北师大版必修26.1垂直关系的判定课堂教学课件ppt
展开6.1 垂直关系的判定
英国发明家瓦特获得了蒸汽机专利后,从一个大学实验员一跃成为波士顿—瓦特公司的老板,还成为英国皇家学会的会员,因此引起了许多旧贵族的嫉妒和不满.据说,在一次皇家音乐会上,有个贵族嘲讽地对瓦特说:“乐队指挥手里拿的东西在物理学家眼里仅仅是根棒子而已.”瓦特回答道:“是的,那的确是根棒子,但是我可以用这样的3根棒子摆出12个直角,而你却不能做到.”那个贵族不服气地用3根指挥棒在桌上摆来摆去,可始终无法摆出12个直角.你能用3根棒子摆出12个直角吗?
1.直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的________一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面________.
2.直线与平面垂直的判定定理(1)定理内容:如果一条直线和一个平面内的两条________直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.(2)符号表示为:若____________________________________,则l⊥α.(3)图形表示:(4)简记为:线线垂直⇒线面垂直
3.二面角及其平面角(1)半平面的定义:一个平面内的____________,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫作半平面.(2)二面角的定义:从一条直线出发的______________________图形,叫作二面角,这条直线叫作______________,这两个半平面叫作______________.(3)二面角的记法:以直线AB为棱、半平面α,β为面的二面角,记作二面角________________,也可记作__________________.
(4)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别______________的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.(5)直二面角:平面角是________的二面角叫作直二面角.
③图形表示④简记为:线面垂直⇒面面垂直.特别提示:应用判定定理证明平面与平面垂直的关键是:在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面.
1.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于( )A.平面OAB B.平面OACC.平面OBCD.平面ABC[解析] 由于OA⊥OB,OA⊥OC,且OB∩OC=O,所以OA⊥平面OBC.
2.下列结论正确的是( )A.若直线a与平面M内两条直线垂直,则a⊥MB.若直线a与平面M内的无数条直线垂直,则a⊥MC.若直线a与平面M内的一个三角形两边垂直,则a⊥MD.若直线a与平面M内的一平行四边形两边垂直,则a⊥M[解析] A中漏掉相交两字,B中无数条不等价于任何一条,D中同样不能保证两边是相交.
3.已知直线m,n与平面α,β,γ,下列可能使α⊥β成立的条件是( )A.α⊥γ,β⊥γB.α∩β=m,m⊥n,nβC.m∥α,m∥βD.m∥α,m⊥β[解析] 选择适合条件的几何图形观察可得,A中α∥β或α与β相交,B中α,β相交,但不一定垂直,C中α∥β或α与β相交.
4.(2017·巢湖检测)设α表示平面,a,b表示直线.①a⊥α,a∥b⇒b⊥α;②a⊥α,a⊥b⇒b∥α;③a⊥α,b⊥α⇒a∥b.上述说法中正确的序号是________.[解析] ①正确;②中b与α可能平行,也可能在α内,故不正确;③易知正确.
5.在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E、F分别是棱AB,BC的中点,O是AC、BD的交点,如图所示,则EF与平面BB1O的关系是________.[解析] EF与平面BB1O的关系,即EF与平面BB1D1D的关系.由已知可得EF⊥BD,EF⊥BB1,即可得EF⊥平面BB1D1D.
6.AB是圆O的直径,C是异于A、B的圆周上的任意一点,PA垂直于圆O所在的平面,则△PAB、△PAC、△ABC、△PBC中共有_____个直角三角形.[解析] 由PA垂直于⊙O所在平面,知PA⊥AC,PA⊥AB,又AB为⊙O的直径,∴AC⊥BC由PA⊥BC,AC⊥BC∴BC⊥平面PAC∴BC⊥PC∴三棱锥P-ABC的四个面均为直角三角形.
命题方向1 ⇨直线与平面垂直的概念的理解
能够证明直线l与平面α垂直的条件是( )①l与α内两条平行直线垂直;②l与α内两条相交直线垂直;③l与α内无数条直线垂直;④l与α内任意两条直线垂直;⑤l∥m,m⊥α;⑥直线m,n确定平面α,l⊥m,l⊥n.A.①②④ B.①③⑥C.②④⑤D.③④⑥
[思路分析] 利用直线与平面垂直的概念和判定定理解决.[解析] 前面的四个命题是直接利用线面垂直的定义与判定定理,显然②④正确,①③错误;命题⑤说明:如果一个平面与两条平行线中的一条垂直必与另一条直线也垂直;命题⑥中直线m,n确定平面α时,直线m,n有相交与平行两种情况,当相交时得l⊥α,当平行时不一定得到l⊥α.
〔跟踪练习1〕下列结论是错误的是__________.(1)一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面垂直.(2)一条直线与一个平面不垂直,那么这条直线不可能与平面内的无数条直线垂直.(3)平面的垂线与这个平面一定相交.(4)一条直线上有两点到一平面的距离相等,则该直线与平面平行.
[解析] (1)如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直.一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,则不具备线面垂直定义的要求,所以(1)正确;(2)若无数条直线为一组平行线,虽一直线与一平面不垂直,但该直线与无数条直线中有一条垂直即可,显然这是很容易做到的,故(2)错误;(3)若平面的垂线与这个平面不相交,则该垂线在平面内或与平面平行,显然与线面垂直的定义不符合,所以(3)正确;(4)若直线与平面相交时,在交点的两侧各取一点使到交点的距离一样,则此时这两个点到该平面的距离相等,故(4)错误.
命题方向2 ⇨线面垂直的判定
如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,在平面PAB中,作AH⊥PB.(1)求证:BC⊥平面PAB;(2)求证:AH⊥平面PBC.
[思路分析] 证线面垂直的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直,而证线线垂直时,可根据线面垂直的定义.
[解析] (1)由于PA⊥平面ABC,BC平面ABC,∴PA⊥BC.又∵∠ABC=90°,∴BC⊥AB,而AB∩PA=A,∴BC⊥平面PAB.(2)由于AH平面PAB,由(1)知BC⊥AH又∵AH⊥PB,且PB∩BC=B,∴AH⊥平面PBC.
『规律总结』 1.利用直线和平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直的步骤:(1)在这个平面内找两条直线,证明它和这两条直线垂直;(2)说明这个平面内的两直线是相交的直线;(3)根据判定定理得出结论.2.证明线面垂直时,需要先证线线垂直,而线线垂直关系的获得往往是先证得线面垂直,从而根据线面垂直的定义得出线线垂直,因此证明过程通常是反复利用线面垂直的定义及线面垂直判定定理的过程.
〔跟踪练习2〕已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形,且∠ABC=60°,PA=PC=2,PB=PD.若O是AC与BD的交点,求证:PO⊥平面ABCD.
[解析] ∵PA=PC,PD=PB,且O是AC和BD的中点∴PO⊥AC,PO⊥BD.又AC∩BD=O∴PO⊥平面ABCD.
命题方向3 ⇨面面垂直的判定
[思路分析] (1)由三角形的中位线定理易证PA∥DE.(2)易证DE⊥AC及DE⊥EF,故DE⊥平面ABC.
『规律总结』 本题考查线面平行及面面垂直的证明.证明线面平行只需证明线与平面内的一条直线平行;证明面面垂直只需证明一个平面经过了另一个平面的垂线,同时要注意写明条件.
〔跟踪练习3〕如图所示,四边形ABCD是边长为a的菱形,∠A=60°,PC⊥平面ABCD,E是PA的中点,求证:平面BDE⊥平面ABCD.
命题方向4 ⇨简单的二面角问题
(1)如图(1)所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过C1、B、D三点作一个平面,试作出二面角C1-BD-C的平面角,并说明作图的根据;(2)如图(2)所示,在空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,试作出二面角A-BD-C的平面角,并说明作图的依据.
[思路分析] 根据二面角平面角的定义作出.[解析] (1)取BD的中点O,连接CO、C1O,则∠C1OC即为二面角C1-BD-C的平面角.因为BD是二面角C1-BD-C的棱,ABCD-A1B1C1D1为正方体,O是底面正方形ABCD对角线BD的中点,所以CO⊥BD,又C1D=C1B,所以C1O⊥BD.因此,∠C1OC即为二面角C1-BD-C的平面角.(2)取BD的中点O,连接AO、CO,则∠AOC为二面角A-BD-C的平面角.因为BD是二面角A-BD-C的棱,又AB=AD所以AO⊥BD;BC=CD,所以CO⊥BD.因此,∠AOC为二面角A-BD-C的平面角.
『规律总结』 指出或作出二面角的平面角的关键是先找出两个半平面和二面角的棱,一般先观察所给图中是否有二面角的平面角,如果没有再作出来.
〔跟踪练习4〕(1)正方体AC1中,二面角B1-AD-B的平面角是( )A.∠B1BA B.∠BADC.∠B1DBD.∠B1AB(2)三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,则二面角P-AB-C的平面角是( )A.∠PACB.∠PCAC.∠APCD.∠PAB
线线垂直和线面垂直的相互转化
如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.求证:AE⊥BE.
平面内有一个三角形ABC,平面外有一点P,自P向平面作斜线PA、PB、PC,且PA=PB=PC.若点O是△ABC的外心,求证:PO⊥平面ABC.
[错解] 如图所示,连接AO、BO、CO.O为△ABC的外心,所以OA=OB=OC.又PA=PB=PC,PO为公共边,所以△AOP≌△BOP≌ △COP.所以∠AOP=∠BOP=∠COP=90°于是由PO⊥OA、PO⊥OB推知PO⊥平面ABC.
[辨析] 错解的原因是仅从三个三角形全等,就认为必有∠AOP=∠BOP=∠COP=90°,这是没有根据的.三个三角形全等只能保证∠AOP=∠BOP=∠COP,没有根据说这些角都是直角.因此,上述证明是错误的.
『规律总结』 几何论证应按步骤一步步证明,似是而非,推理不严密都是不合理的.
课 时 作 业 学 案
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