第六章复习提升-2022版数学选择性必修第一册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析）

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本章复习提升易混易错练易错点1　对条件概率理解不清致误1.(2020黑龙江哈尔滨南岗高二上期末,)甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军,比赛为三局两胜制,甲在每局比赛中获胜的概率均为,且各局比赛结果相互独立,则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了三局的概率为　　              (　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.易错点2　离散型随机变量取值不当或对应的概率求错致误2.(2020辽宁沈阳高二期中,)某射手每次射击击中目标的概率均为,且各次射击的结果互不影响.(1)假设这名射手射击3次,求至少2次击中目标的概率;(2)假设这名射手射击3次,每次击中目标得10分,未击中目标得0分.在3次射击中,若有2次连续击中目标,而另外1次未击中目标,则额外加5分;若3次全部击中,则额外加10分.用随机变量ξ表示这名射手射击3次后的总得分,求ξ的分布列.        易错点3　不能正确区分超几何分布与二项分布致误3.(多选题)(2020江苏徐州期末,)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5(例如10100),其中A的各数位上ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为,出现1的概率为,记X=a2+a3+a4+a5,则当程序运行一次时              (　　)A.X服从二项分布　　　　　　　B.P(X=1)=C.X的期望EX=　　　　　　　D.X的方差DX=4.(2020河南开封中学高二模拟,)为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右的前三组的频率之比为1∶2∶3,其中第二组的频数为12.(1)求该校报考飞行员的总人数;(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选三人,设X表示体重超过60kg的学生人数,求X的分布列和数学期望.      易错点4　对正态曲线的性质理解不全面致误5.(2020湖南长沙长郡中学高三下月考,)设随机变量X~N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,若向正方形ABCD中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是              (　　)(附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544)A.7539　　　　B.7028　　　　C.6587　　　　D.6038思想方法练一、函数与方程思想在离散型随机变量中的应用1.(2020四川棠湖中学高三开学考试,)设0<a<,随机变量X的分布列为X-112P-a+则当DX取得最大值时,a的值是 (　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.2.(2020广东清远高二期末,)已知随机变量X的分布列为X1k+1P1-随机变量X的数学期望为EX,则满足EX<k的最大正整数k的值是　　　　. (参考数据:ln2≈0.6931,ln3≈1.0986,ln5≈1.6094)
二、分类讨论思想在概率中的应用3.(2019河北唐山高二期中,)甲、乙两个人进行射击训练,甲射击一次中靶概率是,乙射击一次中靶概率是.(1)两人各射击一次,中靶至少一次就算完成目标,则完成目标的概率是多少?(2)两人各射击两次,中靶至少三次就算完成目标,则完成目标的概率是多少?         三、数形结合思想在正态分布中的应用4.(2020广东广州大学附属中学高三下线上测试,)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(-2,4)的密度曲线)的点的个数的估计值为              (　　)(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544)A.906　　　　B.340　　　　C.2718　　　　D.34135.(2020吉林长春中学高二模拟,)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗,2020年春节前夕,A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,检测结果的频率分布直方图如图所示.(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)①由频率分布直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标Z服从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在(38.45,50.4]内的概率;②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中该项质量指标位于(10,30]内的包数为X,求X的分布列、数学期望及方差.附:①计算得所抽查的这100包速冻水饺的该项质量指标的标准差为σ=≈11.95;②若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<Z≤μ+2σ)≈0.9544.       答案全解全析易混易错练1.A　记事件A:甲获得冠军,事件B:比赛进行了三局,事件AB:甲获得冠军,且比赛进行了三局,即第三局甲胜,前二局甲胜了一局,则P(AB)=×××=,对于事件A,甲获得冠军包含两种情况:前两局甲胜和事件AB,∴P(A)=+=,∴P(B|A)===,故选A.易错警示P(B|A)与P(A|B)是不同的.另外,在事件A发生的条件下,事件B发生的概率不一定是P(B),即P(B|A)与P(B)不一定相等.2.解析　(1)设这名射手射击3次,击中目标的次数为X,则X~B.故P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=,所以所求概率为.(2)由题意可知,ξ的所有可能取值为0,10,20,25,40.用Ai(i=1,2,3)表示事件“第i次击中目标”,则P(ξ=0)=P(X=0)==,P(ξ=10)=P(X=1)=××=,P(ξ=20)=P(A1A3)=××=,P(ξ=25)=P(X=2)-P(ξ=20)=,P(ξ=40)=P(X=3)==.故ξ的分布列为ξ010202540P3.ABC　由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能是0,1,且每个数位上的数字互不影响,故A的各数位上后4位的所有结果有5类:①后4位都是0,此时X=0,P(X=0)==;②后4位只出现1个1,此时X=1,P(X=1)==;③后4位出现2个1,此时X=2,P(X=2)==;④后4位出现3个1,此时X=3,P(X=3)==;⑤后4位都是1,此时X=4,P(X=4)==,故X~B,故A正确;P(X=1)=,故B正确;∵X~B,∴EX=4×=,故C正确;∵X~B,∴DX=4××=,故D错误.故选ABC.4.解析　(1)设该校报考飞行员的总人数为n,前三组的频率分别为p1,p2,p3,则由条件可得解得又因为p2=0.25=,所以n=48.所以该校报考飞行员的总人数为48.(2)由(1)可得,一个报考飞行员的学生体重超过60kg的概率p=p3+(0.037+0.013)×5=,故X服从二项分布B,其分布列为P(X=k)=(k=0,1,2,3).如表所示:X0123PEX=3×=.5.C　由题意知,正方形的边长为1,所以正方形的面积S=1.又随机变量X~N(1,1),所以正态分布密度曲线关于直线x=1对称,且σ=1,由P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826,得P(0<X≤2)≈0.6826,所以阴影部分的面积S1=1-=0.6587,点落入阴影部分的概率P==0.6587,所以落入阴影部分的点的个数的估计值是10000×0.6587=6587,故选C.思想方法练1.D　由已知得EX=-1×+1×+2×=,所以DX=×+×+×=1+a-=-+,构造二次函数模型,通过讨论函数的单调性得出最值,充分体现了函数与方程思想.因为0<a<,所以当DX取得最大值时,a的值为.故选D.2.答案　4解析　由已知得EX=+(k+1)(1-)=-k+k+1,所以EX<k可化为-k+1<0,即k>,显然k>0,两边同时取以e为底的对数,得lnk>,令f(k)=lnk-,k>0,则f'(k)=-=,当k∈(0,3)时,f'(k)=>0,即函数f(k)=lnk-单调递增;当k∈(3,+∞)时,f'(k)=<0,即函数f(k)=lnk-单调递减.根据期望的定义,先得到EX=-k+k+1,将不等式EX<k化为lnk>,构造函数f(k)=lnk-,k>0,利用导数的方法判断其单调性求出函数最值,分析k的取值,充分体现了函数与方程的思想.因此f(k)max=f(3)=ln3-=ln3-1>0,又f(4)=ln4-=2ln2-≈1.3862-1.3333>0,f(5)=ln5-≈1.6094-1.6666<0,因此满足lnk>的最大正整数k的值是4,即满足EX<k的最大正整数k的值是4.思想方法函数与方程思想就是从分析问题的数量关系入手,把变量之间的关系用函数或方程表示出来,然后应用函数性质或对方程的根进行讨论,使问题得以解决.有些概率问题常与函数结合,如P(X=k)=pk·(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n,可看成关于k的函数,有时也可将其看成关于概率p的函数.3.解析　(1)完成目标共分三种情况:乙中甲不中,概率为×=;甲中乙不中,概率为×=;甲、乙全中,概率为×=.因此,所求概率是++=.(2)分以下两类情况:共击中3次,概率为×××+×××=;共击中4次,概率为×=.按照两人各射击两次共击中的次数分类,应用独立重复试验的概率公式求出概率.因此,所求概率为+=.思想方法在概率问题中,当一个事件有多种情况时,需要分类讨论,计算出在各种情况下的概率,再根据两种基本计数原理求出所要求的事件的概率.4.B　根据图形可得出阴影部分的面积,充分体现了由“形”到“数”的过程,体现了数形结合的思想方法.由题意知阴影部分的面积S=P(0<x≤2)=[P(-6<x≤2)-P(-4<x≤0)]≈×(0.9544-0.6826)=0.1359,则在正方形中随机投掷一点,该点落在阴影部分的概率P=,∴在正方形中随机投掷10000个点,落入阴影部分的点的个数的估计值为10000×=339.75≈340.故选B.5.解析　(1)根据频率分布直方图可直接读出的值,进而求出各部分的频率,体现了由“形”到“数”的过程.根据频率分布直方图可得:(0,10]的频率为0.010×10=0.1,(10,20]的频率为0.020×10=0.2,(20,30]的频率为0.030×10=0.3,(30,40]的频率为0.025×10=0.25,(40,50]的频率为0.015×10=0.15,∴所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数=5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5.(2)①∵Z服从正态分布N(μ,σ2),且μ=26.5,σ≈11.95,∴P(38.45<Z≤50.4)=P(26.5-2×11.95<Z≤26.5+2×11.95)-P(26.5-11.95<Z≤26.5+11.95)≈×0.9544-×0.6826=0.1359.∴Z落在(38.45,50.4]内的概率是0.1359.②根据题意得每包速冻水饺的该项质量指标位于(10,30]内的概率为0.2+0.3=0.5,∴X~B,X的可能取值为0,1,2,3,4.P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==,∴X的分布列为
 X01234PEX=4×=2,DX=4××=1.误区警示数形结合思想在概率和正态分布中主要是以“形”助“数”,通过图形,明确条件或目标在图形中的体现,用已学过的知识将图形表达的内容用代数式表达出来,再根据条件和结论的联系解题.