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第六章达标检测-2022版数学选择性必修第一册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析）
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这是一份第六章达标检测-2022版数学选择性必修第一册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析），共20页。
本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知盒中装有大小、形状完全相同的2个红球、4个白球、6个黑球.甲每次从中任取一球且不放回,则在他第一次拿到的是白球的前提下,第二次拿到黑球的概率为( )
A.16 B.13 C.611 D.12
2.设随机变量X服从两点分布,若P(X=1)-P(X=0)=0.2,则P(X=1)= ( )
A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8
3.某学习小组有三名男生、三名女生共六名同学,选出四人进行学业水平测试,这四人中所含女生的人数记为η,则η的数学期望为 ( )
A.1 B.32 C.2 D.3
4.设某地胡柚(把胡柚近似看成球体)的直径(单位:mm)服从正态分布N(75,16),则在随机抽取的1000个胡柚中,直径在(79,83]内的个数约为 ( )
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ
5.一个坛子中装有10个除颜色外完全相同的玻璃球,其中有1个红球,2个蓝球,3个黄球,4个绿球,现从中任取一球后(不放回),再取一球,则已知第一个球为红球的情况下第二个球为黄球的概率为 ( )
A.13 B.310 C.130 D.3100
6.某学校要从10名候选人中选2名组成学生会,其中高二(1)班有4名候选人,假设每名候选人被选到的机会相同,若X表示选到高二(1)班的候选人的人数,则EX=( )
A.34 B.89 C.38 D.45
7.随机变量X的分布列如下表,当DX取得最大值时,a= ( )
X
0
1
P
a
b
A.16 B.13 C.12 D.23
8.甲、乙两人进行乒乓球比赛,现采用三局两胜的比赛制度,规定每局比赛都没有平局(必须分出胜负),且每一局甲赢的概率都是p,随机变量X表示最终的比赛局数,若0
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.已知随机变量X的分布列如下表:
X
-1
0
1
P
a
b
c
若a,b,c成等差数列,则公差d可以是 ( )
A.-14 B.0 C.12 D.1
10.若随机变量X~N(3,σ2)且P(X≥5)=0.2,则 ( )
A.P(1
ξi
0
1
2
P
(1-pi)2
2pi(1-pi)
pi2
其中i=1,2,若0
12.下列说法正确的是 ( )
A.设随机变量X服从二项分布B6,12,则P(X=3)=516
B.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.9,则P(0
D.E(2X+3)=2EX+3,D(2X+3)=2DX+3
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.袋中装有除颜色外完全相同的5个小球,其中有3个红色小球,2个黄色小球,如果不放回地依次摸出2个小球,则在第一次摸出红球的条件下,第二次摸出红球的概率是 .
14.若随机变量X的分布列如下表,且EX=6.3,则表中a的值为 .
X
4
a
9
P
0.5
0.1
b
15.抛掷一枚图钉,设针尖向上的概率为0.6,那么针尖向下的概率为0.4.若连续掷一枚图钉3次,则至少出现2次针尖向上的概率为 .
16.已知随机变量ξ的所有可能取值为m,n,其中P(ξ=m)=P(ξ=n)=m+n2,则Eξ= ;当Dξ取最小值时,mn= .
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)甲、乙二人进行一场比赛,该比赛采用三局两胜制,即先获得两局胜利者获得该场比赛胜利.在每一局比赛中,都不会出现平局,且甲获胜的概率都为p(0
18.(本小题满分12分)某地有A、B、C、D四人先后感染了新型冠状病毒,其中只有A到过疫区.
(1)如果B、C、D受到A感染的概率均为12,那么B、C、D三人中恰好有一人受到A感染新型冠状病毒的概率是多少?
(2)若B肯定受A感染,对于C,因为难以判断他是受A还是受B感染的,于是假定他受A和受B感染的概率都是12,同样也假设D受A、B和C感染的概率都是13,在这种假定之下,B、C、D中直接受A感染的人数X为一个随机变量,求随机变量X的均值和方差.
19.(本小题满分12分)为庆祝建军节,某校举行“强国强军”知识竞赛,该校某班经过层层筛选,还有最后一个参赛名额要在A,B两名学生中间产生,该班委设计了一个测试方案:A,B两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中,学生A能正确回答其中的4个问题,而学生B能正确回答每个问题的概率均为23,A,B两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.
(1)求A恰好答对两个问题的概率;
(2)求B恰好答对两个问题的概率;
(3)设A答对题数为X,B答对题数为Y,若让你投票决定参赛选手,你会选择哪名学生?请说明理由.
20.(本小题满分12分)某车站每天上午发出两班客车,每班客车发车时刻和发车概率如下:
第一班车:在8:00,8:20,8:40发车的概率分别为14,12,14;
第二班车:在9:00,9:20,9:40发车的概率分别为14,12,14.
两班车发车时刻是相互独立的,一位旅客8:10到达车站乘车.求:
(1)该旅客乘第一班车的概率;
(2)该旅客候车时间(单位:分钟)的分布列;
(3)该旅客候车时间(单位:分钟)的数学期望.
21.(本小题满分12分)一批用于手电筒的电池,每节电池的使用寿命ξ(单位:小时)服从正态分布N(36,4).考虑到生产成本,电池使用寿命在(30,38]内是合格产品.
(1)求一节电池是合格产品的概率(结果保留一位小数);
(2)根据(1)中的数据结果,若质检部门检查4节电池,记抽查电池合格的数量为X,求X的分布列、数学期望及方差.
附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ
22.(本小题满分12分)某大型超市抽查了100天该超市的日纯利润(单位:万元)数据,并将日纯利润数据分成以下几组:[4,5),[5,6),[6,7),[7,8),[8,9),[9,10],统计结果如表所示:
组别
[4,5)
[5,6)
[6,7)
[7,8)
[8,9)
[9,10]
频数
5
20
30
30
10
5
以上述样本分布的频率估计总体分布的概率,解决下列问题:
(1)从该大型超市近几年的销售记录中抽出5天,求其中日纯利润在区间[5,7)内的天数不少于2的概率;
(2)该超市经理由频数分布表认为,该大型超市每天的纯利润Z服从正态分布N(μ,1.442),其中μ近似为样本平均数x(每组数据取区间的中点值作代表).
①试利用该正态分布,估计该大型超市1000天内日纯利润在区间(3.97,8.29]内的天数(精确到个位);
②该大型超市负责人根据每日的纯利润给超市员工制定了两种不同的奖励方案:
方案一:直接发放奖金,日纯利润低于μ时每名员工发放奖金70元,日纯利润不低于μ时每名员工发放奖金90元;
方案二:利用抽奖的方式获得奖金,其中日纯利润不低于μ时每位员工均有两次抽奖机会,日纯利润低于μ时每位员工只有一次抽奖机会,每次抽奖的金额及对应的概率分别为
金额
50元
100元
概率
23
13
小张恰好为该大型超市的一名员工,则从数学期望的角度看,小张选择哪种奖励方案更有利?
参考数据:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ
答案全解全析
一、单项选择题
1.C 设第1次拿到白球为事件A,第2次拿到黑球为事件B,
则P(AB)=412×611=211,P(A)=412=13,则P(B|A)=P(AB)P(A)=21113=611,
故选C.
2.C 由题意得P(X=1)-P(X=0)=0.2,P(X=1)+P(X=0)=1,
解得P(X=1)=0.6,
故选C.
3.C 由题意可知,η的可能取值为1,2,3,
P(η=1)=C31C64=15,
P(η=2)=C32C32C64=35,P(η=3)=C31C64=15,
所以η的分布列为
η
1
2
3
P
15
35
15
因此η的数学期望Eη=1×15+2×35+3×15=2,故选C.
4.B 由题意知μ=75,σ=4,
则P(79
故直径在(79,83]内的个数为0.1359×1000≈136,故选B.
5.A 设“第一次取出的是红球”为事件A,“第二次取到黄球”为事件B.
则由题意知,P(A)=110,
P(AB)=1×310×9=130,
所以已知第一个球为红球的情况下第二个球为黄球的概率P(B|A)=P(AB)P(A)=130110=13.故选A.
6.D 解法一:由题意得随机变量X服从参数为10,4,2的超几何分布,则EX=2×410=45.
解法二:由题意知X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=C62C102=13,
P(X=1)=C61C41C102=815,
P(X=2)=C42C102=215,
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
13
815
215
所以EX=0×13+1×815+2×215=45.
故选D.
7.C 易得a+b=1,EX=b=1-a,
所以DX=a(1-a)=a-a2,
显然当a=12时,DX取得最大值.故选C.
8.D 随机变量X的可能取值为2,3,
P(X=2)=p2+(1-p)2=2p2-2p+1,
P(X=3)=C21p(1-p)p+C21p(1-p)(1-p)=2p-2p2,
故X的分布列为
X
2
3
P
2p2-2p+1
2p-2p2
故EX=2×(2p2-2p+1)+3×(2p-2p2)=-2p2+2p+2=-2p-122+52,
因为0
令t=2p-2p2=-2p-122+12,因为0
9.AB 因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,
又a+b+c=1,所以b=13,
则a=13-d,c=13+d,
根据分布列的性质得,0<13-d<23,0<13+d<23,所以-13
10.AD 随机变量X~N(3,σ2),该正态曲线的对称轴是直线x=3,
P(X≥5)=0.2,P(1
故选AD.
11.AB 由分布列知ξi~B(2,pi)(i=1,2),则Eξ1=2p1,Eξ2=2p2,
Dξ1=2p1(1-p1),Dξ2=2p2(1-p2),
所以E(2ξ1)=2Eξ1=4p1,
E(2ξ2)=2Eξ2=4p2,
D(2ξ1)=4Dξ1=8p1(1-p1),
D(2ξ2)=4Dξ2=8p2(1-p2).
因为0
12.ABC 选项A,若随机变量X服从二项分布B6,12,
则P(X=3)=C631231-123=516,正确;
选项B,∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2),
∴正态曲线的对称轴是直线x=2,
∵P(X<4)=0.9,
∴P(X≥4)=P(X≤0)=0.1,
∴P(0
则P(AB)=132=19,P(A)=1-A3333=79,
∴P(B|A)=P(AB)P(A)=17,正确;
选项D,E(2X+3)=2EX+3,D(2X+3)=4DX,故不正确.
故选ABC.
三、填空题
13.答案 12
解析 记事件A:第一次摸出红球,事件B:第二次摸出红球,
则P(A)=35,P(AB)=35×12=310,
因此,P(B|A)=P(AB)P(A)=310×53=12,
故答案为12.
14.答案 7
解析 由题意得b=1-0.5-0.1=0.4,
EX=4×0.5+a×0.1+9×0.4=6.3,解得a=7,
故答案为7.
15.答案 0.648
解析 抛掷一枚图钉,针尖向上的概率为0.6,针尖向下的概率为0.4,
∴连续掷一枚图钉3次,
出现2次针尖向上的概率为C32×0.62×0.4=0.432,
出现3次针尖向上的概率为0.63=0.216,
故至少出现2次针尖向上的概率P=0.432+0.216=0.648,
故答案为0.648.
16.答案 12;14
解析 由题意得m+n2+m+n2=1,即m+n=1,
所以Eξ=m·m+n2+n·m+n2=(m+n)22=12,
Dξ=m-122×12+n-122×12=m-122×12+1-m-122×12=m-122≥0,
当且仅当m=n=12时等号成立,此时mn=14.
故答案为12;14.
四、解答题
17.解析 选①p=13时,由题意可知,X的可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=232=49,
P(X=1)=C21×13×23×23=827,
P(X=2)=132+C21×13×23×13=727. (4分)
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
49
827
727
(7分)
所以EX=0×49+1×827+2×727=2227. (10分)
选②p=12时,由题意可知,X的可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=122=14,
P(X=1)=C21×12×12×12=14,
P(X=2)=122+C21×12×12×12=12. (4分)
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
14
14
12
(7分)
所以EX=0×14+1×14+2×12=54. (10分)
选③p=23时,由题意可知,X的可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=132=19,
P(X=1)=C21×23×13×13=427,
P(X=2)=232+C21×23×13×23=2027. (4分)
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
19
427
2027
(7分)
所以EX=0×19+1×427+2×2027=4427. (10分)
18.解析 (1)概率P=C311211-122=38. (3分)
(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3,
则P(X=1)=12×23=13,
P(X=2)=12×23+12×13=12,
P(X=3)=12×13=16. (6分)
故X的分布列为
X
1
2
3
P
13
12
16
所以EX=1×13+2×12+3×16=116, (10分)
所以DX=1-1162×13+2-1162×12+3-1162×16=1736. (12分)
19.解析 (1)A恰好答对两个问题的概率P1=C42C21C63=35. (2分)
(2)B恰好答对两个问题的概率P2=C32232×13=49. (4分)
(3)X的所有可能取值为1,2,3,
P(X=1)=C41C22C63=15,
P(X=2)=C42C21C63=35,
P(X=3)=C43C20C63=15, (6分)
所以EX=1×15+2×35+3×15=2. (8分)
由题意,Y~B3,23,所以EY=3×23=2,
DX=(1-2)2×15+(2-2)2×35+(3-2)2×15=25,
DY=3×23×13=23, (10分)
因为EX=EY,DX
所以选择投票给学生A. (12分)
20.解析 (1)该旅客可能乘8:20的车,也可能乘8:40的车,这两个时间乘车互斥,概率为P=12+14=34. (3分)
(2)设该旅客候车时间为X,由题意得X的可能取值为10,30,50,70,90,P(X=10)=12,P(X=30)=14, (5分)
在第一班车8:00已经发出的情况下,他只能乘第二班车,
P(X=50)=14×14=116,P(X=70)=14×12=18,P(X=90)=14×14=116.
所以X的分布列为
X
10
30
50
70
90
P
12
14
116
18
116
(8分)
(3)由(2)得EX=10×12+30×14+50×116+70×18+90×116=30,
∴该旅客候车时间的数学期望为30分钟. (12分)
21.解析 (1)一节电池是合格产品的概率为
P(30<ξ≤38)=12P(30<ξ≤42)+12P(34<ξ≤38)
≈12×0.9974+12×0.6826=0.84≈0.8. (4分)
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,X服从二项分布B(4,0.8), (4分)
所以P(X=0)=(1-0.8)4=0.0016,
P(X=1)=C41×0.8×(1-0.8)3=0.0256,
P(X=2)=C42×0.82×(1-0.8)2=0.1536,
P(X=3)=C43×0.83×(1-0.8)=0.4096,
P(X=4)=0.84=0.4096. (8分)
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.0016
0.0256
0.1536
0.4096
0.4096
EX=4×0.8=3.2,
DX=4×0.8×0.2=0.64. (12分)
22.解析 (1)由频数分布表可知,日纯利润在区间[5,7)内的频率为20+30100=12,记抽出的5天中日纯利润在区间[5,7)内的天数为X,则X~B5,12, (2分)
∴P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-125-C51125=1316. (4分)
(2)①x=1100×(4.5×5+5.5×20+6.5×30+7.5×30+8.5×10+9.5×5)=6.85,
∴μ=6.85. (6分)
又σ=1.44,
∴P(3.97
故该大型超市1000天内日纯利润在区间(3.97,8.29]的天数为1000×0.8185≈819天. (8分)
②易知P(Z<μ)=P(Z≥μ)=12.
对于奖励方案一:设小张每日获得的奖金为Y元,则Y的可能取值为70,90,其对应的概率均为12,故EY=12×(70+90)=80.
对于奖励方案二:设小张每日获得的奖金为Q元,则Q的可能取值为50,100,150,200.
P(Q=50)=12×23=13,
P(Q=100)=12×13+12×23×23=718,
P(Q=150)=12×C21×13×23=29,
P(Q=200)=12×13×13=118, (10分)
∴Q的分布列为
Q
50
100
150
200
P
13
718
29
118
∴EQ=50×13+100×718+150×29+200×118=100.
∴EQ>EY,
∴从数学期望的角度看,小张选择奖励方案二更有利. (12分)
本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知盒中装有大小、形状完全相同的2个红球、4个白球、6个黑球.甲每次从中任取一球且不放回,则在他第一次拿到的是白球的前提下,第二次拿到黑球的概率为( )
A.16 B.13 C.611 D.12
2.设随机变量X服从两点分布,若P(X=1)-P(X=0)=0.2,则P(X=1)= ( )
A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8
3.某学习小组有三名男生、三名女生共六名同学,选出四人进行学业水平测试,这四人中所含女生的人数记为η,则η的数学期望为 ( )
A.1 B.32 C.2 D.3
4.设某地胡柚(把胡柚近似看成球体)的直径(单位:mm)服从正态分布N(75,16),则在随机抽取的1000个胡柚中,直径在(79,83]内的个数约为 ( )
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ
5.一个坛子中装有10个除颜色外完全相同的玻璃球,其中有1个红球,2个蓝球,3个黄球,4个绿球,现从中任取一球后(不放回),再取一球,则已知第一个球为红球的情况下第二个球为黄球的概率为 ( )
A.13 B.310 C.130 D.3100
6.某学校要从10名候选人中选2名组成学生会,其中高二(1)班有4名候选人,假设每名候选人被选到的机会相同,若X表示选到高二(1)班的候选人的人数,则EX=( )
A.34 B.89 C.38 D.45
7.随机变量X的分布列如下表,当DX取得最大值时,a= ( )
X
0
1
P
a
b
A.16 B.13 C.12 D.23
8.甲、乙两人进行乒乓球比赛,现采用三局两胜的比赛制度,规定每局比赛都没有平局(必须分出胜负),且每一局甲赢的概率都是p,随机变量X表示最终的比赛局数,若0
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.已知随机变量X的分布列如下表:
X
-1
0
1
P
a
b
c
若a,b,c成等差数列,则公差d可以是 ( )
A.-14 B.0 C.12 D.1
10.若随机变量X~N(3,σ2)且P(X≥5)=0.2,则 ( )
A.P(1
ξi
0
1
2
P
(1-pi)2
2pi(1-pi)
pi2
其中i=1,2,若0
12.下列说法正确的是 ( )
A.设随机变量X服从二项分布B6,12,则P(X=3)=516
B.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.9,则P(0
D.E(2X+3)=2EX+3,D(2X+3)=2DX+3
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.袋中装有除颜色外完全相同的5个小球,其中有3个红色小球,2个黄色小球,如果不放回地依次摸出2个小球,则在第一次摸出红球的条件下,第二次摸出红球的概率是 .
14.若随机变量X的分布列如下表,且EX=6.3,则表中a的值为 .
X
4
a
9
P
0.5
0.1
b
15.抛掷一枚图钉,设针尖向上的概率为0.6,那么针尖向下的概率为0.4.若连续掷一枚图钉3次,则至少出现2次针尖向上的概率为 .
16.已知随机变量ξ的所有可能取值为m,n,其中P(ξ=m)=P(ξ=n)=m+n2,则Eξ= ;当Dξ取最小值时,mn= .
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)甲、乙二人进行一场比赛,该比赛采用三局两胜制,即先获得两局胜利者获得该场比赛胜利.在每一局比赛中,都不会出现平局,且甲获胜的概率都为p(0
18.(本小题满分12分)某地有A、B、C、D四人先后感染了新型冠状病毒,其中只有A到过疫区.
(1)如果B、C、D受到A感染的概率均为12,那么B、C、D三人中恰好有一人受到A感染新型冠状病毒的概率是多少?
(2)若B肯定受A感染,对于C,因为难以判断他是受A还是受B感染的,于是假定他受A和受B感染的概率都是12,同样也假设D受A、B和C感染的概率都是13,在这种假定之下,B、C、D中直接受A感染的人数X为一个随机变量,求随机变量X的均值和方差.
19.(本小题满分12分)为庆祝建军节,某校举行“强国强军”知识竞赛,该校某班经过层层筛选,还有最后一个参赛名额要在A,B两名学生中间产生,该班委设计了一个测试方案:A,B两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中,学生A能正确回答其中的4个问题,而学生B能正确回答每个问题的概率均为23,A,B两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.
(1)求A恰好答对两个问题的概率;
(2)求B恰好答对两个问题的概率;
(3)设A答对题数为X,B答对题数为Y,若让你投票决定参赛选手,你会选择哪名学生?请说明理由.
20.(本小题满分12分)某车站每天上午发出两班客车,每班客车发车时刻和发车概率如下:
第一班车:在8:00,8:20,8:40发车的概率分别为14,12,14;
第二班车:在9:00,9:20,9:40发车的概率分别为14,12,14.
两班车发车时刻是相互独立的,一位旅客8:10到达车站乘车.求:
(1)该旅客乘第一班车的概率;
(2)该旅客候车时间(单位:分钟)的分布列;
(3)该旅客候车时间(单位:分钟)的数学期望.
21.(本小题满分12分)一批用于手电筒的电池,每节电池的使用寿命ξ(单位:小时)服从正态分布N(36,4).考虑到生产成本,电池使用寿命在(30,38]内是合格产品.
(1)求一节电池是合格产品的概率(结果保留一位小数);
(2)根据(1)中的数据结果,若质检部门检查4节电池,记抽查电池合格的数量为X,求X的分布列、数学期望及方差.
附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ
22.(本小题满分12分)某大型超市抽查了100天该超市的日纯利润(单位:万元)数据,并将日纯利润数据分成以下几组:[4,5),[5,6),[6,7),[7,8),[8,9),[9,10],统计结果如表所示:
组别
[4,5)
[5,6)
[6,7)
[7,8)
[8,9)
[9,10]
频数
5
20
30
30
10
5
以上述样本分布的频率估计总体分布的概率,解决下列问题:
(1)从该大型超市近几年的销售记录中抽出5天,求其中日纯利润在区间[5,7)内的天数不少于2的概率;
(2)该超市经理由频数分布表认为,该大型超市每天的纯利润Z服从正态分布N(μ,1.442),其中μ近似为样本平均数x(每组数据取区间的中点值作代表).
①试利用该正态分布,估计该大型超市1000天内日纯利润在区间(3.97,8.29]内的天数(精确到个位);
②该大型超市负责人根据每日的纯利润给超市员工制定了两种不同的奖励方案:
方案一:直接发放奖金,日纯利润低于μ时每名员工发放奖金70元,日纯利润不低于μ时每名员工发放奖金90元;
方案二:利用抽奖的方式获得奖金,其中日纯利润不低于μ时每位员工均有两次抽奖机会,日纯利润低于μ时每位员工只有一次抽奖机会,每次抽奖的金额及对应的概率分别为
金额
50元
100元
概率
23
13
小张恰好为该大型超市的一名员工,则从数学期望的角度看,小张选择哪种奖励方案更有利?
参考数据:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ
答案全解全析
一、单项选择题
1.C 设第1次拿到白球为事件A,第2次拿到黑球为事件B,
则P(AB)=412×611=211,P(A)=412=13,则P(B|A)=P(AB)P(A)=21113=611,
故选C.
2.C 由题意得P(X=1)-P(X=0)=0.2,P(X=1)+P(X=0)=1,
解得P(X=1)=0.6,
故选C.
3.C 由题意可知,η的可能取值为1,2,3,
P(η=1)=C31C64=15,
P(η=2)=C32C32C64=35,P(η=3)=C31C64=15,
所以η的分布列为
η
1
2
3
P
15
35
15
因此η的数学期望Eη=1×15+2×35+3×15=2,故选C.
4.B 由题意知μ=75,σ=4,
则P(79
故直径在(79,83]内的个数为0.1359×1000≈136,故选B.
5.A 设“第一次取出的是红球”为事件A,“第二次取到黄球”为事件B.
则由题意知,P(A)=110,
P(AB)=1×310×9=130,
所以已知第一个球为红球的情况下第二个球为黄球的概率P(B|A)=P(AB)P(A)=130110=13.故选A.
6.D 解法一:由题意得随机变量X服从参数为10,4,2的超几何分布,则EX=2×410=45.
解法二:由题意知X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=C62C102=13,
P(X=1)=C61C41C102=815,
P(X=2)=C42C102=215,
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
13
815
215
所以EX=0×13+1×815+2×215=45.
故选D.
7.C 易得a+b=1,EX=b=1-a,
所以DX=a(1-a)=a-a2,
显然当a=12时,DX取得最大值.故选C.
8.D 随机变量X的可能取值为2,3,
P(X=2)=p2+(1-p)2=2p2-2p+1,
P(X=3)=C21p(1-p)p+C21p(1-p)(1-p)=2p-2p2,
故X的分布列为
X
2
3
P
2p2-2p+1
2p-2p2
故EX=2×(2p2-2p+1)+3×(2p-2p2)=-2p2+2p+2=-2p-122+52,
因为0
令t=2p-2p2=-2p-122+12,因为0
9.AB 因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,
又a+b+c=1,所以b=13,
则a=13-d,c=13+d,
根据分布列的性质得,0<13-d<23,0<13+d<23,所以-13
10.AD 随机变量X~N(3,σ2),该正态曲线的对称轴是直线x=3,
P(X≥5)=0.2,P(1
故选AD.
11.AB 由分布列知ξi~B(2,pi)(i=1,2),则Eξ1=2p1,Eξ2=2p2,
Dξ1=2p1(1-p1),Dξ2=2p2(1-p2),
所以E(2ξ1)=2Eξ1=4p1,
E(2ξ2)=2Eξ2=4p2,
D(2ξ1)=4Dξ1=8p1(1-p1),
D(2ξ2)=4Dξ2=8p2(1-p2).
因为0
12.ABC 选项A,若随机变量X服从二项分布B6,12,
则P(X=3)=C631231-123=516,正确;
选项B,∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2),
∴正态曲线的对称轴是直线x=2,
∵P(X<4)=0.9,
∴P(X≥4)=P(X≤0)=0.1,
∴P(0
则P(AB)=132=19,P(A)=1-A3333=79,
∴P(B|A)=P(AB)P(A)=17,正确;
选项D,E(2X+3)=2EX+3,D(2X+3)=4DX,故不正确.
故选ABC.
三、填空题
13.答案 12
解析 记事件A:第一次摸出红球,事件B:第二次摸出红球,
则P(A)=35,P(AB)=35×12=310,
因此,P(B|A)=P(AB)P(A)=310×53=12,
故答案为12.
14.答案 7
解析 由题意得b=1-0.5-0.1=0.4,
EX=4×0.5+a×0.1+9×0.4=6.3,解得a=7,
故答案为7.
15.答案 0.648
解析 抛掷一枚图钉,针尖向上的概率为0.6,针尖向下的概率为0.4,
∴连续掷一枚图钉3次,
出现2次针尖向上的概率为C32×0.62×0.4=0.432,
出现3次针尖向上的概率为0.63=0.216,
故至少出现2次针尖向上的概率P=0.432+0.216=0.648,
故答案为0.648.
16.答案 12;14
解析 由题意得m+n2+m+n2=1,即m+n=1,
所以Eξ=m·m+n2+n·m+n2=(m+n)22=12,
Dξ=m-122×12+n-122×12=m-122×12+1-m-122×12=m-122≥0,
当且仅当m=n=12时等号成立,此时mn=14.
故答案为12;14.
四、解答题
17.解析 选①p=13时,由题意可知,X的可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=232=49,
P(X=1)=C21×13×23×23=827,
P(X=2)=132+C21×13×23×13=727. (4分)
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
49
827
727
(7分)
所以EX=0×49+1×827+2×727=2227. (10分)
选②p=12时,由题意可知,X的可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=122=14,
P(X=1)=C21×12×12×12=14,
P(X=2)=122+C21×12×12×12=12. (4分)
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
14
14
12
(7分)
所以EX=0×14+1×14+2×12=54. (10分)
选③p=23时,由题意可知,X的可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=132=19,
P(X=1)=C21×23×13×13=427,
P(X=2)=232+C21×23×13×23=2027. (4分)
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
19
427
2027
(7分)
所以EX=0×19+1×427+2×2027=4427. (10分)
18.解析 (1)概率P=C311211-122=38. (3分)
(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3,
则P(X=1)=12×23=13,
P(X=2)=12×23+12×13=12,
P(X=3)=12×13=16. (6分)
故X的分布列为
X
1
2
3
P
13
12
16
所以EX=1×13+2×12+3×16=116, (10分)
所以DX=1-1162×13+2-1162×12+3-1162×16=1736. (12分)
19.解析 (1)A恰好答对两个问题的概率P1=C42C21C63=35. (2分)
(2)B恰好答对两个问题的概率P2=C32232×13=49. (4分)
(3)X的所有可能取值为1,2,3,
P(X=1)=C41C22C63=15,
P(X=2)=C42C21C63=35,
P(X=3)=C43C20C63=15, (6分)
所以EX=1×15+2×35+3×15=2. (8分)
由题意,Y~B3,23,所以EY=3×23=2,
DX=(1-2)2×15+(2-2)2×35+(3-2)2×15=25,
DY=3×23×13=23, (10分)
因为EX=EY,DX
所以选择投票给学生A. (12分)
20.解析 (1)该旅客可能乘8:20的车,也可能乘8:40的车,这两个时间乘车互斥,概率为P=12+14=34. (3分)
(2)设该旅客候车时间为X,由题意得X的可能取值为10,30,50,70,90,P(X=10)=12,P(X=30)=14, (5分)
在第一班车8:00已经发出的情况下,他只能乘第二班车,
P(X=50)=14×14=116,P(X=70)=14×12=18,P(X=90)=14×14=116.
所以X的分布列为
X
10
30
50
70
90
P
12
14
116
18
116
(8分)
(3)由(2)得EX=10×12+30×14+50×116+70×18+90×116=30,
∴该旅客候车时间的数学期望为30分钟. (12分)
21.解析 (1)一节电池是合格产品的概率为
P(30<ξ≤38)=12P(30<ξ≤42)+12P(34<ξ≤38)
≈12×0.9974+12×0.6826=0.84≈0.8. (4分)
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,X服从二项分布B(4,0.8), (4分)
所以P(X=0)=(1-0.8)4=0.0016,
P(X=1)=C41×0.8×(1-0.8)3=0.0256,
P(X=2)=C42×0.82×(1-0.8)2=0.1536,
P(X=3)=C43×0.83×(1-0.8)=0.4096,
P(X=4)=0.84=0.4096. (8分)
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.0016
0.0256
0.1536
0.4096
0.4096
EX=4×0.8=3.2,
DX=4×0.8×0.2=0.64. (12分)
22.解析 (1)由频数分布表可知,日纯利润在区间[5,7)内的频率为20+30100=12,记抽出的5天中日纯利润在区间[5,7)内的天数为X,则X~B5,12, (2分)
∴P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-125-C51125=1316. (4分)
(2)①x=1100×(4.5×5+5.5×20+6.5×30+7.5×30+8.5×10+9.5×5)=6.85,
∴μ=6.85. (6分)
又σ=1.44,
∴P(3.97
故该大型超市1000天内日纯利润在区间(3.97,8.29]的天数为1000×0.8185≈819天. (8分)
②易知P(Z<μ)=P(Z≥μ)=12.
对于奖励方案一:设小张每日获得的奖金为Y元,则Y的可能取值为70,90,其对应的概率均为12,故EY=12×(70+90)=80.
对于奖励方案二:设小张每日获得的奖金为Q元,则Q的可能取值为50,100,150,200.
P(Q=50)=12×23=13,
P(Q=100)=12×13+12×23×23=718,
P(Q=150)=12×C21×13×23=29,
P(Q=200)=12×13×13=118, (10分)
∴Q的分布列为
Q
50
100
150
200
P
13
718
29
118
∴EQ=50×13+100×718+150×29+200×118=100.
∴EQ>EY,
∴从数学期望的角度看,小张选择奖励方案二更有利. (12分)
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