北师大版必修43.1数乘向量背景图课件ppt

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§3 从速度的倍数到数乘向量
某小学在一条长150米的笔直的跑道上做一项体力与智力相结合的游戏．从在最北端的A点向正南跑50米到达B点处做一组数学练习题，做对后再向正南跑50米到达C处做一组语文练习题，做对后又向正南跑50米到达终点D处做一组“自然”题，做对后原路跑回到起点A.用时少者为优胜者．其实这个游戏里就包括了本节所要学习的向量的数乘．
(4)几何意义：由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a的有向线段_______或_______.当|λ|>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上_______为原来的________倍；当|λ|<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上_______为原来的________倍．(5)运算律设λ，μ为实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝_________；③λ(a＋b)＝_________.
2．向量共线的判定定理和性质定理(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得________，则向量b与非零向量a共线．(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得________.[知识点拨]向量共线定理的理解注意点及主要应用1．定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa.2．这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使ta＋sb＝0，则a与b共线；若两个非零向量a与b不共线，且ta＋sb＝0，则必有t＝s＝0.
1．已知非零向量a、b满足a＝4b，则(　　)A．|a|＝|b|　　B．4|a|＝|b|C．a与b的方向相同　　D．a与b的方向相反[解析]　∵a＝4b,4>0，∴|a|＝4|b|.∵4b与b的方向相同，∴a与b的方向相同．
已知a，b为两非零向量，试判断下列说法的正误，并说明理由．(1)2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；
命题方向1　⇨数乘向量的定义及其几何意义
[思路分析]　解答本题可先从实数的正负判断两向量的方向关系，再找两向量模的关系，从而作出判断．
『规律总结』　首先要意识到向量线性运算的结果仍是向量，然后要明确判断两向量的关系，应从两个方面入手，一是方向，二是长度．
〔跟踪练习1〕下列表述不正确的是(　　)A．λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)B．(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)C．λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)D．λa与a的方向和λ无关(λ∈R)[解析]　当λ>0时，λa与b同向，当λ＝0时，λa＝0方向任意，当λ<0时，λa与a的方向相反．
(1)4(a＋b)－3(a－b)－8a；(2)(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；
命题方向2　⇨数乘向量的运算及其应用
『规律总结』　(1)实数与向量积的运算问题，必须按照实数与向量的积所满足的运算律进行运算．(2)实数与向量的积的运算，类似于实数与多项式的运算．
用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得b＝λa(a、b为这三点构成的其中任意两个向量)．证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共点，证得三点共线．
利用向量共线的判定定理与性质定理证明三点共线　
设两个非零向量e1和e2不共线．
『规律总结』　证明三点共线，往往要转化为证明过同一点的两条有向线段所在的向量共线；证明两向量共线，只需找出它们之间的线性关系．如果已知两个向量共线，要确定参数的值，需用向量共线的性质定理建立等式，然后根据向量相等的条件得到关于参数的方程，解之即可．
已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，问表示a，b，c的有向线段能否构成三角形？
[辨析]　上述解法只考虑了一般情况，忽视了向量共线的特殊情况．
1．已知λ，μ∈R，下面式子正确的是(　　)A．λa与a同向B．0·a＝0C．(λ＋μ)a＝λa＋μaD．若b＝λa，则|b|＝λ|a|[解析]　当λ<0时，λa与a反向，A错；0·a＝0，B错；若b＝λa，则|b|＝|λ||a|，D错．
3．已知实数m，n和向量a，b，给出下列命题：①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na(a≠0)，则m＝n.其中正确的命题是(　　)A．①②③　　B．①②④　C．①③④　　D．②③④[解析]　由数乘向量定义及运算律可知①②④正确；对于③，若m＝0时，则可能有a≠b.
4．若|a|＝3，b与a反向，|b|＝2，则a＝_______b.