辽宁省大连市2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）

这是一份辽宁省大连市2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．平行四边形D．正方形
2．下列事件为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，它正在播广告
B．投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数小于7
C．某彩票的中奖机会是1%，买1张一定不会中奖
D．抛掷一枚硬币，一定正面朝上
3．将抛物线y＝x2+1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（﹣2，3）B．（﹣2，﹣4）C．（﹣2，4）D．（2，﹣3）
4．如图，点B、D、C是⊙O上的点，∠BDC＝130°，则∠BOC是（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
5．不透明的袋子里共装有4个黑球和6个白球，这些球除了颜色不同外，其余都完全相同，随机从袋子中摸出一个球，摸到黑球的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，把△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C′，当A′B′⊥AC，∠A＝50°，∠A′CB＝115°时，∠B′CA的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
7．已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝2x2+8x+m上的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
8．如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACD＝∠BB．∠ADC＝∠ACBC．AC2＝AD•ABD．BC2＝BD•AB
9．电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．2+2x+2x2＝18B．2（1+x）2＝18
C．（1+x）2＝18D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝18
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：①x＞0时，y随x的增大而增大；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④关于x的方程ax2+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根．其中，所有正确结论的序号为（ ）
A．②③B．②④C．①②③D．②③④
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若关于x的方程x2﹣kx﹣12＝0的一个根为3，则另一个根为 ．
12．抛物线y＝x2+1与y轴的交点坐标 ．
13．如图，已知l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、M、B，直线CD分别交l1、l2、l3于C、N、D，AM＝4，MB＝6，CD＝9，那么ND＝ ．
14．《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，王文素著，完成于明嘉靖三年（1524年），全书12本42卷，近50万字，代表了我国明代数学的最高水平．《算学宝鉴》中记载的用导数解高次方程的方法堪与牛顿媲美，且早于牛顿140年．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长十二步，问长阔共几何？”
译文：一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽的和是多少步？如果设矩形田地的长为x步，可列方程为 ．
15．若一个扇形的半径为3，圆心角是120°，则它的面积是 ．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，过B点作射线BD⊥AB，P是BC上一动点，连接AP，作PQ⊥AP，交射线BD于Q，设AP为x，PQ为y，则y与x的函数关系式为 ．
三、解答题（本题共4小题，17、18、19题各9分，20题12分，共39分）
17．解下列方程：
①x2+2x﹣4＝0（配方法）；
②3x2﹣6x﹣2＝0（公式法）．
18．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，且其顶点在直线y＝﹣2x+2上．
（1）直接写出抛物线的顶点坐标；
（2）求抛物线的解析式．
19．如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠ADB．
（1）求证：△AED∽△ADC；
（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．
20．为庆祝中国共产党建党100周年，某校加强了学生对党史知识的学习，并组织学生参加《党史知识》测试（满分100分）．为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下：
收集数据：
七年级：86 88 95 90 100 95 95 99 93 100
八年级：100 98 98 89 87 98 95 90 90 89
整理数据：
分析数据：
应用数据：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ；
（2）若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；
（3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七年级2名．现从这5名学生中随机抽取2名到当地社区担任党史宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率．
四、解答题（本共3小题，其中21小题9分，22、23题10分，共29分）
21．2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．
22．如图，DP是⊙O的切线，D为切点，弦AB∥DP，连接BO并延长，与⊙O交于点C，与DP交于点E，连接AC并延长，与DP交于点F，连接OD．
（1）求证：AF∥OD；
（2）若OD＝5，AB＝8，求线段EF的长．
23．某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．
（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%．设这种防护品每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）
24．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OA在x轴上，OA＝AB，且线段OA的长是方程x2﹣4x﹣5＝0的根，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，tan∠BAE＝，动点M以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿线段AB向点B运动，到达点B停止．过点M作x轴的垂线，垂足为D，以MD为边作正方形MDCF，点C在线段OA上，设正方形MDCF与△AOB重叠部分的面积为S，点M的运动时间为t（t＞0）秒．
（1）求点B的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
25．在△ABC中，D为AC上一点，且AC＝kAD，E是BC上一点，BD于AE相交于点O，若∠AOB+∠BAC＝180°．
（1）如图1，若∠BAC＝120°，AB＝AC．
①找出与∠ABD相等的角，并证明；
②求的值．
（2）如图2，若BE＝2CE，求的值．
26．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．
（1）填空：b＝ （用含a的代数式表示）；
（2）当﹣1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴的最大距离为5，求a的值；
（3）若点A的坐标为（﹣1，0），点E的坐标为（x，0）（其中x≥0），点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本题共10小題，每小題3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．平行四边形D．正方形
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A．等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．下列事件为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，它正在播广告
B．投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数小于7
C．某彩票的中奖机会是1%，买1张一定不会中奖
D．抛掷一枚硬币，一定正面朝上
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
解：A．打开电视机，它正在播广告，属于随机事件；
B．投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数小于7，属于必然事件；
C．某彩票的中奖机会是1%，买1张不会中奖，属于随机事件；
D．抛掷一枚硬币，正面朝上，属于随机事件；
故选：B．
3．将抛物线y＝x2+1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（﹣2，3）B．（﹣2，﹣4）C．（﹣2，4）D．（2，﹣3）
【分析】根据平移规律，可得顶点式解析式．
解：将抛物线y＝x2+1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得y＝（x+2）2+1+3，即y＝（x+2）2+4，
所以顶点坐标为（﹣2，4），
故选：C．
4．如图，点B、D、C是⊙O上的点，∠BDC＝130°，则∠BOC是（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【分析】首先在优弧上取点E，连接BE，CE，由点B、D、C是⊙O上的点，∠BDC＝130°，即可求得∠E的度数，然后由圆周角定理，即可求得答案．
解：在优弧上取点E，连接BE，CE，如图所示：
∵∠BDC＝130°，
∴∠E＝180°﹣∠BDC＝50°，
∴∠BOC＝2∠E＝100°．
故选：A．
5．不透明的袋子里共装有4个黑球和6个白球，这些球除了颜色不同外，其余都完全相同，随机从袋子中摸出一个球，摸到黑球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】从袋子中随机摸出一个球，摸到不是同一个球即认为是不同的情况，则有10种情况，而摸到黑球的情况有4种，根据概率公式即可求解．
解：∵共4+6＝10个球，黑球有4个，
∴从袋子中随机摸出一个球，则摸到黑球的概率是＝．
故选：D．
6．如图，把△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C′，当A′B′⊥AC，∠A＝50°，∠A′CB＝115°时，∠B′CA的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【分析】由旋转的性质可得∠A′＝∠A＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，由直角三角形的性质可求∠A′CA＝40°，即可求解．
解：根据旋转的性质可知∠A′＝∠A＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，
∴∠A′CA＝90°﹣50°＝40°．
∴∠BCB′＝∠A′CA＝40°，
∴∠B′CA＝∠A′CB﹣∠A′CA﹣∠BCB′＝115°﹣40°﹣40°＝35°．
故选：B．
7．已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝2x2+8x+m上的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴（﹣1，y1）关于对称轴的对称点为（﹣3，y1）
∵a＝2＞0，
∴x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
∵﹣4＜﹣3＜﹣2，
∴y2＜y1＜y3．
故选：D．
8．如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACD＝∠BB．∠ADC＝∠ACBC．AC2＝AD•ABD．BC2＝BD•AB
【分析】利用相似三角形判定方法依次判断可求解．
解：由题意可得：△ACD和△ABC中，∠CAD＝∠BAC，
若∠ACD＝∠B，由有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ACD∽△ABC，故选项A不合题意；
若∠ADC＝∠ACB，由有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ACD∽△ABC，故选项B不合题意；
若AC2＝AD•AB，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得△ACD∽△ABC，故选项C不合题意；
故选：D．
9．电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．2+2x+2x2＝18B．2（1+x）2＝18
C．（1+x）2＝18D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝18
【分析】第一天为2，根据增长率为x得出第二天为2（1+x），第三天为2（1+x）2，根据三天累计为18，即可得出关于x的一元二次方程．
解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝18．
故选：D．
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：①x＞0时，y随x的增大而增大；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④关于x的方程ax2+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根．其中，所有正确结论的序号为（ ）
A．②③B．②④C．①②③D．②③④
【分析】根据二次函数的图象及性质即可判断．
解：由函数图象可知，抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝1，与轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴与轴另一个交点坐标为（3，0），
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故①错误；
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正确；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴﹣a＞c，
∴直线y＝﹣a与抛物线y＝ax2+x+c有2个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝﹣a有两个不相等的实数根，
即关于a的方程ax2+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根，故④正确；
正确的有②③④，
故选：D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若关于x的方程x2﹣kx﹣12＝0的一个根为3，则另一个根为 ﹣4 ．
【分析】利用两根之积等于，可求出方程的另一个根为﹣4．
解：方程的另一个根是﹣12÷3＝﹣4．
故答案为：﹣4．
12．抛物线y＝x2+1与y轴的交点坐标 （0，1） ．
【分析】将x＝0代入抛物线解析式即可求得抛物线y＝x2+1与y轴的交点坐标．
解：当x＝0时，y＝1，
∴抛物线y＝x2+1与y轴的交点坐标为（0，1），
故答案为：（0，1）．
13．如图，已知l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、M、B，直线CD分别交l1、l2、l3于C、N、D，AM＝4，MB＝6，CD＝9，那么ND＝ 5.4 ．
【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∴，
解得 CN＝3.6，
∴ND＝CD﹣CN＝9﹣3.6＝5.4
故答案为：5.4．
14．《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，王文素著，完成于明嘉靖三年（1524年），全书12本42卷，近50万字，代表了我国明代数学的最高水平．《算学宝鉴》中记载的用导数解高次方程的方法堪与牛顿媲美，且早于牛顿140年．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长十二步，问长阔共几何？”
译文：一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽的和是多少步？如果设矩形田地的长为x步，可列方程为 x（x﹣12）＝864 ．
【分析】如果设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步，根据面积为864，即可得出方程．
解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步．
根据矩形面积＝长×宽，得：x（x﹣12）＝864．
故答案为：x（x﹣12）＝864．
15．若一个扇形的半径为3，圆心角是120°，则它的面积是 3π ．
【分析】利用扇形的面积公式计算即可．
解：扇形的面积＝＝3π，
故答案为3π．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，过B点作射线BD⊥AB，P是BC上一动点，连接AP，作PQ⊥AP，交射线BD于Q，设AP为x，PQ为y，则y与x的函数关系式为 y＝2x ．
【分析】由∠APQ＝∠ABQ＝90°，可证点A，点P，点B，点Q四点共圆，通过证明△ABC∽△AQP，可得，即可求解．
解：如图，连接AQ，
∵AP⊥PQ，AB⊥BQ，
∴∠APQ＝∠ABQ＝90°，
∴点A，点P，点B，点Q四点共圆，
∴∠AQP＝∠ABC，
又∵∠APQ＝∠ACB＝90°，
∴△ABC∽△AQP，
∴，
∴，
∴y＝2x，
故答案为：y＝2x．
三、解答题（本题共4小题，17、18、19题各9分，20题12分，共39分）
17．解下列方程：
①x2+2x﹣4＝0（配方法）；
②3x2﹣6x﹣2＝0（公式法）．
【分析】①先把常数项移到等号的另一边，配方后利用直接开平方法求解；
②先确定二次项、一次项系数及常数项，代入求根公式即可．
解：①移项，得x2+2x＝4，
配方，得x2+2x+1＝5，
∴（x+1）2＝5．
∴x+1＝．
∴x1＝﹣1，x2＝﹣1﹣．
②这里，a＝3，b＝﹣6，c＝﹣2．
x＝
＝
＝
＝．
∴x1＝，x2＝．
18．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，且其顶点在直线y＝﹣2x+2上．
（1）直接写出抛物线的顶点坐标；
（2）求抛物线的解析式．
【分析】（1）把x＝2代入y＝﹣2x+2即可得到结论；
（2）把抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）代入抛物线的解析式即可得到结论．
解：（1）把x＝2代入y＝﹣2x+2得，y＝﹣2，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）；
（2）∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）；
∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣2，
即抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+2．
19．如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠ADB．
（1）求证：△AED∽△ADC；
（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．
【分析】（1）利用三角形外角的性质及∠DEC＝∠ADB可得出∠ADE＝∠C，结合∠DAE＝∠CAD即可证出△AED∽△ADC；
（2）利用相似三角形的性质可求出AD的长，再结合AD＝AB即可得出AB的长．
【解答】（1）证明：∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE，∠ADB＝∠DAE+∠C，∠DEC＝∠ADB，
∴∠ADE＝∠C．
又∵∠DAE＝∠CAD，
∴△AED∽△ADC．
（2）∵△AED∽△ADC，
∴＝，即＝，
∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．
又∵AD＝AB，
∴AB＝2．
20．为庆祝中国共产党建党100周年，某校加强了学生对党史知识的学习，并组织学生参加《党史知识》测试（满分100分）．为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下：
收集数据：
七年级：86 88 95 90 100 95 95 99 93 100
八年级：100 98 98 89 87 98 95 90 90 89
整理数据：
分析数据：
应用数据：
（1）填空：a＝ 1 ，b＝ 4 ，c＝ 92.5 ，d＝ 95 ；
（2）若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；
（3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七年级2名．现从这5名学生中随机抽取2名到当地社区担任党史宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率．
【分析】（1）利用唱票的形式得到a、b的值，根据中位数的定义确定c的值，根据众数的定义确定d的值；
（2）用200乘以样本中八年级测试成绩大于95分所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果，找出两同学为同年级的结果数，然后根据概率公式求解．
解：（1）a＝1，b＝4，
八年级成绩按由小到大排列为：87，89，89，90，90，95，98，98，98，100，
所以八年级成绩的中位数c＝＝92.5，
七年级成绩中95出现的次数最多，则d＝95；
故答案为1，4，92.5，95；
（2）200×＝80，
估计八年级测试成绩大于95分的人数为80人；
（3）画树状图为：
共有20种等可能的结果，其中两同学为同年级的结果数为8，
所以抽到同年级学生的概率＝＝．
四、解答题（本共3小题，其中21小题9分，22、23题10分，共29分）
21．2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．
【分析】设这个最小数为x，则最大数为（x+8），根据最小数与最大数的乘积为65，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设这个最小数为x，则最大数为（x+8），
依题意得：x（x+8）＝65，
整理得：x2+8x﹣65＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．
答：这个最小数为5．
22．如图，DP是⊙O的切线，D为切点，弦AB∥DP，连接BO并延长，与⊙O交于点C，与DP交于点E，连接AC并延长，与DP交于点F，连接OD．
（1）求证：AF∥OD；
（2）若OD＝5，AB＝8，求线段EF的长．
【分析】（1）延长DO交AB于点H，根据切线的性质得到OD⊥DP，根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，根据平行线的判定定理证明结论；
（2）根据垂径定理求出AH、BH，根据勾股定理求出OH，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】（1）证明：延长DO交AB于点H，
∵DP是⊙O的切线，
∴OD⊥DP，
∵AB∥DP，
∴HD⊥AB，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴AF∥OD；
（2）∵OH⊥AB，AB＝8，
∴BH＝AH＝4，
∴OH＝＝＝3，
∵BH∥ED，
∴△BOH∽△EOD，
∴＝，即＝，
解得：ED＝，
∵∠BAC＝90°，DH⊥AB，DH⊥DP，
∴四边形AFDH为矩形，
∴DF＝AH＝4，
∴EF＝ED﹣DF＝﹣4＝．
23．某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．
（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%．设这种防护品每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx+b（k≠0，x≥50），用待定系数法求解即可；
（2）由题意得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
解：（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx+b（k≠0，x≥50），
将（60，600），（80，400）代入，得：
解得：，
∴每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为y＝﹣10x+1200；
（2）由题意得：
w＝（﹣10x+1200）（x﹣50）
＝﹣10x2+1700x﹣60000
＝﹣10（x﹣85）2+12250，
∵﹣10＜0，
∴当x≤85时，w随x的增大而增大，
∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的30%，
∴x≤50×（1+30%），即x≤65，
∴当x＝65时，w取得最大值：最大值＝﹣10（65﹣85）2+12250＝8250．
∴售价定为65元可获得最大利润，最大利润是8250元．
五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）
24．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OA在x轴上，OA＝AB，且线段OA的长是方程x2﹣4x﹣5＝0的根，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，tan∠BAE＝，动点M以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿线段AB向点B运动，到达点B停止．过点M作x轴的垂线，垂足为D，以MD为边作正方形MDCF，点C在线段OA上，设正方形MDCF与△AOB重叠部分的面积为S，点M的运动时间为t（t＞0）秒．
（1）求点B的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
【分析】（1）通过解一元二次方程得出OA的长，根据tan∠BAE＝求出BE、AE的长度，进而求出点B的坐标；
（2）先求出点F落在OB上时，t的值，再根据点F落在△OAB内部和外部两种情况时，t的不同取值范围求出对应的函数关系式．
解：（1）由x2﹣4x﹣5＝0，解得x＝5或﹣1，
∵OA是方程的根，
∴OA＝5，
∴AB＝OA＝5，
在Rt△ABE中，tan∠BAE＝，AB＝5，
∴BE＝4，AE＝3，
∴OE＝OA+AE＝5+3＝8，
∴B（8，4）；
（2）如图1中，当点F落在OB上时，AM＝t，DM＝t，AD＝t，
∵FM∥OA，
∴＝，
∴＝，
∴t＝，
如图2中，当0＜t≤时，重叠部分是四边形ACFM，
S＝•（AC+FM）•DM
＝•（t+t﹣t）t
＝t2，
如图3中，＜t≤5时，重叠部分是五边形ACHGM，
S＝S梯形ACFM﹣S△FGH
＝t2﹣××[t﹣（5﹣t）]2
＝﹣t2+t﹣，
综上所述，S＝t2（0＜t≤）或S＝﹣t2+t﹣（＜t≤5）．
25．在△ABC中，D为AC上一点，且AC＝kAD，E是BC上一点，BD于AE相交于点O，若∠AOB+∠BAC＝180°．
（1）如图1，若∠BAC＝120°，AB＝AC．
①找出与∠ABD相等的角，并证明；
②求的值．
（2）如图2，若BE＝2CE，求的值．
【分析】（1）①由∠BAC＝120°，得∠ADO+∠ABD＝60°，由∠AOB+∠BAC＝180°，得∠AOB＝60°，进而命题得证；
②作EF⊥BC交AC于F，设AD＝a，则AB＝AC＝ka，CD＝（k﹣1）•a，设EF＝x，证明△AEF∽△BAD，进一步求得结果；
（2）作EF∥BD交AC于F，设AD＝a，设OD＝x，则AC＝k•a，CD＝（k﹣1）•a，△EFC∽△BDC，△AOD∽△AEF，进一步求得结果．
解：（1）①∠ABD＝∠CAE，理由如下：
∵∠BAC＝120°，
∴∠ADO+∠ABD＝60°，
∵∠AOB+∠BAC＝180°，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ADO+∠CAE＝60°，
∴∠ABD＝∠CAE；
②如图1，
作EF⊥BC交AC于F，
设AD＝a，则AB＝AC＝ka，CD＝（k﹣1）•a，设EF＝x，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝30°，
∴CF＝2x，∠AFE＝∠C+∠CEF＝120°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠AFE＝∠BAC，
∵∠ABD＝∠CAE，
∴△AEF∽△BAD，
∴，，
∴，
∴x＝，
即：EF＝
∴＝；
（2）如图2，
作EF∥BD交AC于F，设AD＝a，设OD＝x，
则AC＝k•a，CD＝（k﹣1）•a，
∴△EFC∽△BDC，△AOD∽△AEF
∴，，
∴BD＝3EF，CF＝＝（k﹣1）•a，
∴＝，
∴EF＝，
∴BD＝（2k+1）•x，
∵∠CAE＝∠ACD，∠ADO＝∠ADB，
∴△AOD∽△BAD，
∴＝＝，
∴＝，
∴x＝•a
∴＝＝．
26．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．
（1）填空：b＝ ﹣2a （用含a的代数式表示）；
（2）当﹣1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴的最大距离为5，求a的值；
（3）若点A的坐标为（﹣1，0），点E的坐标为（x，0）（其中x≥0），点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线对称轴公式x＝即可解决问题；
（2）分别算出﹣x＝1和x＝0对应的函数值即可求得a的值；
（3）分类讨论，应用一线三直角模型构造全等三角形，找到线段关系，从而求出点坐标．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3对称轴为直线x＝1，
∴对称轴为直线x＝，
∴b＝﹣2a，
故答案为：﹣2a；
（2）当x＝0时，y＝﹣3，此时点（0，﹣3）到x轴的距离小于5，
当x＝﹣1时，y＝a+2a﹣3＝3a﹣3.3a﹣3＝5，
解得a＝；
（3）存在，
∵△CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，
∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），
①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，
∵∠CEQ＝90°，
∴∠QEN+∠CEM＝90°，
∵∠QEN+∠NQE＝90°，
∴∠EQN＝∠CEM，
∵∠CME＝∠QNE＝90°，EC＝EQ，
∴△ENQ≌△CME（AAS），
∴CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，
∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，
解得x＝或x＝（舍去），
∴OE＝CM＝，
∴E（，0）；
②如图，
∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，
∴B点的坐标为（3，0）．
∴点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0）；
③如图，过点E作x轴的垂线l'，再分别过点C和点Q作垂线l'的垂线，分别交于点M'和点N'，
同理：△EM'C≌△QN'E（AAS），
CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，
∴x+3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝，x＝（舍去），
∴OE＝CM＝，
∴E（，0），
综上所述，点E的坐标为（，0）或（0，0）或（，0）．
成绩x（分）
年级
85＜x≤90
90＜x≤95
95＜x≤100
七年级
3
4
3
八年级
5
a
b
统计量
年级
平均数
中位数
众数
七年级
94.1
95
d
八年级
93.4
c
98
成绩x（分）
年级
85＜x≤90
90＜x≤95
95＜x≤100
七年级
3
4
3
八年级
5
a
b
统计量
年级
平均数
中位数
众数
七年级
94.1
95
d
八年级
93.4
c
98