第三章达标检测-2022版数学选择性必修第一册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析）

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本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在空间直角坐标系中,点M(-5,3,1)关于x轴的对称点为N,已知点A(1,2,2),则|AN|= (　　)
A.70　　　　　　　B.32　　　　
C.62　　　　　　　D.46
2.已知向量a=(2,-3,3)是直线l的方向向量,向量n=(1,0,0)是平面α的法向量,则直线l与平面α所成的角为 (　　)
A.30°　　　　B.45°　　　　C.60°　　　　D.90°
3.如图,在四面体OABC中,M,N分别在棱OA,BC上且满足OM=2MA,BN=NC,点G是线段MN的中点,用向量OA,OB,OC作为空间的一组基表示向量OG应为 (　　)

A.OG=13OA+16OB+13OC
B.OG=13OA+14OB+14OC
C.OG=13OA+13OB+16OC
D.OG=14OA+14OB+13OC
4.设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥b,b∥c,则|a+b|= (　　)
A.22　　　　B.10　　　　C.3　　　　D.4
5.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),BP=(x-1,y,-3),若AB⊥BC,且BP⊥平面ABC,则BP= (　　)
A.207,-157,-3　　　　　　　B.407,-157,-3
C.337,157,-3　　　　　　　D.337,-157,-3
6.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,则 (　　)

A.EF至多与A1D,AC之一垂直
B.EF⊥A1D,EF⊥AC
C.EF与BD1相交
D.EF与BD1异面
7.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为棱AA1的中点,则直线DE与BD1所成角的余弦值为 (　　)
A.1515　　　　B.33　　　　C.255　　　　D.0
8.如图,动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线BD1上,D1PD1B=λ,当∠APC为锐角时,λ的取值范围是 (　　)

A.0,13　　　　B.0,12　　　　C.13,1　　　　D.12,1
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中,正确的是 (　　)
A.两条不重合的直线l1,l2的一个方向向量分别是a=(2,3,-1),b=(-2,-3,1),则l1∥l2
B.直线l的一个方向向量是a=(1,-1,2),平面α的一个法向量是u=(6,4,-1),则l⊥α
C.两个不同的平面α,β的一个法向量分别是u=(2,2,-1),v=(-3,4,2),则α⊥β
D.直线l的一个方向向量是a=(0,3,0),平面α的一个法向量是u=(0,-5,0),则l∥α
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论正确的是 (　　)
A.四边形ABC1D1的面积为|AB||BC1|
B.AD1与A1B的夹角为60°
C.(AA1+A1D1+A1B1)2=3A1B12
D.A1C·(A1B1-A1D1)=0
11.若正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则下列结论正确的是 (　　)
A.AD与BC所成角为30°
B.AC与BD所成角为90°
C.BC与平面ACD所成角的正弦值为33
D.平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是2
12.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等边三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,D为AB的中点,若AB=2,AA1=6,则 (　　)

A.CD⊥A1D
B.异面直线A1D与AC1所成角的正弦值为3514
C.异面直线A1D与AC1所成角的余弦值为7014
D.CD∥平面AB1C1
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.已知空间中两点A(-3,-1,1),B(-2,2,3),在Oz轴上有一点C到A、B两点的距离相等,则点C的坐标为　　　　. 
14.在空间直角坐标系O-xyz中,四面体ABCD的顶点坐标分别是A(0,0,2),B(2,2,0),C(1,2,1),D(2,2,2),则点B到平面ACD的距离是　　　　. 
15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为　　　　. 
16.如图,在三棱锥S-ABC中,SA=SB=SC,且∠ASB=∠BSC=∠CSA=π2,M、N分别是AB和SC的中点,则异面直线SM与BN所成角的余弦值为　　　　,直线SM与平面SAC所成角的大小为　　　　. 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为AB、B1C的中点.用向量方法证明:
(1)平面A1BD∥平面B1CD1;
(2)MN⊥平面A1BD.






18.(本小题满分12分)如图,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB=2a,F为CD的中点.
(1)求证:AF∥平面BCE;
(2)判断平面BCE与平面CDE的位置关系,并证明你的结论.





19.(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,AC⊥BC,D是A1C1的中点,且AC=BC=AA1=2.
(1)求证:BC1∥平面AB1D;
(2)求直线BC与平面AB1D所成角的正弦值.







20.(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,BD=22.
(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)求二面角P-CD-B的余弦值;
(3)求点C到平面PBD的距离.


21.(本小题满分12分)如图1,在△ABC中,∠B=90°,AB=2,BC=1,点D,E分别是边AB,AC的中点,现将△ABC沿DE折成直二面角A-DE-B,如图2,连接各点.
(1)求证:平面ADC⊥平面ABE;
(2)求直线AD与平面ABE所成角的正切值.











22.(本小题满分12分)如图,三棱锥P-ABC的侧棱PA=2,三角形ABC为正三角形,边长为2,顶点P在平面ABC上的投影为D,且AD⊥DB,DB=1.
(1)求证:AC∥平面PDB;
(2)求二面角P-AB-C的余弦值;
(3)线段PC上是否存在点E,使得PC⊥平面ABE?如果存在,求出CECP的值;如果不存在,请说明理由.









答案全解全析
一、单项选择题
1.A　因为点M(-5,3,1)关于x轴的对称点为N,所以点N的坐标为(-5,-3,-1),
所以|AN|=(1+5)2+(2+3)2+(2+1)2=70.故选A.
2.A　cos=a·n|a||n|=24×1=12,故向量a,n的夹角为60°,则直线l与平面α所成的角为90°-60°=30°.故选A.
3.B　连接ON,如图,

由向量加法的平行四边形法则可得OG=12(OM+ON)=12×23OA+12×12(OB+OC)=13OA+14OB+14OC.故选B.
4.C　∵b∥c,
∴2y=-4×1,∴y=-2,
∴b=(1,-2,1),
∵a⊥b,∴a·b=x+1×(-2)+1=0,∴x=1,
∴a=(1,1,1),
∴a+b=(2,-1,2),
∴|a+b|=22+(-1)2+22=3.
故选C.
5.D　∵AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),AB⊥BC,∴AB·BC=8-2z=0,解得z=4,
∴BC=(3,1,4),
∵BP⊥平面ABC,AB,BC⊂平面ABC,
∴BP⊥AB,BP⊥BC,
∴BP⊥AB,BP⊥BC,
∴BP·AB=x+5y+5=0,BP·BC=3x+y-15=0,解得x=407,y=-157,
∴BP=337,-157,-3.故选D.
6.B　如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为3,则E(1,0,1),F(2,1,0),A1(3,0,3),A(3,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0),B(3,3,0),D1(0,0,3),
∴EF=(1,1,-1),AC=(-3,3,0),A1D=
(-3,0,-3),
∴EF·AC=0,EF·A1D=0,
∴EF⊥AC,EF⊥A1D,
∴EF⊥AC,EF⊥A1D,
∴A错误,B正确.
∵BD1=(-3,-3,3),
∴BD1=-3EF,∴EF∥BD1,∴EF∥BD1,
∴C,D均错误.
故选B.
7.A　以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示.

不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则D(0,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),E1,0,12,
则DE=1,0,12,BD1=(-1,-1,1),
则cos=DE·BD1|DE||BD1|
=-1+1254×3=-1515,
所以直线DE与BD1所成角的余弦值为1515.故选A.
8.A　如图,连接D1A,D1C,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),

所以D1B=(1,1,-1),所以D1P=λD1B=λ(1,1,-1)=(λ,λ,-λ),D1A=(1,0,-1),D1C=(0,1,-1),
所以PA=D1A-D1P=(1,0,-1)-(λ,λ,-λ)=(1-λ,-λ,λ-1),
PC=D1C-D1P=(0,1,-1)-(λ,λ,-λ)=(-λ,1-λ,λ-1),
由∠APC为锐角得cos∠APC=PA·PC|PA||PC|>0,即PA·PC>0,
所以-2λ(1-λ)+(λ-1)2>0,即(λ-1)(3λ-1)>0,解得λ1,又动点P在体对角线BD1上运动,所以0≤λ≤1,所以0≤λ