高中数学北师大版必修32.1古典概型的特征和概率计算公式集体备课课件ppt

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2.1　古典概型的特征和概率计算公式
齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现各出上等、中等、下等三匹马分别进行一场比赛，胜两场以上(含两场)即为获胜．如齐王知道田忌的马的出场顺序，他获胜的概率是多大？如田忌知道齐王的马的出场顺序，他能获胜吗？如双方均不知对方马的出场顺序，你能探求田忌获胜的概率吗？
1．古典概型(1)定义：如果一个试验满足如下两个特征：①有限性：试验的所有可能结果只有_______个，每次试验只出现_________________；②等可能性：每一个试验结果出现的_____________.我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型)．
(2)计算公式对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由几个___________组成．如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为：P(A)＝______.(3)求古典概型概率的步骤①反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意．②判断试验是否为等可能事件，并用字母表示所求事件．③利用列举法或其他知识计算基本事件的总数n及事件A包含的基本事件的个数m.
2．建立概率模型(1)一般来说，在建立概率模型时，把什么看成一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的．我们只要求：每次试验有一个并且只有一个基本事件出现．只要基本事件的个数是_________，并且它们的发生是_________的，那么这种概率模型就是古典概型．(2)对于同一个随机试验，可以根据需要，建立满足我们要求的___________.(3)我们从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能结果数_______，问题的解决就变得越简单．
1．下列试验是古典概型的是(　　)A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件B．为求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D．抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止[解析]　A、D不是等可能的；B正整数平方的个位数字为1的数有无限个．
2．抛掷一枚骰子，出现偶数字的基本事件个数为(　　)A．1　　　B．2　　　C．3　　D．4[解析]　因为抛一枚骰子基本事件有6个，它们分别是1,2,3,4,5,6，故出现偶数字的基本事件是3个．
4．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是______.
5．全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.
(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．
命题方向1　⇨列基本事件的常用法
将一枚骰子先后抛掷两次，则：(1)一共有几个基本事件？(2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件？[解析]　解法一(列举法)：(1)用(x，y)表示结果，其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数，则试验的所有结果为：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．共36个基本事件．(2)“出现的点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．
解法二(列表法)：如下图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，基本事件与所描点一一对应．(1)由图知，基本事件总数为36.(2)总数之和大于8包含10个基本事件(已用虚线圈出)．
解法三(树形图法)：一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树形图表示．如下图所示：
(1)由图知，共36个基本事件．(2)点数之和大于8包含10个基本事件(已用“√”标出)．
『规律总结』　列基本事件的三种方法及注意点(1)列举法：一一列出所有基本事件的结果，一般适用于较简单的问题．(2)列表法：一般适用于较简单的试验方法．(3)树状图法：一般适用于较复杂问题中基本事件个数的探求．(注意点：要分清“有序”还是“无序”．)
〔跟踪练习1〕 袋中有红、白、黄、黑四种颜色但大小相同的四个小球．(1)从中任取一球；(2)从中任取两球；(3)先后各取一球．写出上面试验的基本事件，并指出基本事件的总数．
[解析]　(1)这个试验的基本事件为{红}，{白}，{黄}，{黑}，基本事件的总数是4.(2)一次取两球，如记{红，白}代表一次取出红球、白球两个球，则本试验的基本事件为{红，白}，{红，黄}，{红，黑}，{白，黄}，{白，黑}，{黄，黑}，基本事件的总数是6.(3)先后取两球，如记{红，白}代表先取一红球，后取一白球．因此本试验的基本事件为{红，白}，{白，红}，{红，黄}，{黄，红}，{红，黑}，{黑，红}，{白，黄}，{黄，白}，{白，黑}，{黑，白}，{黄，黑}，{黑，黄}，基本事件的总数是12.
命题方向2　⇨古典概型的判断
袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作是一个基本事件概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为基本事件，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
[思路分析]　由题目可获取以下主要信息：①袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球．②每球有一个区别于其他球的编号，现从中摸一球．解答本题可先确立概率模型以及它是由哪些基本事件所构成，然后再判断该模型是否满足古典概型的特点，进而确定是否为古典概型．[解析]　(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号．故共有11种不同的摸法，又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．
『规律总结』　针对这个类型的题目，首先看这个概率模型是由哪些基本事件所构成的，然后再研究这些基本事件的个数是否有限，出现的可能性是否相等．另外需注意的是基本事件的选择不同，结果可能有所不同．
〔跟踪练习2〕 判断下列两个试验是否为古典概型，并说明原因．(1)在数轴上任取一点，求该点坐标小于1的概率；(2)从1,2,3,4四个数字中任取两个数，求两数之一是2的概率．[解析]　(1)在数轴上任取一点，此点可以在数轴上的任一位置，且在每个位置的可能性是相同的，具备等可能性．但试验结果有无限多个，不满足古典概型的特征(1)，即不满足试验结果的有限性，因此不属于古典概型．(2)此问题是古典概型，因为此试验的所有基本事件共6个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，且每个事件的出现是等可能的，因此属于古典概型．
命题方向3　⇨古典概型概率的求法
有编号为A1，A2，…，A9的9道题，其难度系数如下表：其中难度系数小于0.50的为难题．(1)从上述9道题中，随机抽取1道，求这道题为难题的概率；(2)从难题中随机抽取2道，求这2道题的难度系数相等的概率．[思路分析]　(1)先由题意得到难题的题目数，再求所抽题为难题的概率；(2)求出从难题中随机抽取2道的种数，即可求出这两道题目难度系数相等的概率．
〔跟踪练习3〕 现有7名数理化成绩优秀者，其中A1、A2、A3的数学成绩优秀，B1、B2的物理成绩优秀，C1、C2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．(1)求C1被选中的概率；(2)求A1和B1不全被选中的概率．[解析]　(1)从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的12个基本事件为(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．
对“有序”与“无序”判断不准
某校从A、B、C、D四名同学中随机选派两人分别去参观甲、乙两个工厂，求学生A被选中的概率．
[辨析]　错解中忽视了从A、B、C、D四名学生中随机选两人分别去参观甲、乙两个工厂是有顺序的．
概率与统计的综合问题
概率与统计相结合，是历年新课标数学高考试题的一个亮点，其中所涉及的统计知识是基础知识，所涉及的概率是古典概型，虽然是综合题，但是难度不大，利用相关知识求解即可．
某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．(1)求频率分布图中a的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
(3)从评分在[40,60)受访职工中随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50)的概率．
[思路分析]　(1)利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；(2)对该部门评分不低于80，即评分在[80,100]，再根据频率分布直方图求出频率，估计概率；(3)求出评分在[50,60)的受访职工人数和评分在[40,50)的受访职工人数，再用列举法列出所有可能，利用古典概型公式解答．[解析]　(1)由题意，得(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，解得a＝0.006.(2)由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4.故该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.
1．下列试验中是古典概型的是(　　)A．在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环
[解析]　根据古典概型的特点，A项中，种子发芽与否的概率不相等；B项中，摸到每个球的概率相等，且只有4球；C项中，点落在圆内的结果数量是无限的；D项中，射击命中环数的概率也不一定相等．故只有B项是古典概型．
4．从2、3、8、9中任取两个不同的数字，分别记为a、b，则lgab为整数的概率是______.
5．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
课 时 作 业 学 案