天津市和平区2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）

这是一份天津市和平区2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，4B．3，6，11C．4，6，10D．5，8，14
3．将0.000000301用科学记数法表示应为（ ）
A．3.01×10﹣10B．3.01×10﹣7C．301×10﹣7D．301×10﹣9
4．下列计算正确的是（ ）
A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2B．（﹣3a﹣2）（3a﹣2）＝9a2﹣4
C．（a+2）2＝a2+2a+4D．（a﹣8）（a﹣1）＝a2﹣9a+8
5．下列计算正确的是（ ）
A．x10÷x2＝x5
B．（x3）2÷（x2）3＝x
C．（15x2y﹣10xy2）÷5xy＝3x﹣2y
D．（12x3﹣6x2+3x）÷3x＝4x2﹣2x
6．如图，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠C，BD＝DCB．BD＝DC，AB＝AC
C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CADD．∠ADB＝∠ADC，BD＝DC
7．下列计算错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．（a﹣2b2）•（a2b﹣2）﹣3＝
8．如图①，已知∠AOB，用直尺和圆规作∠AOB的平分线．
如图②，步骤如下：
第一步，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
第二步，分别以点M，N为圆心，a的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
第三步，画射线OC．射线OC即为所求．
下列说法正确的是（ ）
A．a＞0B．C．D．
9．如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点P，则下列结论正确的是（ ）
A．BP平分∠APCB．BP平分∠ABCC．BA＝BCD．PA＝PC
10．已知abc≠0且a+b+c＝0，则a（）+b（）+c（）的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．﹣3
11．有一块边长为x米的正方形空地，计划按如图所示的方式去种植草皮（图中阴影部分种植草皮）．方式一，如图①，在正方形空地上留两条宽为2a米的互相垂直的路；方式二，如图②，在正方形空地四周各留一块边长为a米的小正方形空地种植树木，现准备用5000元购进草皮．关于哪种方式种植草皮的单价高以及较高的单价是较低的单价的多少倍，正确的说法是（ ）
A．用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍
B．用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍
C．用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍
D．用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍
12．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN的度数为（ ）
A．15°B．22.5°C．30°D．47.5°
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．当x 时，分式有意义．
14．计算：24x2y÷（﹣6xy）＝ ．
15．一个n边形内角和等于1260°，则边数n为 ．
16．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝12，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝14，则AC的长为 ．
17．（1）已知x+y＝4，xy＝3，则x2+y2的值为 ．
（2）已知（x+y）2＝25，x2+y2＝17，则（x﹣y）2的值为 ．
（3）已知x满足（x﹣2020）2+（2022﹣x）2＝12，则（x﹣2021）2的值为 ．
18．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M、P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM．下列结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC．其中结论正确的是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共46分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（1）先化简，再求值x（x﹣1）+2x（x+1），其中x＝1；
（2）计算：（2x+y﹣6）（2x﹣y+6）．
20．计算：
（1）；
（2）．
21．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌△CFE．
22．为抗击新冠肺炎疫情，某公司承担生产8800万个口罩的任务，该公司有A，B两个生产口罩的车间，A车间每天生产的口罩数量是B车间的1.2倍，A，B两车间共同生产一半后，A车间被抽调生产其他急需用品，剩下的全部由B车间单独完成，结果前后共用16天完成．
（1）求A、B两车间每天分别能生产口罩多少万个？
（2）如果A车间每生产1万个口罩可创造利润1.5万元，B车间每生产1万个口罩可创造利润1.2万元，求生产这批口罩该公司共创造利润多少万元？
23．因式分解：
（1）2x3﹣8x；
（2）（x+3y）2﹣12xy
24．已知等边△ABC．
（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝15°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上的两个动点不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM，依题意将图2补全；连接CM，试探究∠PAC和∠PMC的大小关系，并说明理由．
25．已知∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D．
（1）如图①，求证∠BCD＝∠A；
（2）如图②，E为边BC上一点，且CE＝CA，点F是线段CD延长线上一点，连接EF，交AB于点G，若DF＝DG，
①求∠EGB的大小；
②求证FD＝AD．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，4B．3，6，11C．4，6，10D．5，8，14
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
解：A、2+3＞4，能组成三角形；
B、3+6＜11，不能组成三角形；
C、4+6＝10，不能组成三角形；
D、5+8＜14，不能够组成三角形．
故选：A．
3．将0.000000301用科学记数法表示应为（ ）
A．3.01×10﹣10B．3.01×10﹣7C．301×10﹣7D．301×10﹣9
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：0.000000301＝3.01×10﹣7．
故选：B．
4．下列计算正确的是（ ）
A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2B．（﹣3a﹣2）（3a﹣2）＝9a2﹣4
C．（a+2）2＝a2+2a+4D．（a﹣8）（a﹣1）＝a2﹣9a+8
【分析】直接利用平方差公式以及完全平方公式、多项式乘多项式分别计算，进而判断得出答案．
解：A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故此选项不合题意；
B．（﹣3a﹣2）（3a﹣2）＝4﹣9a2，故此选项不合题意；
C．（a+2）2＝a2+4a+4，故此选项不合题意；
D．（a﹣8）（a﹣1）＝a2﹣9a+8，故此选项符合题意．
故选：D．
5．下列计算正确的是（ ）
A．x10÷x2＝x5
B．（x3）2÷（x2）3＝x
C．（15x2y﹣10xy2）÷5xy＝3x﹣2y
D．（12x3﹣6x2+3x）÷3x＝4x2﹣2x
【分析】根据整式的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法运算法则进行计算即可．
解：A．x10÷x2＝x8，故A不符合题意；
B．（x3）2÷（x2）3＝1，故B不符合题意；
C．（15x2y﹣10xy2）÷5xy＝3x﹣2y，故C符合题意；
D．（12x3﹣6x2+3x）÷3x＝4x2﹣2x+1，故D不符合题意；
故选：C．
6．如图，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠C，BD＝DCB．BD＝DC，AB＝AC
C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CADD．∠ADB＝∠ADC，BD＝DC
【分析】根据全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS分别进行分析即可．
解：A、∠B＝∠C，BD＝CD，再加公共边AD＝AD不能判定△ABD≌△ACD，故此选项符合题意；
B、BD＝DC，AB＝AC，再加公共边AD＝AD可利用SSS定理进行判定，故此选项不合题意；
C、∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD再加公共边AD＝AD可利用AAS定理进行判定，故此选项不合题意；
D、∠ADB＝∠ADC，BD＝DC再加公共边AD＝AD可利用SAS定理进行判定，故此选项不合题意；
故选：A．
7．下列计算错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．（a﹣2b2）•（a2b﹣2）﹣3＝
【分析】根据分式的乘除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，单项式乘单项式，负整数指数幂的运算法则进行计算即可．
解：A．a﹣2÷a5＝a﹣7＝，故A不符合题意；
B．（a﹣1b2）3＝a﹣3b6＝，故B不符合题意；
C．（）﹣2＝＝，故C符合题意；
D．（a﹣2b2）•（a2b﹣2）﹣3＝（a﹣2b2）•a﹣6b6＝a﹣8b8＝，故D不符合题意；
故选：C．
8．如图①，已知∠AOB，用直尺和圆规作∠AOB的平分线．
如图②，步骤如下：
第一步，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
第二步，分别以点M，N为圆心，a的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
第三步，画射线OC．射线OC即为所求．
下列说法正确的是（ ）
A．a＞0B．C．D．
【分析】根据基本作图（作一个角的平分线）进行判断．
解：第二步，分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
故选：D．
9．如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点P，则下列结论正确的是（ ）
A．BP平分∠APCB．BP平分∠ABCC．BA＝BCD．PA＝PC
【分析】过点P作PD⊥AB于D，作PE⊥BC于E，作PF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得到PD＝PE＝PF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出BP平分∠ABC．
解：如图，过点P作PD⊥AB于D，作PE⊥BC于E，作PF⊥AC于F，
∵△ABC的两个外角平分线相交于点P，
∴PD＝PE＝PF，
∴BP平分∠ABC．
故选：B．
10．已知abc≠0且a+b+c＝0，则a（）+b（）+c（）的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．﹣3
【分析】先利用乘法的分配律得到原式＝+++++，再把同分母相加，然后根据abc≠0且a+b+c＝0得到a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，a+b＝﹣c，把它们代入即可得到原式的值．
解：原式＝+++++
＝++
∵abc≠0且a+b+c＝0，
∴a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，a+b＝﹣c，
∴原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3．
故选：D．
11．有一块边长为x米的正方形空地，计划按如图所示的方式去种植草皮（图中阴影部分种植草皮）．方式一，如图①，在正方形空地上留两条宽为2a米的互相垂直的路；方式二，如图②，在正方形空地四周各留一块边长为a米的小正方形空地种植树木，现准备用5000元购进草皮．关于哪种方式种植草皮的单价高以及较高的单价是较低的单价的多少倍，正确的说法是（ ）
A．用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍
B．用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍
C．用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍
D．用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍
【分析】先求出每种方式草皮的面积，再5000元除以面积，即可得出答案；列出算式两种草皮单价之比为：，再求出即可．
解：方式一种植草皮每平方米的单价是5000÷[x2﹣2ax﹣2ax+（2a）2]＝（元）；
方式二种植草皮每平方米的单价是5000÷（x2﹣4a2）＝＝（元），
∵x+2a＞x﹣2a，
∴＞，
∴用方式一比用方式二种植草皮的单价高，
两种草皮单价之比为：
＝•
＝，
故选：A．
12．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN的度数为（ ）
A．15°B．22.5°C．30°D．47.5°
【分析】如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．证明△ABM≌△CHN（SAS），推出BM＝HN，由BN+HN≥BH，可知B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，求出此时∠MBN即可解决问题．
解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，
∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，
∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，
∴△ABM≌△CHN（SAS），
∴BM＝HN，
∵BN+HN≥BH，
∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，
如图2中，当B，N，H共线时，
∵△ABM≌△CHN，
∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，
∵∠ABD＝60°，
∴∠DBM＝15°，
∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，
∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．当x ≠1 时，分式有意义．
【分析】分式有意义的条件为1﹣x≠0，即可解得x的范围．
解：要使分式有意义，
则1﹣x≠0，
解得x≠1．
故答案为≠1．
14．计算：24x2y÷（﹣6xy）＝ ﹣4x ．
【分析】根据整式的除法运算法则进行计算即可．
解：24x2y÷（﹣6xy）＝﹣4x，
故答案为：﹣4x．
15．一个n边形内角和等于1260°，则边数n为 9 ．
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，列方程可求解．
解：设所求多边形边数为n，
则（n﹣2）•180°＝1260°，
解得n＝9．
故答案为：9．
16．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝12，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝14，则AC的长为 20 ．
【分析】根据等边三角形的性质得到AC＝BC，∠B＝60°，作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，则此时，EP+PF的值最小，根据直角三角形的性质得到BG＝2BF＝28，求得EG＝16，于是得到结论．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠B＝60°，
作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，
则此时，EP+PF的值最小，
∵∠B＝60°，∠BFG＝90°，
∴∠G＝30°，
∵BF＝14，
∴BG＝2BF＝28，
∵BE＝12，
∴EG＝16，
∵CE＝CG＝8，
∴AC＝BC＝20，
故答案为：20．
17．（1）已知x+y＝4，xy＝3，则x2+y2的值为 10 ．
（2）已知（x+y）2＝25，x2+y2＝17，则（x﹣y）2的值为 9 ．
（3）已知x满足（x﹣2020）2+（2022﹣x）2＝12，则（x﹣2021）2的值为 5 ．
【分析】（1）根据完全平方公式（x+y）2＝x2+2xy+y2，把原式变形后求值；
（2）先求出xy，再根据完全平方公式变形后求值；
（3）先变形为[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝12，然后利用完全平方公式展开即可得到（x﹣2021）2的值．
解：（1）∵x+y＝4，xy＝3，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝16﹣6＝10．
故答案为：10；
（2）∵（x+y）2＝25，x2+y2＝17，
∴x2+y2+2xy﹣（x2+y2）＝8，
∴xy＝4，
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝17﹣8＝9．
故答案为：9；
（3）∵（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝12，
∴[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝12，
∴（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝12，
∴（x﹣2021）2＝5．
故答案为：5．
18．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M、P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM．下列结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC．其中结论正确的是 ①②③④ ．
【分析】由等边三角形的性质得出AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，得出∠ABE＝∠DBC，由SAS即可证出△ABE≌△DBC；由△ABE≌△DBC，得出∠BAE＝∠BDC，根据三角形外角的性质得出∠DMA＝60°；由ASA证明△ABP≌△DBQ，得出对应边相等BP＝BQ，即可得出△BPQ为等边三角形；由△ABE≌△DBC得到△ABE和△DBC面积等，且AE＝CD，从而证得点B到AE、CD的距离相等，利用角平分线判定定理得到点B在角平分线上．
解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，
∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，
∴∠ABE＝∠DBC，∠PBQ＝60°，
在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴①正确；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE＝∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠DMA＝∠BAE+∠BCD＝∠BDC+∠BCD＝60°，
∴②正确；
在△ABP和△DBQ中，
，
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP＝BQ，
∴△BPQ为等边三角形，
∴③正确；
∵△ABE≌△DBC
∴AE＝CD，S△ABE＝S△DBC，
∴点B到AE、CD的距离相等，
∴B点在∠AMC的平分线上，
即MB平分∠AMC；
∴④正确；
故答案为①②③④．
三、解答题（本大题共7小题，共46分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（1）先化简，再求值x（x﹣1）+2x（x+1），其中x＝1；
（2）计算：（2x+y﹣6）（2x﹣y+6）．
【分析】（1）先根据整式的加减运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
（2）根据平方差公式以及完全平方公式即可求出答案．
解：（1）原式＝x2﹣x+2x2+2x
＝3x2+x，
当x＝1时，
原式＝3×1+1
＝4．
（2）原式＝[2x+（y﹣6）][2x﹣（y﹣6）]
＝4x2﹣（y﹣6）2
＝4x2﹣（y2﹣12y+36）
＝4x2﹣y2+12y﹣36．
20．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先因式分解，再化简即可；
（2）通分，合并同类项后即可求解．
解：（1）
＝•
＝；
（2）
＝
＝．
21．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌△CFE．
【分析】利用AAS证明：△ADE≌CFE．
【解答】证明：∵FC∥AB，
∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，
在△ADE与△CFE中：
∵，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
22．为抗击新冠肺炎疫情，某公司承担生产8800万个口罩的任务，该公司有A，B两个生产口罩的车间，A车间每天生产的口罩数量是B车间的1.2倍，A，B两车间共同生产一半后，A车间被抽调生产其他急需用品，剩下的全部由B车间单独完成，结果前后共用16天完成．
（1）求A、B两车间每天分别能生产口罩多少万个？
（2）如果A车间每生产1万个口罩可创造利润1.5万元，B车间每生产1万个口罩可创造利润1.2万元，求生产这批口罩该公司共创造利润多少万元？
【分析】（1）设B车间每天能生产口罩x万个，则A车间每天能生产口罩1.2x万个，根据总工程共用16天完成，列方程求解．
（2）分别求出A车间和B车间创造的利润，相加即可求解．
解：（1）设B车间每天能生产口罩x万个，则A车间每天能生产口罩1.2x万个，
由题意得+＝16，
解得：x＝400，
经检验：x＝400是原分式方程的解，且符合题意，
则1.2x＝480．
答：A车间每天能生产口罩480万个，B车间每天能生产口罩400万个．
（2）1.2×400×16+1.5×（8800﹣400×16）＝11280（万元）．
答：生产这批口罩该公司共创造利润11280万元．
23．因式分解：
（1）2x3﹣8x；
（2）（x+3y）2﹣12xy
【分析】（1）首先提公因式2x，再利用平方差进行分解即可；
（2）首先利用完全平方公式进行计算，然后再合并同类项，再利用完全平方公式进行分解即可．
解：（1）原式＝2x（x2﹣4）＝2x（x+2）（x﹣2）；
（2）原式＝x2+6xy+9y2﹣12xy，
＝x2﹣6xy+9y2，
＝（x﹣3y）2．
24．已知等边△ABC．
（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝15°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上的两个动点不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM，依题意将图2补全；连接CM，试探究∠PAC和∠PMC的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）由等腰三角形的性质和等边三角形的性质可求∠BAP＝∠CAQ＝15°，即可求解；
（2）先证△APM是等边三角形，可得AP＝PM，∠AMP＝60°，由“SAS”可证△ABP≌△ACM，可得∠AMC＝∠ABP，由外角的性质可求解．
解：（1）∵AP＝AQ，
∴∠APQ＝∠AQP，
∴∠APB＝∠AQC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAP＝∠CAQ＝15°，
∴∠AQB＝∠APQ＝∠BAP+∠B＝75°；
（2）∠PAC＝∠PMC，理由如下：
如图2，
∵AP＝AQ，
∴∠APQ＝∠AQP，
∴∠APB＝∠AQC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠BAP＝∠CAQ，
∵点Q关于直线AC的对称点为M，
∴AQ＝AM，∠QAC＝∠MAC，
∴∠MAC＝∠BAP，
∴∠BAP+∠PAC＝∠MAC+∠CAP＝60°，
∴∠PAM＝60°，
∵AP＝AQ，
∴AP＝AM，
∴△APM是等边三角形，
∴AP＝PM，∠AMP＝60°，
在△ABP和△ACM中，
，
∴△ABP≌△ACM（SAS），
∴∠AMC＝∠ABP，
∴∠AMP+∠PMC＝∠ACB+∠PAC，
∴∠PAC＝∠PMC．
25．已知∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D．
（1）如图①，求证∠BCD＝∠A；
（2）如图②，E为边BC上一点，且CE＝CA，点F是线段CD延长线上一点，连接EF，交AB于点G，若DF＝DG，
①求∠EGB的大小；
②求证FD＝AD．
【分析】（1）由余角的性质可求解；
（2）①由等腰直角三角形的性质可求解；
②由“AAS”可证△ACD≌△CHE，可得AD＝CH，CD＝HE，由等腰直角三角形的性质可得结论．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACB＝∠BDC＝90°，
∴∠A+∠B＝90°＝∠B+∠BCD，
∴∠BCD＝∠A；
（2）①∵∠FDG＝90°，DF＝DG，
∴∠EGB＝∠FGD＝∠F＝45°；
②如图，过点E作EH⊥CD于H，
∴∠ADC＝∠EHC＝90°，
在△ACD和△CHE中，
，
∴△ACD≌△CHE（AAS），
∴AD＝CH，CD＝HE，
∵∠FDG＝∠FHE＝90°，
∴DG∥HE，
∴∠FGD＝∠FEH＝45°，
∴∠F＝∠FEH，
∴FH＝HE，
∴FH＝CD，
∴CH＝FD，
∴FD＝AD．