第二章复习提升-2022版数学选择性必修第二册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析）

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本章复习提升
易混易错练
易错点1　对导数的概念理解不够准确致错
1.(2020北京东城高二下期末,)已知函数y=f(x)在x=x0处的导数为1,则limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)2Δx= (　易错　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0 B.12 C.1 D.2
2.()利用导数的概念求f(x)=x2+1在x=1处的导数.








易错点2　混淆“过某点”与“在某点处”的切线致错3.()已知函数f(x)=x3+2x-8,则曲线y=f(x)在点(0,-8)处的切线方程为　　　　　　　;若曲线y=f(x)的某一条切线与直线y=-15x+1垂直,则切点坐标为　　　　　　. 
4.(2021河北邯郸大名一中、磁县一中等高二上联考,)已知曲线y=ax3+b(a,b为常数)在x=2处的切线方程为4x-y-4=0.
(1)求a,b的值;
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.
易错





易错点3　对复合函数的求导法则理解不透彻致错
5.(2021天津河西高二上期末,)函数y=e-2x+1cos(-x2+x)的导数为 (　　)
A.y'=e-2x+1[2sin(x2-x)+(2x-1)cos(x2-x)]
B.y'=-e-2x+1[2cos(x2-x)+(2x-1)sin(x2-x)]
C.y'=-e-2x+1[2sin(x2-x)+(2x-1)cos(x2-x)]
D.y'=e-2x+1[2cos(x2-x)+(2x-1)sin(x2-x)]
6.(2020湖北武汉武昌实验中学高二下期中,)已知(3x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值是 (　易错　)
A.15 B.-32 C.-27 D.-17
易错点4　不能正确理解极值点与导函数的关系致错7.()函数f(x)=(x2-1)3+2的极值点是 (　易错　)
A.x=1 B.x=-1或x=1或x=0
C.x=0 D.x=-1或x=1
8.()设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值;
(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.








易错点5　利用导数研究函数单调性时忽视定义域致错
9.(2021湖南常德高二上期末,)若f(x)=x2-2x-4ln x,则f(x)的单调递增区间为 (　易错　)
A.(-1,0) B.(-1,0)∪(2,+∞)
C.(1,+∞) D.(2,+∞)
10.()已知函数f(x)=ax-ax-2ln x(a∈R).
(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围;
(2)讨论函数f(x)的单调性.










易错点6　混淆极值与最值致错
11.()求函数f(x)=sin 2x-x在-π2,π2上的最大值和最小值.
易错

















12.()已知函数f(x)=2ax-ln(2x),x∈(0,e],其中e是自然对数的底数,a∈R.
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.










易错点7　利用导数研究实际问题时忽视定义域致错
13.(2021安徽江淮十校高三上质检,)一根长为L的铁棒AB欲水平通过如图所示的直角走廊(假设通过时贴着内侧的圆弧墙壁),该走廊由宽度为1 m的平行部分和一个半径为2 m的四分之一圆弧转角部分(弧CD段,圆心为O)组成.
(1)若AB与CD切于点T,OC⊥BS于点S,设∠TOS=θ,试将L表示为θ的函数;
(2)求L的最小值,并说明此最小值的实际意义. 易错








思想方法练
　　　　　
一、分类讨论思想在利用导数解决函数问题中的应用
1.(2021山东师范大学附属中学高二下月考,)已知a>0,讨论函数f(x)=a3x3-a2+12x2+ax-2的单调性.









2.(2020福建福州高三上期末,)已知函数f(x)=cos x+ax2-1.
(1)当a=12时,证明:f(x)≥0;
(2)若f(x)在R上有且只有一个零点,求a的取值范围.
深度解析






二、转化与化归思想在利用导数解决函数问题中的应用
3.(2021安徽宿州十三所省重点中学高二上期末联考,)设f(x)(x∈R)是奇函数,f'(x)是f(x)的导函数,f(-2)=0.当x>0时,xf'(x)-f(x)>0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是 (　　)
A.(-2,0)∪(0,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-2,0)∪(2,+∞)
4.(2021豫南九校高二上期末,)已知函数f(x)=ln x-2x2,函数g(x)=-2x2-1x+a.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若对任意x∈12,+∞,函数f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
深度解析






5.(2020河北武邑中学高三上期末,)已知函数f(x)=excos x-xsin x,g(x)=sin x-2ex,其中e是自然对数的底数.
(1)若∀x1∈-π2,0,∃x2∈0,π2,使得不等式f(x1)≤m+g(x2)成立,求实数m的取值范围;
(2)若x>-1,求证: f(x)-g(x)>0.
















三、数形结合思想在利用导数解决函数问题中的应用
6.(2021江西景德镇一中高二上期中,)已知函数f(x)=1-x2,-2≤x≤0,lnx,00;当x∈(2,+∞)时, f'(x)0,得x>2或x0,所以x>2.故选D.
易错警示
利用导数求函数f(x)的单调区间,要先求函数的定义域D,再求导数f '(x),进而解不等式f '(x)>0(或f '(x)0),
令f'(x)=0,解得x=a或x=1a.
对f'(x)的两个零点的大小分类讨论,分别
判断函数的单调性.
(1)当a>1a,即a>1时,令f'(x)>0,得xa;令f'(x)0,得x1a;
令f'(x)0,
故f(x)在(0,+∞)上单调递增,故f(x)>f(0)=0.
所以f(x)在(0,+∞)上没有零点.
因为f(x)是偶函数,所以f(x)在R上有且只有一个零点.
(ii)若00”靠拢.
当x>0时,xf'(x)-f(x)>0,所以F'(x)>0,
所以F(x)在(0,+∞)上单调递增,
又f(x)是奇函数且f(-2)=0,所以f(2)=-f(-2)=0,则F(2)=0,
因为F(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=f(x)x=F(x), 且F(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,
所以函数F(x)为偶函数,所以F(x)在(-∞,0)上单调递减,且F(-2)=0.
利用函数的奇偶性进行转化,得到函数F(x)
在(-∞,0)上的单调性.
所以当x>0时,f(x)>0的解集为(2,+∞);
当x0的解集为(-2,0).
综上所述,f(x)>0的解集为(-2,0)∪(2,+∞).故选D.
利用F(x)的单调性将解抽象不等式转化为
由函数值的大小得到自变量取值的大小.
4.解析　(1)易知函数f(x)=ln x-2x2的定义域为(0,+∞),
f'(x)=1x-4x=1-4x2x=(1-2x)(1+2x)x,
由x>0得1+2x>0,
当x∈0,12时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈12,+∞时,f'(x)0,只需证excos x-xsin x-sin x+2ex>0,
即证ex(cos x+2)>(x+1)sin x,
由于cos x+2>0,x+1>0,
所以只需证exx+1>sinxcosx+2.
通过分析,将所证不等式一步步转化为易于
研究单调性的两个函数的大小关系.
令h(x)=exx+1(x>-1),
则h'(x)=ex(x+1)-ex(x+1)2=xex(x+1)2.
当x∈(-1,0)时,h'(x)g(1),所以g(x)max=g(-3)=e-3+4.
因此x12+x2的最大值与最小值的和为e-3+4+2=6+e-3.故选C.
思想方法
在本章中,利用导数的几何意义解题,研究函数的单调性、极值、函数零点或方程的根的个数问题等,往往利用数形结合思想,借助相应函数的图象求解.
7.答案　{a|a5}
解析　易得f'(x)=-3x2+6x+9.令f'(x)=0,解得x=-1或x=3.
当x发生变化时, f'(x), f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,3)
3
(3,+∞)
f'(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
所以当x=-1时, f(x)有极小值,且极小值为f(-1)=a-5;当x=3时, f(x)有极大值,且极大值为f(3)=a+27.
画出大致图象,要使f(x)的图象与x轴只有一个交点,只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2),

作出f(x)的大致图象,数形结合,由图象直
观得出极值与0的关系.
所以a+270,解得a5.
故实数a的取值范围为{a|a5}.
8.解析　(1)设g(x)=xln x,x>0,
则g'(x)=ln x+1(x>0).
令g'(x)=0,得x=1e,
所以函数g(x)在0,1e上单调递减,在1e,+∞上单调递增,
所以g(x)min=g1e=-1e,所以m=1.
(2)若f(x)-ax2=0,则xln x=ax2,
因为x>0,所以lnxx=a,
设h(x)=lnxx,则h'(x)=1-lnxx2,
令h'(x)=0,得x=e,
所以函数h(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
所以h(x)max=h(e)=1e,由h(1)=0,且当x>e时,h(x)>0,当x→+∞时,h(x)→0,可画出函数y=h(x)的图象,如图,

利用导数研究h(x)的性质,从而得出h(x)
的图象,借助图象直观求解.
所以当a>1e时,方程无解;当a=1e或a≤0时,方程有1个解;当0