第二章达标检测-2022版数学选择性必修第一册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析）

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本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知方程x2|m|-1+y22-m=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-∞,2)　　　　　　　
B.(1,2)
C.(-∞,-1)∪(1,2)　　　　　　　
D.(-∞,-1)∪1,32
2.已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(x0,y0)在抛物线E上,若|AF|=|y0|=2,则p= (　　)
A.2　　　　　　　B.4　　　　
C.6　　　　　　　D.8
3.在平面直角坐标系xOy中,动点P关于x轴对称的点为Q,且OP·OQ=2,则点P的轨迹方程为 (　　)
A.x2+y2=2　　　　　　　B.x2-y2=2
C.x+y2=2　　　　　　　D.x-y2=2
4.已知椭圆x27+y2b2=1,过原点O且斜率为3的直线与椭圆交于C,D两点,若|CD|=4,则椭圆的方程为 (　　)
A.x27+y24=1　　　　　　　B.x27+y23=1
C.x27+y26=1　　　　　　　D.x27+2y27=1
5.在同一坐标系中,方程y2a2+x2b2=1与ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致是 (　　)

6.已知直线ax+y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点,则直线与抛物线相交弦的弦长为 (　　)
A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9
7.双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(3,0),且点F到双曲线C的一条渐近线的距离为1,则双曲线C的离心率为 (　　)
A.2　　　　B.324　　　　C.233　　　　D.23
8.已知椭圆x2a2+y2=1(a>1),上顶点为A,左顶点为B,设P为椭圆上一点,则△PAB面积的最大值为2+1.若已知M(-3,0),N(3,0),点Q为椭圆上任意一点,则1|QN|+4|QM|的最小值为 (　　)
A.2　　　　B.3+22　　　　C.3　　　　D.94
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.已知双曲线E:x2m-y24=1(m>0)的一条渐近线方程为x+3y=0,则下列说法正确的是 (　　)
A.E的焦点在x轴上　　　　　　　B.m=49
C.E的实轴长为6　　　　　　　D.E的离心率为103
10.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l的斜率为3且经过点F,直线l与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限)、与抛物线的准线交于点D,若|AF|=4,则下列结论正确的是(　　)
A.p=2　　　　　　　B.F为AD的中点
C.|BD|=2|BF|　　　　　　　D.|BF|=2
11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,过点F的直线与抛物线交于P,Q两点,M为线段PQ的中点,O为坐标原点,则 (　　)
A.C的准线方程为y=-1
B.线段PQ长度的最小值为4
C.S△OPQ≥2
D.OP·OQ=-3
12.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为52,且双曲线C的左焦点在直线x+y+5=0上,A,B分别是双曲线C的左,右顶点,P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点,记PA,PB的斜率分别为k1,k2,则下列说法正确的是 (　　)
A.双曲线C的渐近线方程为y=±2x
B.双曲线C的方程为x24-y2=1
C.k1k2为定值14
D.存在点P,使得k1+k2=1
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.椭圆x29+y24=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2=　　　　. 
14.已知F1,F2为双曲线x2-y24=1的左、右焦点,P为双曲线右支上一点,且|PF1|=2|PF2|,则△PF1F2的面积为　　　　. 
15.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,上、下顶点分别为B1,B2,若AB1·AB2=3,△AB1B2的面积为2,直线y=x与椭圆相交于M,N两点,则椭圆的方程为　　　　　　,|MN|的值为　　　　. 
16.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线l交抛物线于点M,N,交抛物线的准线于点P,若PM=2PF,则直线l的倾斜角为　　　　. 
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)过双曲线x24-y22=1的右焦点F作斜率为2的直线l,交双曲线于A,B两点.
(1)求双曲线的离心率和渐近线方程;
(2)求|AB|的长.













18.(本小题满分12分)如图,抛物线的顶点在原点,圆(x-2)2+y2=4的圆心恰是抛物线的焦点.
(1)求抛物线的方程;
(2)一条直线的斜率等于2,且过抛物线的焦点,它依次交抛物线和圆于A、B、C、D四点,求|AB|+|CD|的值.












19.(本小题满分12分)已知P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点,F1,F2分别是椭圆左、右两个焦点,椭圆的长轴是短轴的2倍,当∠F1PF2=π3时,△F1PF2的面积为33.
(1)求椭圆的方程;
(2)若∠F1PF2为钝角,求点P的横坐标的取值范围.


















20.(本小题满分12分)已知椭圆的中心在坐标原点,右焦点F的坐标为(3,0),直线l:x+2y-2=0交椭圆于A、B两点,线段AB的中点为M1,12.
(1)求椭圆的方程;
(2)动点N满足NA·NB=0,求动点N的轨迹方程.


















21.(本小题满分12分)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点F到抛物线准线的距离为2,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点也为F,离心率为12.
(1)求抛物线方程和椭圆方程;
(2)若不经过F的直线l与抛物线交于A,B两点,且OA·OB=-3(O为坐标原点),直线l与椭圆交于C,D两点,求△CDF面积的最大值.












22.(本小题满分12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=43,A3,-132是椭圆上一点.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若G为椭圆C上异于顶点的任意一点,M,N分别为椭圆的右顶点和上顶点.直线GM与y轴交于点P,直线GN与x轴交于点Q,求证:|PN|·|QM|为定值.











答案全解全析
一、单项选择题
1.D　由题意得|m|-1>0,2-m>0,2-m>|m|-1,即m<-1或m>1,m<2,m<32,∴m<-1或1 2.A　由抛物线的定义可知,|AF|=x0+p2=2.
解法一:因为点A(x0,y0)在抛物线E:y2=2px(p>0)上,
所以|y0|=2px0=2,即x0=2p,所以x0+p2=2p+p2=2,解得p=2.故选A.
解法二:因为|AF|=|y0|=2,所以AF⊥x轴.所以x0=p2.
所以x0+p2=p2+p2=p=2.故选A.
3.B　设P(x,y),则Q(x,-y),则OP·OQ=(x,y)·(x,-y)=x2-y2=2.故选B.
4.D　由题意可知,直线CD的方程为y=3x,直线的倾斜角为π3,不妨设点C在第一象限,则OC=2,因此可得C(1,3),又点C在椭圆x27+y2b2=1上,所以17+3b2=1⇒b2=72,所以椭圆的方程为x27+2y27=1,故选D.
5.D　由a>b>0,知方程y2a2+x2b2=1表示焦点在y轴上的椭圆,由ax+by2=0,得y2=-abx,因为-ab<0,所以方程ax+by2=0表示焦点在x轴上且开口向左的抛物线,故选D.
6.C　抛物线y2=4x的焦点为(1,0),准线为x=-1,由题意可得,a+1=0,解得a=-1,联立直线方程y=x-1和抛物线方程y2=4x,可得x2-6x+1=0,设交点为A(x1,y1),B(x2,y2),即有x1+x2=6,由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=6+2=8.故选C.
7.B　因为双曲线C的右焦点为F(3,0),所以c=3,双曲线C:x2a2-y2b2=1的渐近线方程为bx±ay=0.又点F到双曲线C的一条渐近线的距离为1,所以|3b|b2+a2=1,即3bc=1,所以b=1,所以a=c2-b2=22,因此e=ca=324.故选B.
8.D　在椭圆x2a2+y2=1(a>1)中,点A(0,1),B(-a,0),则|AB|=a2+1,kAB=1a,直线AB的方程为y=1ax+1,设与直线AB平行且距直线AB较远的椭圆的切线方程为y=1ax+b(b≠1),由方程组y=1ax+b,x2a2+y2=1得2x2+2abx+a2b2-a2=0,由Δ=(2ab)2-4×2(a2b2-a2)=0,得b2=2,则b=-2,两平行线间的距离d=|1+2|1a2+1=a(1+2)a2+1,则△PAB面积的最大值为12|AB|·d=2+1,得a=2,∴|QM|+|QN|=2a=4,∴1|QN|+4|QM|=141|QN|+4|QM|(|QM|+|QN|)=1+14+|QM|4|QN|+|QN||QM|≥1+14+2|QM|4|QN|·|QN||QM|=94,当且仅当|QM|=2|QN|时取等号.故选D.
二、多项选择题
9.AD　由m>0,可知双曲线E的焦点在x轴上,故A正确;根据题意得ba=2m=13,所以m=36,故B错误;双曲线E的实轴长为2m=236=12,故C错误;双曲线E的离心率e=ca=m+4m=4036=103,故D正确.故选AD.
10.ABC　如图所示:作AC⊥准线于C,AM⊥x轴于M,BE⊥准线于E.直线l的斜率为3,故tan∠AFM=3,∠AFM=π3,|AF|=4,故|MF|=2,|AM|=23.将Ap2+2,23代入抛物线方程得到p=2;|NF|=|FM|=2,故△AMF≌△DNF,故F为AD的中点;∠BDE=π6,故|DB|=2|BE|=2|BF|;|BD|=2|BF|,|BD|+|BF|=|DF|=|AF|=4,故|BF|=43.故选ABC.

11.BCD　焦点F到准线的距离为p=2,所以抛物线C的焦点为(1,0),准线方程为x=-1,故选项A错误;当PQ垂直于x轴时,线段PQ的长度最小,此时不妨令P(1,2),Q(1,-2),所以|PQ|min=4,故选项B正确;设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线PQ的方程为x=my+1,联立x=my+1,y2=2px,消去y可得x2-(4m2+2)x+1=0,消去x可得y2-4my-4=0,所以x1+x2=4m2+2,y1+y2=4m,x1x2=1,y1y2=-4,S△OPQ=12|OF|·|y1-y2|=12×1×(y1+y2)2-4y1y2=12×16m2+16≥2,当m=0时等号成立,故选项C正确;又x1x2=1,y1y2=-4,所以OP·OQ=x1x2+y1y2=-3,故选项D正确.故选BCD.
12.BC　因为双曲线C的左焦点(-c,0)在直线x+y+5=0上,所以c=5,又离心率为e=ca=52,所以a=2,故b2=c2-a2=1,所以双曲线C的方程为x24-y2=1,其渐近线方程为y=±12x,故A错误,B正确;易知A(-2,0),B(2,0),设P(m,n),则m24-n2=1,即n2m2-4=14,所以k1k2=nm+2·nm-2=n2m2-4=14,故C正确;因为点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点,所以k1>0,k2>0,则k1+k2≥2k1k2=2×12=1,当且仅当k1=k2时,等号成立,由A,B分别为左,右顶点,可得k1≠k2,所以k1+k2>1,故D错误.故选BC.
三、填空题
13.答案　90°
解析　已知椭圆x29+y24=1,
所以a=3,b=2,则c=5,
点P在椭圆上,|PF1|=4,则|PF2|=2a-|PF1|=6-4=2,
在△F1PF2中,|PF1|=4,|PF2|=2,|F1F2|=2c=25,
则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以∠F1PF2=90°,故答案为90°.
14.答案　4
解析　因为|PF1|=2|PF2|,|PF1|-|PF2|=2,
所以|PF2|=2,|PF1|=4.
又|F1F2|=25,
所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以∠F1PF2=π2,
所以S△PF1F2=12|PF1||PF2|=4.
15.答案　x24+y2=1;4105
解析　由题意知A(-a,0),B1(0,b),B2(0,-b),因此AB1·AB2=a2-b2=3①,由于△AB1B2的面积为2,所以ab=2②,由①②得a=2,b=1,所以椭圆的方程为x24+y2=1.把y=x代入椭圆的方程,化简整理得5x2=4,解得x1=255,x2=-255,所以|MN|=1+12|x1-x2|=2×455=4105.
16.答案　π3或2π3
解析　如图:

Fp2,0,设A-p2,0,
过A-p2,0作出抛物线的准线,则|AF|=p,
过M作MB垂直准线于B,则MB∥x轴,
∵PM=2PF,∴F为PM的中点,∴A为PB的中点,
∴|AF|=12|MB|,
∴|MB|=2p,即|FM|=2p,
∴|PF|=2p=2|AF|,
∴∠APF=π6,∠AFP=π3,
∴直线l的倾斜角为π3或2π3.
四、解答题
17.解析　(1)因为双曲线的方程为x24-y22=1,
所以a=2,b=2,则c=a2+b2=6, (2分)
所以e=ca=62,渐近线方程为y=±22x. (4分)
(2)双曲线的右焦点为(6,0),则直线l的方程为y=2(x-6),
代入双曲线方程x24-y22=1中,化简可得7x2-166x+52=0, (6分)
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=1667,x1x2=527, (8分)
所以|AB|=1+4|x2-x1|=5×(x1+x2)2-4x1x2=207. (10分)
18.解析　(1)设抛物线的方程为y2=2px(p>0),
∵圆(x-2)2+y2=4的圆心恰是抛物线的焦点,∴p=4. (2分)
∴抛物线的方程为y2=8x. (4分)
(2)依题意可知直线AB的方程为y=2x-4,(6分)
设A(x1,y1),D(x2,y2),则由y=2x-4,y2=8x,
得x2-6x+4=0, (8分)
∴x1+x2=6,
|AD|=x1+x2+p=6+4=10, (10分)
|AB|+|CD|=|AD|-|CB|=10-4=6. (12分)
19.解析　(1)由椭圆焦点三角形的面积公式得b2tanπ6=33,解得b=3,
又椭圆的长轴是短轴的2倍,即2a=4b,
∴a=6, (2分)
∴椭圆的方程为x236+y29=1. (4分)
(2)设P(x0,y0),则x0236+y029=1,
又F1(-33,0),F2(33,0),
∴PF1=(-33-x0,-y0),PF2=(33-x0,-y0), (6分)
∵∠F1PF2为钝角,
∴PF1·PF2=x02-27+y02<0,即x02+y02<27, (8分)
∴x02+9-x024<27,解得-26 ∴点P的横坐标的取值范围为(-26,26).　 (12分)
20.解析　(1)由题意设椭圆的方程为x2m+y2n=1(m>n>0,m-n=9), (1分)
A(x1,y1),B(x2,y2),则x12m+y12n=1①,x22m+y22n=1②,①-②得(x1+x2)(x1-x2)m=-(y1+y2)(y1-y2)n,
因为线段AB的中点为M1,12,所以x1+x2=2,y1+y2=1, (3分)
所以2(x1-x2)m=-y1-y2n,所以y1-y2x1-x2=-2nm=kAB=-12,
所以m=4n,又m-n=9,所以m=12,n=3,
所以椭圆的方程为x212+y23=1. (6分)
(2)由x212+y23=1,x+2y-2=0,消去x,得y2-y-1=0,解得y1=1+52,y2=1-52,不妨设A1-5,1+52,B1+5,1-52, (8分)
因为NA·NB=0,所以动点N的轨迹是以M为圆心,|AB|为直径的圆.
所以r2=|AM|2=(5)2+-522=254,又M1,12, (10分)
所以动点N的轨迹方程为(x-1)2+x-122=254. (12分)
21.解析　(1)由已知得,p=2,F(1,0),
∴c=1,e=ca=12,∴a=2, (2分)
b2=a2-c2=3,
所以抛物线方程为y2=4x,椭圆方程为x24+y23=1. (4分)
(2)设直线l的方程为my=x+n,由y2=4x,　my=x+n,
消去x得y2-4my+4n=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=4n, (6分)
因为OA·OB=x1x2+y1y2=(y1y2)216+y1y2=16n216+4n=n2+4n=-3,
所以n=-3或n=-1,
因为n=-1时,直线l恒过点F,所以舍去.
所以直线l的方程为my=x-3.
由x24+y23=1,my=x-3,
消去x得(3m2+4)y2+18my+15=0.
设C(xC,yC),D(xD,yD),直线l与x轴的交点为E,
则yC+yD=-18m3m2+4,yCyD=153m2+4,E(3,0). (8分)
所以S△CDF=12|EF|·|yC-yD|
=12×2×|yC-yD|=|yC-yD|
=(yC+yD)2-4yCyD
=-18m3m2+42-603m2+4
=43·3m2-53m2+4. (10分)
令3m2-5=t(t>0),则m2=t2+53,
所以S(t)=43·tt2+9=43t+9t≤436=233,当且仅当t=3,即m=±423时,△CDF的面积取得最大值,最大值为233. (12分)
22.解析　(1)在椭圆C:x2a2+y2b2=1中,
∵|F1F2|=43,
∴c=23,F1(-23,0),F2(23,0), (1分)
又知A3,-132为C上的点,
根据椭圆的定义有|AF1|+|AF2|=2a,
∴|AF1|+|AF2|=(33)2+-1322+(-3)2+-1322=2a,
解得a=4,∴b2=a2-c2=4, (2分)
即椭圆C的方程为x216+y24=1,
e=ca=32. (4分)
(2)证明:设G(x0,y0)(x0≠0且x0≠±4).
由(1)知M(4,0),N(0,2),易知直线GM和直线GN的斜率存在,
则直线GM:y=y0x0-4(x-4),
令x=0,得yP=-4y0x0-4,
即得P0,-4y0x0-4, (6分)
直线GN:y=y0-2x0x+2,
令y=0,得xQ=-2x0y0-2,
即得Q-2x0y0-2,0,
则|PN|=2+4y0x0-4,|QM|=4+2x0y0-2, (8分)
于是|PN|·|QM|=2+4y0x0-4·4+2x0y0-2=41+2y0x0-42+x0y0-2=
4x02+4y02+4x0y0-8x0-16y0+16x0y0-2x0-4y0+8. (10分)
将x02+4y02=16代入,整理得|PN|·|QM|=16.
故|PN|·|QM|为定值. (12分)