高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册3.1 等比数列的概念及其通项公式课堂检测

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册3.1 等比数列的概念及其通项公式课堂检测，共15页。试卷主要包含了1　等比数列的概念及其通项公式，下列说法正确的是，求证，3-12与3+12的等比中项是等内容，欢迎下载使用。
3.1 等比数列的概念及其通项公式
基础过关练
题组一 等比数列的概念
1.以下条件中,能判定数列是等比数列的是( )

A.数列1,2,6,18,…
B.数列{an}中,已知a2a1=2,a3a2=2
C.常数列a,a,…,a,…
D.数列{an}中,an+1an=q(q≠0),其中n∈N+
2.下列说法正确的是( )
A.等比数列中的某一项可以为0
B.等比数列中公比的取值范围是(-∞,+∞)
C.若一个常数列是等比数列,则这个常数列的公比为1
D.若b2=ac,则a,b,c成等比数列
3.(1)已知数列{an}满足a1=78,且an+1=12an+13.求证:an-23是等比数列;
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=13(an-1)(n∈N+).求证:数列{an}是等比数列.
题组二 等比中项
4.(2021豫南九校高二上联考)3-12与3+12的等比中项是( )
A.-1B.1C.22D.±22
5.(2021黑龙江大庆实验中学高三上月考)在等比数列{an}中,a1=1,a5=9,则a3=( 易错 )
A.5B.±5C.±3D.3
6.(2020重庆一中高二上期中)已知等差数列{an}的公差为2,且a3是a1与a7的等比中项,则a1等于( )
A.6B.4C.3D.-1
7.已知三个数1,a,4成等比数列,求曲线x2+y2a=1的离心率.
题组三 等比数列的通项公式
8.(2021河南新乡、焦作部分学校高二上联考)在等比数列{an}中,a2=2,a5=-14,则{an}的公比q=( )
A.-12B.-14
C.-2D.-4
9.一个各项均为正数的等比数列,从第3项起,每一项都等于它前面的相邻两项之和,则公比q=( )
A.5-12B.32
C.352D.5+12
10.(2020山东济宁实验中学高二上期中)在等比数列{an}中,a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则a5=( )
A.24B.48
C.96D.-48
11.已知某等比数列的前三项依次为x,2x+2,3x+3,那么-272是此数列的( )
A.第2项B.第4项
C.第6项D.第8项
12.已知{an}是等比数列,若a3=2,a2+a4=203,求数列{an}的通项公式.
13.在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N+.
(1)求证:数列{an-n}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
题组四 等比数列的性质及应用
14.在等比数列{an}中,a2+a3=1,a3+a4=2,则a4+a5=( )
A.4B.8C.16D.32
15.(2021河南全国百强校“领军考试”高二上联考)在正项等比数列{an}中,a2a9=8,a5=2,则公比q为 ( )
A.12B.2C.14D.4
16.(多选)设{an}是公比为2的等比数列,则下列四个选项中,正确的是( )
A.1an是公比为12的等比数列
B.{a2n}是公比为4的等比数列
C.{2an}是公比为4的等比数列
D.{anan+1}是公比为2的等比数列
17.(2020福建福州八县一中高二上期中联考)已知等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a8a13=64,则lg2a1+lg2a2+…+lg2a20=( )
A.60B.50
C.40D.20+lg25
18.(1)已知等比数列{an}满足a1=14,a3a5=4(a4-1),求a2的值;
(2)已知等比数列{bn}为递增数列,若b1>0,且2(b4+b6)=5b5,求数列{bn}的公比.
能力提升练
题组一 等比数列的概念及其应用
1.(2021浙江“七彩阳光”新高考研究联盟高三上联考,)等比数列{an+1}中,a1=0,a5=3,则a3=( )

A.-3B.-2C.-1D.1
2.(2021广东广州高三上月考,)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升,b升,c升,1斗为10升,则下列判断正确的是( )
A.a,b,c成公比为2的等比数列,且a=507
B.a,b,c成公比为2的等比数列,且c=507
C.a,b,c成公比为12的等比数列,且a=507
D.a,b,c成公比为12的等比数列,且c=507
3.(2021河南焦作高二上期末,)在△ABC中,若sin A,sin B,sin C成公比为2的等比数列,则cs B= .
题组二 等比数列的通项公式
4.(2021湖南师大附中高二上期中, )已知等比数列{an}为递减数列,若a7a14=6,a4+a17=5,则a5a18=( )
A.32B.23C.16D.6
5.(2021河南九校高二上联考,)著名物理学家李政道说过:“科学和艺术是不可分割的.”音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的,它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载堉创立了十二平均律,是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例,把八度分成十二个半音,使相邻两个半音之间的频率比是常数,如表所示,其中a1,a2,…,a13表示这些半音的频率,它们满足lg2ai+1ai12=1(i=1,2,…,12).若某一半音与D#的频率的比值为32,则该半音为( )
A.F#B.GC.G#D.A
6.(2020北京石景山高二上期末,)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,且a2=1,a3+a4=6.设数列{an-n}的前n项和为Sn,那么S4 S5(填“>”“0,
所以q2>1,所以q2=2.
能力提升练
1.D 由题意得(a3+1)2=(a1+1)·(a5+1)=4,易知a3+1>0,所以a3+1=2,故a3=1.
2.D 依题意得a,b,c成等比数列,且公比为12,∴b=12a,c=12b=14a,
∴a+12a+14a=5×10,解得a=2007,
∴c=14a=507,故选D.
3.答案 34
解析 由sin A,sin B,sin C成公比为2的等比数列,得sin B=2sin A,sin C=2sin A,
所以由正弦定理可知b=2a,c=2a,所以cs B=a2+c2-b22ac=a2+4a2-2a22×a×2a=34.
4.A ∵a7a14=a4a17=6,a4+a17=5,
∴a4与a17为方程x2-5x+6=0的两个根,解得a4=2,a17=3或a4=3,a17=2.
∵等比数列{an}为递减数列,∴a4=3,a17=2,∴a17a4=q13=23,∴a5a18=1q13=32,故选A.
5.答案 B
信息提取 ①ai+1ai=2112;②D#对应的频率为a4;③所求半音与D#的频率的比值为32;④求对应的半音.
数学建模 以音乐中的乐理知识为背景,构建等比数列模型,利用数列知识求解.利用对数与指数的转化,得到数列a1,a2,…,a13为等比数列,公比q=2112,然后求所求半音对应的数列的项数,即得对应的半音.
解析 依题意可知an>0(n=1,2,…,13).由于a1,a2,…,a13满足lg2ai+1ai12=1(i=1,2,…,12),因此ai+1ai12=2,所以ai+1ai=2112,所以数列a1,a2,…,a13为等比数列,设公比为q,则q=2112,D#对应的频率为a4,所求半音与D#的频率的比值为32=213=(2112)4,所以所求半音对应的频率为a4·(2112)4=a8,即对应的半音为G.
6.答案 <
解析 设等比数列{an}的公比为q,则q>0,
所以a2=a1q=1,a3+a4=a1q2+a1q3=6,
解得a1=12,q=2或a1=−13,q=−3(舍去).
所以an=a1qn-1=2n-2,
所以S5-S4=a5-5=23-5=3>0,故S40.
∵a4=a2q2,即8=2q2,∴q=±2.
又q>0,∴q=2.
∴an=a2qn-2=2×2n-2=2n-1,
∴lg2an=lg22n-1=n-1.
∴数列{lg2an}的前n项和为0+1+2+…+(n-1)=n(n-1)2.故选C.
10.C 不妨取a1=1,a2=2,a3=8,a4=16,满足a1a4=a2a3,但{an}不是等比数列;反之,若{an}为等比数列,则根据等比数列的性质可知a1a4=a2a3,所以“a1a4=a2a3”是“{an}为等比数列”的必要不充分条件,故选C.
11.AC 对于A,设等差数列{an}的公差为d,由已知得a2=a1+d=1,a5=a1+4d=4,解得a1=0,d=1,
所以S10=10a1+10×92d=45,A正确;对于B,设等比数列{an}的公比为q,则a3=a1q2=q2>0,由等比数列的性质可得a32=a1a5=4,则a3=2,B错误;对于C,设等差数列{an}的公差为d,则a1a9=(a5-4d)(a5+4d)=a52-16d2≤a52=16,C正确;对于D,设等比数列{an}的公比为q,若q