μ-2σ其概率P=12P(μ-2σ测量3次,每次测量误差均不在(0,30]内的概率为(1-0.815)3=0.1853≈0.006,
∴独立测量3次,至少一次测量误差在(0,30]内的概率是1-0.006=0.994.
3.D 由频率分布直方图估计该单位员工日均健步走步数的均值μ=1×0.04+3×0.08+5×0.16+7×0.44+9×0.16+11×0.1+13×0.02=6.96≈7,
设日均健步走步数为X(单位:千步),
则X~N(7,6.25),
∴σ=2.5,则μ-σ=4.5,μ-2σ=2,
∴P(2∵800×0.1359≈109,
∴日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为109,故选D.
4.答案 271954
解析 由题意得,P(A)≈47.7%,P(AB)≈12×(95.4%-68.3%)=13.55%,
∴P(B|A)≈13.55%47.7%=271954.
5.答案 32
解析 由题意知P(-0.5<εn<0.5)≥0.9545,
且P|εn|<22n=0.9545,
∴22n≤0.5,解得n≥32.故答案为32.
6.解析 (1)μ=(47.5+72.5)×0.004×5+(52.5+67.5)×
0.026×5+(57.5+62.5)×0.07×5=60.
σ2=[(47.5-60)2+(72.5-60)2]×0.02+[(52.5-60)2+(67.5-60)2]×0.13+[(57.5-60)2+(62.5-60)2]×0.35≈25.
(2)由题图可得从全校学生中随机抽取1名学生,其体重在[55,65)的概率为0.7.
随机抽取3人,相当于3重伯努利试验,随机变量X服从二项分布B(3,0.7),
P(X=0)=C30×0.70×0.33=0.027,
P(X=1)=C31×0.7×0.32=0.189,
P(X=2)=C32×0.72×0.3=0.441,
P(X=3)=C33×0.73×0.30=0.343,
所以X的分布列为
EX=3×0.7=2.1.
(3)由题意知Y服从正态分布N(60,25),
则P(μ-2σ0.9544,
所以该校学生的体重是正常的.
学习时
长/min
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数
10
20
40
20
10
X
0
1
2
3
P
0.027
0.189
0.441
0.343