河北省石家庄市赞皇县2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题（word版 含答案）

这是一份河北省石家庄市赞皇县2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题（word版 含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．一元二次方程x2+2x＝0的解为（ ）
A．x＝﹣2B．x＝2C．x1＝0，x2＝﹣2D．x1＝0，x2＝2
2．下列属于必然事件的是（ ）
A．水滴石穿B．水中捞月C．守株待兔D．大海捞针
3．如图放置的一个水管三叉接头，若其主视图如图1所示，则其俯视图是（ ）
A．B．C．D．
4．若点（2，5），（4，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，那么这条抛物线的对称轴是（ ）
A．直线x＝1B．直线x＝2C．直线x＝3D．直线x＝4
5．如图，有甲，乙、丙三个矩形，其中相似的是（ ）
A．甲与丙B．甲与乙
C．乙与丙D．三个矩形都不相似
6．如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变，又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（ ）
A．40海里B．60海里C．40海里D．20海里
7．一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是﹣2，﹣1，0，1．卡片除数字不同外其他均相同，从中随机抽取一张卡片，不放回，再另外抽取一张，抽取的两张卡片上数字之积为0的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，将一张矩形纸片沿对角线剪开得到两个直角三角形纸片，将这两个直角三角形纸片通过图形变换构成以下四个图形，这四个图形中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
9．给出下列4个命题：①相似三角形的周长之比等于其相似比；②方程x2﹣3x+5＝0的两根之积为5；③在同一个圆中，同一条弦所对的圆周角都相等；④圆的内接四边形对角互补．其中，真命题为（ ）
A．①②④B．①③④C．①④D．①②③④
10．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+bx+c的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
11．《长津湖》以抗美援朝战争中长津湖战役为背景，影片一上映就获得追捧，目前票房已突破48亿．第二天票房为4.1亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第四天的票房为4.7亿元，若把增长率记作x．则方程可以列为（ ）
A．4.1（1+x）＝4.7
B．4.1（1﹣x）2＝4.7
C．4.1（1+x）2＝4.7
D．4.1+4.1（1+x）+4.1（1+x）2＝4.7
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝x2﹣2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ）
A．2B．4C．8D．16
13．若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，并且x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2
14．从某个方向观察一个正六棱柱，可看到如图所示的图形，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别是AB，DC的中点．若AD＝10cm，AB＝6cm，则这个正六棱柱的侧面积为（ ）
A．360cm2B．120cm2C．180cm2D．180cm2
15．如图，已知直线y＝，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最小值是（ ）
A．6B．5.5C．5D．4.5
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．在△ABC内并排（不重叠）放入边长为1的小正方形纸片，第一层小纸片的一条边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点分别在AC、BC上，依次这样摆放上去，则最多能摆放（ ）个小正方形纸片．
A．14个B．15个C．16个D．17个
二、填空题（本大题有3个小题，共11分。17小题3分，18～19小题各有2个空，每空2分）
17．已知函数y＝（m﹣1）是反比例函数，则m的值为 ．
18．如图，高为6m的电线杆的顶上有一盏路灯，电线杆底部为A，身高1.5m的男孩站在与点A相距6m的点B处，若男孩以6m为半径绕电线杆走一圈，则他在路灯下的影子BC＝ m；BC扫过的面积为 m2．
19．已知，根据图1的y与x的关系，得到图2平面直角坐标系xOy中的射线CA和射线CB．若点P（0，t）（0＜t＜4）是y轴上一点，过点P作MN∥x轴交CA，CB于点M，N，连结OM，ON，则的比值为 ，△MON的面积最大值为 ．
三、解答题（本大题有7个小题，共67分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。
20．（1）计算：（3﹣π）0﹣2sin60°+|1﹣|+（）﹣1．
（2）解方程：3x（x﹣1）＝x﹣1．
21．如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长为1个单位长度，题中所给各点均在格点上．
（1）以图中的点O为位似中心，将△ABC作位似变换，且放大到原来的2倍，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．
（2）连接CO，AO．完成下面填空：
①＝ ，tan∠ACO＝ ，sin∠BCO＝ ．
②现有一个三边长分别为1，2，x的三角形与△OAC相似，则x＝ ．
22．近几年“密室逃脱俱乐部”风靡全球．如图是俱乐部的通路俯视图，小明进入入口后，任选一条通道．
（1）他进A密室或B密室的可能性哪个大？请说明理由（利用树状图或列表来求解）；
（2）求小明从中间通道进入A密室的概率．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，半径为2的⊙O分别与AC、BC相切于点E、F．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．
24．图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关．图2是其俯视简化示意图，已知轨道AB＝120cm，两扇活页门的宽OC＝OB＝60cm，点B固定，当点C在AB上左右运动时，OC与OB的长度不变．（所有的结果保留小数点后一位）
（1）若∠OBC＝50°，求AC的长；
（2）当点C从点A向右运动60cm时，求点O在此过程中运动的路径长．
参考数据：sin50°≈0.77．cs50°≈0.64，tan50°≈1.19，π取3.14．
25．在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20m，宽10m的场地进行布置，设计方案如图所示．阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m，不大于8m．设出口长均为x（m），活动区面积为y（m2）．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？
（3）若活动区布置成本为10元/m2，绿化区布置成本为8元/m2，布置场地的预算不超过1850元，当x为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．
26．如图1，△ABC为等边三角形，AB＝20，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合），且∠ADE＝∠B，交AC边于点E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）如图2，当D运动到BC的中点时，求线段CE的值；
（3）如图3，在（2）的基础上，点P为AD上一动点（点P不与点A，D重合），连接CP，将线段CP绕点C逆时针旋转60°得到CP′，连接BP′．
①∠CBP′的度数是定值吗？为什么？
②直接写出DP′的最小值．
参考答案
一、选择题（本大题有16个小题，共42分。1～10小题各3分；11～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．一元二次方程x2+2x＝0的解为（ ）
A．x＝﹣2B．x＝2C．x1＝0，x2＝﹣2D．x1＝0，x2＝2
【分析】利用因式分解法求解即可．
解：∵x2+2x＝0，
∴x（x+2）＝0，
则x＝0或x+2＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣2，
故选：C．
2．下列属于必然事件的是（ ）
A．水滴石穿B．水中捞月C．守株待兔D．大海捞针
【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件的意义结合具体的问题情境进行判断即可．
解：A．水滴石穿，是必然事件，因此选项符合题意；
B．水中捞月，是不可能事件，因此选项不符合题意；
C．守株待兔，是随机事件，因此选项不符合题意；
D．大海捞针，是随机事件，因此选项不符合题意；
故选：A．
3．如图放置的一个水管三叉接头，若其主视图如图1所示，则其俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
解：从上面看，可得到左边是一个圆，右边是长方形，一组对边与圆相接；
故选：A．
4．若点（2，5），（4，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，那么这条抛物线的对称轴是（ ）
A．直线x＝1B．直线x＝2C．直线x＝3D．直线x＝4
【分析】根据抛物线的对称性即可确定抛物线对称轴．
解：∵点（2，5），（4，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，且纵坐标相等．
∴根据抛物线的对称性知道抛物线对称轴是直线x＝＝3．
故选：C．
5．如图，有甲，乙、丙三个矩形，其中相似的是（ ）
A．甲与丙B．甲与乙
C．乙与丙D．三个矩形都不相似
【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答．
解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为2：3，1.5：2＝3：4，2：3，
∴甲和丙相似，
故选：A．
6．如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变，又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（ ）
A．40海里B．60海里C．40海里D．20海里
【分析】首先证明PB＝BC，推出∠C＝30°，可得PC＝2PA，求出PA即可解决问题．
解：在Rt△PAB中，∵∠APB＝30°，
∴PB＝2AB，
由题意得BC＝2AB，
∴PB＝BC，
∴∠C＝∠CPB，
∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，
∴∠C＝30°，
∴PC＝2PA，
∵PA＝AB•tan60°，
∴PC＝2×20×＝40（海里），
故选：C．
7．一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是﹣2，﹣1，0，1．卡片除数字不同外其他均相同，从中随机抽取一张卡片，不放回，再另外抽取一张，抽取的两张卡片上数字之积为0的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
解：画树状图如下：
由图知，共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为0的有6种结果，
∴抽取的两张卡片上数字之积为0的概率为，
故选：B．
8．如图，将一张矩形纸片沿对角线剪开得到两个直角三角形纸片，将这两个直角三角形纸片通过图形变换构成以下四个图形，这四个图形中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用中心对称图形的性质直接判断得出．
解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
9．给出下列4个命题：①相似三角形的周长之比等于其相似比；②方程x2﹣3x+5＝0的两根之积为5；③在同一个圆中，同一条弦所对的圆周角都相等；④圆的内接四边形对角互补．其中，真命题为（ ）
A．①②④B．①③④C．①④D．①②③④
【分析】根据相似三角形的性质、一元二次方程根的判别式、圆心角定理、圆内接四边形的性质判断即可．
解：①相似三角形的周长之比等于其相似比，是真命题；
②方程x2﹣3x+5＝0，△＝（﹣3）2﹣4×1×5＝﹣11＜0，方程无实根，是假命题；
③在同一个圆中，同一条弦所对的圆周角相等或互补，是假命题；
④圆的内接四边形对角互补，是真命题；
故选：C．
10．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+bx+c的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先分析一次函数，得到a、c的取值范围后，对照二次函数的相关性质是否一致，可得答案．
解：依次分析选项可得：
A、分析一次函数y＝ax+c可得，a＞0，c＞0，二次函数y＝ax2+bx+c开口应向上；与图不符．
B、分析一次函数y＝ax+c可得，a＜0，c＞0，二次函数y＝ax2+bx+c开口应向下，在y轴上与一次函数交于同一点；符合．
C、分析一次函数y＝ax+c可得，a＜0，c＜0，二次函数y＝ax2+bx+c开口应向下；与图不符．
D、一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+bx+c常数项相同，在y轴上应交于同一点；与图不符．
故选：B．
11．《长津湖》以抗美援朝战争中长津湖战役为背景，影片一上映就获得追捧，目前票房已突破48亿．第二天票房为4.1亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第四天的票房为4.7亿元，若把增长率记作x．则方程可以列为（ ）
A．4.1（1+x）＝4.7
B．4.1（1﹣x）2＝4.7
C．4.1（1+x）2＝4.7
D．4.1+4.1（1+x）+4.1（1+x）2＝4.7
【分析】利用第四天的票房＝第二天的票房×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：依题意得：4.1（1+x）2＝4.7．
故选：C．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝x2﹣2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【分析】根据抛物线解析式计算出y＝的顶点坐标，过点C作CA⊥y轴于点A，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形ACBO的面积，然后求解即可．
解：过点C作CA⊥y，
∵抛物线y＝＝（x2﹣4x）＝（x2﹣4x+4）﹣2＝（x﹣2）2﹣2，
∴顶点坐标为C（2，﹣2），
对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2＝4，
故选：B．
13．若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，并且x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2
【分析】根据k＝1＞0，可知在同一象限内，y随x的增大而减小即可解决问题．
解：∵k＝1＞0，
∴在同一象限内，y随x的增大而减小，
∵x1＜0＜x2＜x3，
∴y1＜0.0＜y3＜y2，
∴y1＜y3＜y2，
故选：C．
14．从某个方向观察一个正六棱柱，可看到如图所示的图形，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别是AB，DC的中点．若AD＝10cm，AB＝6cm，则这个正六棱柱的侧面积为（ ）
A．360cm2B．120cm2C．180cm2D．180cm2
【分析】根据AE的长，求底面正六边形的边长，用正六边形的周长×AD，得正六棱柱的侧面积．
解：如图，正六边形的边长为AG、BG，
GE垂直平分AB，
由正六边形的性质可知，∠AGB＝120°，∠A＝∠B＝30°，AE＝AB＝3，
所以，AG＝＝＝2，
正六棱柱的侧面积＝6AG×AD＝6×22×10＝120（cm2）．
故选：B．
15．如图，已知直线y＝，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最小值是（ ）
A．6B．5.5C．5D．4.5
【分析】过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，则由三角形面积公式得，×AB×CM＝×OA×BC，可知圆C上点到直线y＝x﹣3的最短距离是﹣1＝，由此求得答案．
解：过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，
则由三角形面积公式得，×AB×CM＝×OA×BC，
∴5×CM＝16，
∴CM＝，
∴圆C上点到直线y＝x﹣3的最小距离是 ﹣1＝，
∴△PAB面积的最小值是 ×5×＝，
故选：B．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．在△ABC内并排（不重叠）放入边长为1的小正方形纸片，第一层小纸片的一条边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点分别在AC、BC上，依次这样摆放上去，则最多能摆放（ ）个小正方形纸片．
A．14个B．15个C．16个D．17个
【分析】首先求得斜边上的高线的长度，即可确定小正方形的排数，然后确定每排的个数即可．
解：作CF⊥AB于点F．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则由勾股定理，得AB＝10
∵S△ABC＝AB•CF＝AC•BC
∴CF＝4.8．
则小正方形可以排4排．
最下边的一排小正方形的上边的边所在的直线与△ABC的边交于D、E．
∵DE∥AB，
＝，＝，
解得：DE＝整数部分是7．
则最下边一排是7个正方形．
第二排正方形的上边的边所在的直线与△ABC的边交于G、H．
＝，
解得GH＝整数部分是5，
则第二排是5个正方形；
同理：第三排是：3个；
第四排是：1个．
则正方形的个数是：7+5+3+1＝16．
故选：C．
二、填空题（本大题有3个小题，共11分。17小题3分，18～19小题各有2个空，每空2分）
17．已知函数y＝（m﹣1）是反比例函数，则m的值为 ﹣1 ．
【分析】根据反比例函数的定义，即y＝（k≠0），只需令m2﹣2＝﹣1且m﹣1≠0即可．
解：根据题意m2﹣2＝﹣1，
∴m＝±1，
又m﹣1≠0，m≠1，
所以m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
18．如图，高为6m的电线杆的顶上有一盏路灯，电线杆底部为A，身高1.5m的男孩站在与点A相距6m的点B处，若男孩以6m为半径绕电线杆走一圈，则他在路灯下的影子BC＝ 2 m；BC扫过的面积为 28π m2．
【分析】根据△CBD∽△CAE，即可得到CB＝2，AC＝8，再根据男孩以6m为半径绕电线杆走一圈，即可得出他在路灯下的影子BC扫过的面积．
解：如图所示，
∵AE∥BD，
∴△CBD∽△CAE，
∴，即＝，
解得CB＝2，
∴AC＝8，
∴男孩以6m为半径绕电线杆走一圈，他在路灯下的影子BC扫过的面积为π×82﹣π×62＝28πm2．
故答案为：2，28π．
19．已知，根据图1的y与x的关系，得到图2平面直角坐标系xOy中的射线CA和射线CB．若点P（0，t）（0＜t＜4）是y轴上一点，过点P作MN∥x轴交CA，CB于点M，N，连结OM，ON，则的比值为 4 ，△MON的面积最大值为 5 ．
【分析】由图1可得直线CA，CB的表达式，求出点A和点B的坐标，进而求出OA和OB的长；由MN∥x轴可得，MP：AO＝CP：CO＝NP：OB，即MP：NP＝AO：OB＝4；设点P的纵坐标为t，则可表达点M和点N的坐标，进而可表达MN的长，表达△MON的面积，再根据二次函数最值问题求解即可．
解：由图1可知，直线CA：y＝x+4（x≤0）；直线CB：y＝﹣2x+4（x＞0），
∴A（8，0），B（2，0），
∴OA＝8，OB＝2，
∵MN∥x轴，
∴MP：AO＝CP：CO＝NP：OB，
∴MP：NP＝AO：OB＝8：2＝4；
∵点P（0，t）（0＜t＜4），
∴M（2t﹣8，t），N（﹣t+2，t），
∴OP＝t，MN＝（﹣t+2）﹣（2t﹣8）＝﹣t+10，
∴S△MON＝•OP•MN
＝t•（﹣t+10）
＝﹣（t﹣2）2+5，
∴当t＝2时，S△MON有最大值5．
故答案为：4；5．
三、解答题（本大题有7个小题，共67分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。
20．（1）计算：（3﹣π）0﹣2sin60°+|1﹣|+（）﹣1．
（2）解方程：3x（x﹣1）＝x﹣1．
【分析】（1）先计算零指数幂、代入三角函数值、去绝对值符号、计算负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
解：（1）原式＝1﹣2×+﹣1+2
＝1﹣+﹣1+2
＝2；
（2）∵3x（x﹣1）＝x﹣1，
∴3x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0，
则（x﹣1）（3x﹣1）＝0，
∴x﹣1＝0或3x﹣1＝0，
解得x1＝1，x2＝．
21．如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长为1个单位长度，题中所给各点均在格点上．
（1）以图中的点O为位似中心，将△ABC作位似变换，且放大到原来的2倍，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．
（2）连接CO，AO．完成下面填空：
①＝ 4 ，tan∠ACO＝ ，sin∠BCO＝ ．
②现有一个三边长分别为1，2，x的三角形与△OAC相似，则x＝ ．
【分析】（1）根据位似中心的性质，可得出点A、B、C的对应点；
（2）利用相似三角形的性质和三角函数的定义可得答案；
（3）根据相似三角形的性质，知对应边成比例可求出x的值．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，
①∵△A1B1C1∽△ABC，且相似比为2，
∴，
由图可得，tan，
∵BC＝＝，
∴sin，
故答案为：4，，；
②∵AO＝，CO＝4，AC＝，
由题可知，，
∴x＝，
故答案为：．
22．近几年“密室逃脱俱乐部”风靡全球．如图是俱乐部的通路俯视图，小明进入入口后，任选一条通道．
（1）他进A密室或B密室的可能性哪个大？请说明理由（利用树状图或列表来求解）；
（2）求小明从中间通道进入A密室的概率．
【分析】（1）此题可以采用树状图法求解．一共有6种情况，其中进入A密室的有2种可能，进入B密室的有4种可能，所以进入B密室的可能性较大；
（2）根据（1）中的树形图即可求出小明从中间通道进入A密室的概率．
解：（1）画出树状图得：
∴由表可知，小明进入游区后一共有6种不同的可能路线，因为小明是任选一条道路，所以走各种路线的可能性认为是相等的，而其中进入A密室的有2种可能，进入B密室的有4种可能，所以进入B密室的可能性较大；
（2）由（1）可知小明进入A园区的通道分别是中入口和右入口，因此从中间通道进入A园区的概率为
．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，半径为2的⊙O分别与AC、BC相切于点E、F．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OE，OF，过点O作OD⊥AB于点D，证明OD＝OF，即可得结论；
（2）将不规则图形转化为规则图形间的换算．
【解答】（1）证明：连接OE，OF，AC，过点O作OD⊥AB于点D，
∵半径为2的⊙O分别与AC、BC相切于点E、F．
∴OF＝OE＝2，∠OEC＝∠OFC＝90°，
∵S△AOC+S△BOC+S△AOB＝S△ABC，
∴AC•OE+BC•OF+AB•OD＝AC•BC，
∴OD＝2，
∵OD⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）∵BC、AC与圆分别相切于点F、点E，
∴OF⊥BC，OE⊥AC，
∴四边形OECF是正方形，
∴OE＝OF＝EC＝FC＝OD＝2，∠EOF＝90°，
∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝＝13，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠EOA＝∠DOA，∠FOB＝∠DOB，
∴∠AOB＝（360°﹣90°）＝135°，
∴S阴影＝S△AOB﹣S扇形
＝13×2﹣
＝13﹣．
故图中阴影部分的面积是：13﹣．
24．图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关．图2是其俯视简化示意图，已知轨道AB＝120cm，两扇活页门的宽OC＝OB＝60cm，点B固定，当点C在AB上左右运动时，OC与OB的长度不变．（所有的结果保留小数点后一位）
（1）若∠OBC＝50°，求AC的长；
（2）当点C从点A向右运动60cm时，求点O在此过程中运动的路径长．
参考数据：sin50°≈0.77．cs50°≈0.64，tan50°≈1.19，π取3.14．
【分析】（1）作OH⊥BC于H，如图2，利用等腰三角形的性质得BH＝CH，在Rt△OBH中利用余弦定义计算出BH，从而得到BC的长，然后计算AB﹣BC即可；
（2）先判断△OBC为等边三角形得到∠OBC＝60°，再根据圆的定义得到点O在此过程中运动路径是以B点为圆心，BO为半径，圆心角为60°的弧，然后根据弧长公式计算即可．
解：（1）作OH⊥BC于H，如图2，
∵OB＝OC，
∴BH＝CH，
在Rt△OBH中，∵cs∠OBH＝，
∴BH＝60•cs50°＝60×0.64＝38.4（cm），
∴BC＝2BH＝2×38.4＝76.8（cm），
∴AC＝AB﹣BC＝120﹣76.8＝43.2（cm）．
答：AC的长为43.2cm；
（2）∵OB＝OC＝60，
而BC＝60，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠OBC＝60°，
∴当点C从点A向右运动60cm时，点O在此过程中运动路径是以B点为圆心，BO为半径，圆心角为60°的弧，
∴点O在此过程中运动的路径长＝＝20π≈62.8（cm）．
25．在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20m，宽10m的场地进行布置，设计方案如图所示．阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m，不大于8m．设出口长均为x（m），活动区面积为y（m2）．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？
（3）若活动区布置成本为10元/m2，绿化区布置成本为8元/m2，布置场地的预算不超过1850元，当x为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．
【分析】（1）根据活动区域的面积等于矩形的面积减去绿化区的面积，可得y与x的关系式；
（2）根据二次函数的增减性可得结论；
（3）根据列方程即可得到结论．
解：（1）根据题意得：y＝20×10﹣4××
＝200﹣（20﹣x）（10﹣x）
＝200﹣200+30x﹣x2
＝﹣x2+30x，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣x2+30x（4≤x≤8）；
（2）由（1）知：y＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣15）2+225，
∵﹣1＜0，
∵当x＜15时，y随x的增大而增大，
∵4≤x≤8，
∴当x＝8时，y有最大值，最大值为176，
∴当x取8m时，活动区面积最大，最大面积是176m2；
（3）设布置场地所用费用为w元，
则w＝10（﹣x2+30x）+8[200﹣（﹣x2+30x）]
＝﹣10x2+300x+1600+8x2﹣240x
＝﹣2x2+60x+1600，
令w＝1850，
﹣2x2+60x+1600＝1850，
解得：x＝25或x＝5，
∵4≤x≤8，
∴4≤x≤5，
∵活动区域面积为y＝﹣x2+30x，﹣1＜0，对称轴为直线x＝15，
∴当x＝5时，活动区面积最大，此时的布置成本为1850元．
26．如图1，△ABC为等边三角形，AB＝20，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合），且∠ADE＝∠B，交AC边于点E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）如图2，当D运动到BC的中点时，求线段CE的值；
（3）如图3，在（2）的基础上，点P为AD上一动点（点P不与点A，D重合），连接CP，将线段CP绕点C逆时针旋转60°得到CP′，连接BP′．
①∠CBP′的度数是定值吗？为什么？
②直接写出DP′的最小值．
【分析】（1）利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得到∠BAD＝∠CDG，再利用两角相等的三角形相似求解．
（2）利用前面所得的三角形相似，由对应边成比例，可求得x的值．
（3）①根据旋转的性质，旋转前后的图形对应线段、对应角相等，可证得△ACP≌△BCP′，从而∠CAP＝∠CBP′，然后根据等腰三角形的“三线合一”性质，得到∠CBP′＝30°．
②根据“垂线段最短”这一定理，当∠BP′D＝90°时，DP′最短．
解：（1）∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠CDE，
∴∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，
∵∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠CDG，
∵∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCG；
（2）∵△ABC是等边三角形，点D是BC中点，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝10，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠CDE＝30°，
∵∠C＝60°，
∴∠DEC＝90°，
∴CE＝CD＝5；
（3）①∠CBP′的度数是定值，
理由：由旋转知∠PCP′＝60°，CP＝CP′
∵△ABC是等边三角形．
∴AC＝BC，∠ACB＝60°．
∴∠ACP＝∠BCP′，
∴△ACP≌△BCP′（SAS），
∴∠CBP′＝∠CAD＝30°；
②如图3，
根据“垂线段最短”可知，当DP′⊥BP′时，DP′最短．
∵∠CBP′＝30°，
∴DP′＝BD＝5，
即DP′的最小值是5．
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