山东省济南市2022届高三上学期期末考试学情检测（一模）数学含答案

山东省济南市2022届高三上学期期末考试学情检测（一模）

数   学

2022．1

(满分：150分　考试时间：120分钟)

一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合A＝{x|2x≥4}，B＝{x|－1≤x≤5}，则A∩B＝(　　)

A. {x|－1≤x≤2}    B. {x|2≤x≤5}

C. {x|x≥－1}    D. {x|x≥2}

2. 复数z＝(其中i为虚数单位)的虚部是(　　)

A. －1    B. 1    C. －i    D. i

3. (1－2x)5的展开式中，x3项的系数为(　　)

A. 40    B. －40    C. 80    D. －80

4. 已知函数f(x)的定义域为R，则 “f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的(　　)

A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件

C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件

5. 已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<|φ|<)的部分图象如图所示，则(　　)

A. f(x)＝2sin (2x＋)

B. f(x)＝2sin (2x－)

C. f(x)＝2sin (x＋)

D. f(x)＝2sin (x－)

6. 已知函数f(x)＝若f(a2－4) >f(3a)，则实数a的取值范围是(　　)

A. (－1，4)    B. (－∞，－1)∪(4，＋∞)

C. (－4，1)    D. (－∞，－4)∪(1，＋∞)

7. 酒后驾驶是严重危害交通安全的行为，某交通管理部门对辖区内四个地区(甲、乙、丙、丁)的酒驾治理情况进行检查督导，若“连续8天，每天查获的酒驾人数不超过10”，则认为“该地区酒驾治理达标”．根据连续8天检查所得数据的数字特征推断，酒驾治理一定达标的地区是(　　)

A. 甲地：均值为4，中位数为5    B. 乙地：众数为3，中位数为2

C. 丙地：均值为7，方差为2    D. 丁地：极差为3，75%分位数为8

8. 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分別是F1，F2，过点F1的直线与C交于A，B两点，且AB⊥F1F2.现将平面AF1F2沿F1F2所在直线折起，点A到达点P处，使平面PF1F2⊥平面BF1F2.若cos ∠PF2B＝，则双曲线C的离心率为(　　)

A.     B.     C. 2    D.

二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知平面向量a＝(1，0)，b＝(1，2)，则下列说法正确的是(　　)

A. |a＋b|＝16    B. (a＋b)·a＝2

C. 向量a＋b与a的夹角为30°    D. 向量a＋b在a上的投影向量为2a

10. 已知实数a，b，c满足a>b>c>0，则下列说法正确的是(　　)

A. <    B. <

C. ab＋c2>ac＋bc    D. (a＋b)(＋)的最小值为4

11. 在平面直角坐标系内，已知A(－1，0)，B(1，0)，C是平面内一动点，则下列条件中使得点C的轨迹为圆的有(　　)

A. ||＝||    B. ||＝2||

C. ·＝0    D. ·＝2

12. 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为侧面BCC1B1(不含边界)内的动点，Q为线段A1C上的动点，若直线A1P与A1B1的夹角为45°，则下列说法正确的是(　　)

A. 线段A1P的长度为

B. A1Q＋PQ的最小值为1

C. 对任意点P，总存在点Q，使得D1Q⊥CP

D. 存在点P，使得直线A1P与平面ADD1A1所成的角为60°

三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知抛物线y2＝4x，作过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则AB的最小值为________．　

14. 已知α∈(－，)，且sin α＋cos α＝，则tan α的值为________．

15. 甲、乙两个箱子中各装有5个大小、质地均相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有2个红球、3个白球．抛一枚质地均匀的硬币，若硬币正面向上，从甲箱中随机摸出一个球；若硬币反面向上，从乙箱中随机摸出一个球，则摸到红球的概率为________．

16. 某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推，不断得到新的数列．如图，第一行构造数列1，2；第二行得到数列1，2，2；第三行得到数列1，2，2，4，2；…，则第5行从左数起第6个数的值为________．用An表示第n行所有项的乘积．若数列{Bn}满足Bn＝log2An，则数列{Bn}的通项公式为________．

四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. (本小题满分10分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝，a＝3.

(1) 求角A的大小；

(2) 若点D在边AC上，且＝＋，求△BCD面积的最大值．

18.(本小题满分12分)

已知数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3，a1＝1，a2＝2.

(1) 记bn＝a2n－1，求数列{bn}的通项公式；

(2) 记数列{an}的前n项和为Sn，求S30.

18.(本小题满分12分)

如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，G为棱DD1上的动点．

(1) 求证：B，E，D1，F四点共面；

(2) 是否存在点G，使得平面GEF⊥平面BEF？若存在，求出DG的长度；若不存在，请说明理由．

20. (本小题满分12分)

某机构为了解市民对交通的满意度，随机抽取了100位市民进行调查．结果如下：回答“满意”的人数占总人数的一半，在回答“满意”的人中，“上班族”的人数是“非上班族”人数的；在回答 “不满意”的人中， “非上班族” 占.

(1) 请根据以上数据填写下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析能否认为市民对于交通的满意度与是否为上班族有关联．

(2) 为了改善市民对交通状况的满意度，机构欲随机抽取部分市民做进一步调查．规定：抽样的次数不超过n(n∈N*)，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到n时，抽样结束．抽样结束时，记抽样的总次数为随机变量Xn，以频率代替概率．

① 若n＝5，写出X5的分布列和数学期望；

② 请写出Xn的数学期望的表达式(不需证明)，根据你的理解说明Xn的数学期望的实际意义．

参考公式和数据：

χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝ex＋1＋(1－a)x＋b.

(1) 若曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝ex，求实数a，b的值；

(2) 若不等式f(x)≥0恒成立，求的最小值．

22.(本小题满分12分)

已知P为圆M：x2＋y2－2x－15＝0上一动点，点N(－1，0)，线段PN的垂直平分线交线段PM于点Q.

(1) 求点Q的轨迹方程；

(2) 设点Q的轨迹为曲线C，过点N作曲线C的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分別为E，F，过点N作直线EF的垂线，垂足为点H，是否存在定点G，使得GH为定值？ 若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

数学参考答案及评分标准

1. B　2. A　3. D　4. A　5. A　6. B　7. C　8. D　9. BD　10. BC　11. BCD　12. ABC

13. 4　14. －　15. 　16. 8　Bn＝(第一空2分，第二空3分)

17. 解：(1) 因为 ＝， 所以 (2b－c)cos A＝a cos C，

所以2sin B cos A＝sin A cos C＋cos A sin C＝sin (A＋C)＝sin B.

因为sin B>0，所以cos A＝.

因为A∈(0，π)，所以A＝.(5分)

(2) 因为＝＋，所以＝，

所以S△BCD＝S△ABC＝bc sin A＝bc.

因为a2＝b2＋c2－2bc cos A，

所以9＝b2＋c2－bc≥bc，当且仅当b＝c时，等号成立，

所以S△BCD＝bc≤，

所以△BCD面积的最大值为.(10分)

18. 解：(1) 因为an＋2＋(－1)nan＝3，

令n取2n－1，则a2n＋1－a2n－1＝3，

即bn＋1－bn＝3，b＝a1＝1，

所以数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，

所以bn＝3n－2.(6分)

(2) 令n取2n，则a2n＋2＋a2n＝3，

所以S30＝(a1＋a3＋…＋a29)＋(a2＋a4＋…＋a30).

由(1)可知a1＋a3＋…＋a29＝b1＋b2＋…＋b15＝330，

a2＋a4＋…＋a2n＝a2＋(a4＋a6)＋…＋(a28＋a30)＝2＋21＝23，

所以S30＝330＋23＝353.(12分)

19. (1) 证明：连接D1E，D1F，取BB1的中点为M，连接MC1，ME.

因为E为AA1的中点，所以EM∥A1B1∥C1D1，且EM＝A1B1＝C1D1，

所以四边形EMC1D1为平行四边形，所以D1E∥MC1.(2分)

因为F为CC1的中点，所以BM∥C1F，且BM＝C1F，

所以四边形BMC1F为平行四边形，所以BF∥MC1，

所以BF∥D1E，所以B，E，D1，F四点共面．(4分)

(2) 以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．假设存在满足题意的点G，设G(0，0，t).(6分)

由已知B(1，1，0)，E(1，0，1)，F(0，1，1)，则＝(－1，1，0)，＝(0，1，－1)，＝(－1，0，t－1).

设平面BEF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即

取x1＝1，则n1＝(1，1，1).(8分)

设平面GEF的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，

则即

取x2＝t－1，则n2＝(t－1，t－1，1).(10分)

因为平面GEF⊥平面BEF，所以n1·n2＝0，

所以t－1＋t－1＋1＝0，所以t＝，

所以存在满足题意的点G，使得平面GEF⊥平面BEF，DG的长度为.(12分)

20. 解：(1) 由题意知

(2分)

零假设为H0：市民对交通的满意度与是否上班独立．

因为χ2＝＝≈25.253>10.828，(4分)

根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为市民对交通的满意度与是否上班有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.(6分)

(2)  ①当n＝5时，X5的取值为1，2，3，4，5，

由(1)可知市民的满意度和不满意度均为，

所以P(X5＝1)＝，P(X5＝2)＝，P(X5＝3)＝，P(X5＝4)＝，P(X5＝5)＝，

所以X5的分布列为

所以E(X5)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.(9分)

②E(Xn)＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)·＋n·＝2－，

当n趋向于正无穷大时，E(Xn)趋向于2，此时E(Xn)恰好为不满意度的倒数，

也可以理解为平均每抽取2个人，就会有一个不满意的市民．(12分)

21. 解：(1) 由已知f(0)＝e＋b＝0，所以b＝－e.

又f′(x)＝ex＋1＋1－a，

所以k＝f′(0)＝e＋1－a＝e，

所以a＝1.(4分)

(2) 函数f(x)的定义域为R.

因为f′(x)＝ex＋1＋1－a，

① 若1－a>0，即a<1时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增，

因为当x<－1时，f(x)<(1－a)x＋b＋1≤(1－a)x＋|b|＋1，

所以取x0＝－1－<－1，则f(x0)<0，不合题意．(6分)

② 若1－a＝0，即a＝1时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增，

若不等式f(x)＝ex＋1＋b≥0恒成立，则b≥0，(8分)

所以≥0，即的最小值为0.

③ 若1－a<0，即a>1时，

令f′(x)>0，解得x>ln (a－1)－1，

令f′(x)<0，解得x<ln (a－1)－1，

所以f(x)在(－∞，ln (a－1)－1)上单调递减，在(ln (a－1)－1，＋∞)上单调递增；

若不等式f(x)≥0恒成立，则f(ln (a－1)－1)＝2(a－1)＋(1－a)ln (a－1)＋b≥0，

即b≥2(1－a)＋(a－1)ln (a－1)，

所以≥；(10分)

设a－1＝t(t>0)，则＝.

设g(t)＝(t>0)，则g′(t)＝，

所以当t∈(0，1)时，g′(t)<0，g(t)单调递减；

当t∈(1，＋∞)时，g′(t)>0，g(t)单调递增；

所以g(t)≥g(1)＝－1，此时a＝2；

即的最小值为－1.

综上所述，的最小值为－1.(12分)

22. 解：(1) 由题意可知圆M的圆心为(1，0)，半径为4，

因为线段PN的垂直平分线交线段PM于点Q，

所以QP＝QN，

所以QN＋QM＝QP＋QM＝4.

因为MN＝2<4，

所以Q的轨迹是以N，M为焦点的椭圆．

设＋＝1(a>b>0)，则a＝2，c＝1，b＝，

所以点Q的轨迹方程为＋＝1.(4分)

(2)  ① 若两条直线斜率均存在，

设过点E的弦所在直线l1的方程为x＝ty－1(t≠0)，代入椭圆方程，得

(3t2＋4)y2－6ty－9＝0.

设l1与椭圆两交点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

所以y1＋y2＝，所以yE＝，

则xE＝t·－1＝.

同理xF＝，yF＝.

由对称性可知EF所过定点必在x轴上，设为T(x0，0)，显然∥，

所以(－x0)·＝·(－x0)，

化简得－4(1＋t2)＝7x0(1＋t2)，即x0＝－.(8分)

② 若其中一条直线斜率不存在，则直线EF为x轴；

综上，直线EF必过定点T(－，0).

取点N与点T的中点为G，则G(－，0).

因为NH⊥EF，所以·＝0，

所以点H在以G为圆心，GT＝GH＝为半径的圆上运动，

所以存在定点G，使得GH为定值．(12分)