2023届高考一轮复习讲义（理科）第四章　三角函数、解三角形 第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第四章　三角函数、解三角形 第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数学案，共16页。学案主要包含了知识梳理，习题改编等内容，欢迎下载使用。


一、知识梳理
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式：
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．
常用结论
1．一个口诀
三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2．一个结论
若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则tan α>α>sin α.
3．三角函数定义的推广
设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x).
4．象限角
5．轴线角
二、习题改编
1．(必修4P10A组T7改编)角－225°＝________弧度，这个角在第________象限．
答案：－eq \f(5π,4) 二
2．(必修4P15练习T2改编)设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cs θ－sin θ＝________．
解析：由已知并结合三角函数的定义，得sin θ＝－eq \f(3,5)，
cs θ＝eq \f(4,5)，所以2cs θ－sin θ＝2×eq \f(4,5)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝eq \f(11,5).
答案：eq \f(11,5)
3．(必修4P10A组T6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度．
答案：eq \f(π,3)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)小于90°的角是锐角．( )
(2)三角形的内角必是第一、第二象限角．( )
(3)不相等的角终边一定不相同．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ｋ))(1)终边相同的角理解出错；
(2)三角函数符号记忆不准；
(3)求三角函数值不考虑终边所在象限．
1．下列与eq \f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A．2kπ－45°(k∈Z) B．k·360°＋eq \f(9,4)π(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq \f(5π,4)(k∈Z)
解析：选C.与eq \f(9π,4)的终边相同的角可以写成2kπ＋eq \f(9π,4)(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确．故选C.
2．若sin α<0，且tan α>0，则α是第____象限角．
解析：由sin α<0知α的终边在第三、第四象限或y轴的负半轴上；由tan α>0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．
答案：三
3．已知角α的终边在直线y＝－x上，且cs α<0，则tan α＝________．
解析：如图，
由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(－x,x)＝－1.
答案：－1
象限角及终边相同的角(自主练透)
1．给出下列四个命题：
①－eq \f(3π,4)是第二象限角；
②eq \f(4π,3)是第三象限角；
③－400°是第四象限角；
④－315°是第一象限角．
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.－eq \f(3π,4)是第三象限角，故①错误；
eq \f(4π,3)＝π＋eq \f(π,3)，所以eq \f(4π,3)是第三象限角，故②正确；
－400°＝－360°－40°，所以－400°是第四象限角，故③正确；
－315°＝－360°＋45°，所以－315°是第一象限角，故④正确，故选C.
2．若角α是第二象限角，则eq \f(α,2)是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
解析：选C.因为α是第二象限角，所以eq \f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，
所以eq \f(π,4)＋kπ当k为偶数时，eq \f(α,2)是第一象限角；
当k为奇数时，eq \f(α,2)是第三象限角．
所以eq \f(α,2)是第一或第三象限角．
3．集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析：选C.当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋eq \f(π,4)≤α≤2nπ＋eq \f(π,2)，此时α表示的范围与eq \f(π,4)≤α≤eq \f(π,2)表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋eq \f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq \f(π,2)，此时α表示的范围与π＋eq \f(π,4)≤α≤π＋eq \f(π,2)表示的范围一样，故选C.
4．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．
解析：所有与45°终边相同的角可表示为：
β＝45°＋k×360°(k∈Z)，
则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，
得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)，
解得－eq \f(765,360)≤k<－eq \f(45,360)(k∈Z)，从而k＝－2和k＝－1，
代入得β＝－675°和β＝－315°.
答案：－675°和－315°
5．终边在直线y＝eq \r(3)x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．
解析：如图，
在坐标系中画出直线y＝eq \r(3)x，可以发现它与x轴的夹角是eq \f(π,3)，在[0，2π)内，终边在直线y＝eq \r(3)x上的角有两个：eq \f(π,3)，eq \f(4π,3)；
在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－eq \f(2π,3)，－eq \f(5π,3)，故满足条件的角α构成的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,3)，－\f(2π,3)，\f(π,3)，\f(4π,3))).
答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,3)，－\f(2π,3)，\f(π,3)，\f(4π,3)))
eq \a\vs4\al()
(1)终边在某直线上角的求法4步骤
①数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；
②按逆时针方向写出[0，2π]内的角；
③再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；
④求并集化简集合．
(2)判断象限角的2种方法
①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；
②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
(3)确定kα，eq \f(α,k)(k∈N*)的终边位置3步骤
①用终边相同角的形式表示出角α的范围；
②再写出kα或eq \f(α,k)的范围；
③然后根据k的可能取值讨论确定kα或eq \f(α,k)的终边所在的位置．
[提醒] 终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍；终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍．
扇形的弧长及角度公式(师生共研)
已知一扇形的圆心角为α ，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；
(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【解】 (1)α＝60°＝eq \f(π,3)rad，
所以l＝α·R＝eq \f(π,3)×10＝eq \f(10π,3)(cm)．
(2)由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2R＋Rα＝10，,\f(1,2)α·R2＝4))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(R＝1，,α＝8))(舍去)或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(R＝4，,α＝\f(1,2).))
故扇形圆心角为eq \f(1,2) rad.
(3)由已知得l＋2R＝20，
所以S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，
此时l＝10 cm，α＝2 rad.
eq \a\vs4\al()
弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
1．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )
A．2 B．sin 2
C.eq \f(2,sin 1) D．2sin 1
解析：选C.如图，
∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于点C，并延长OC交eq \(AB,\s\up8(︵))于D.
则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，
且AC＝eq \f(1,2)AB＝1，
在Rt△AOC中，
AO＝eq \f(AC,sin∠AOC)＝eq \f(1,sin 1)，即r＝eq \f(1,sin 1)，
从而eq \(AB,\s\up8(︵))的长为l＝α·r＝eq \f(2,sin 1).故选C.
2．(2020·四川乐山、峨眉山二模)
《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝eq \f(1,2)(弦×矢＋矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为eq \f(2π,3)，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为________．
解析：由题意可得∠AOB＝eq \f(2π,3)，OA＝4.在Rt△AOD中，易得∠AOD＝eq \f(π,3)，∠DAO＝eq \f(π,6)，OD＝eq \f(1,2)OA＝eq \f(1,2)×4＝2，可得矢＝4－2＝2.由AD＝AOsin eq \f(π,3)＝4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)，可得弦AB＝2AD＝4eq \r(3).所以弧田面积＝eq \f(1,2)(弦×矢＋矢2)＝eq \f(1,2)×(4eq \r(3)×2＋22)＝4eq \r(3)＋2.
答案：4eq \r(3)＋2
三角函数的定义(多维探究)
角度一 利用三角函数的定义求值
已知角α的终边上一点P(－eq \r(3)，m)(m≠0)，且sin α＝eq \f(\r(2)m,4)，求cs α，tan α的值．
【解】 设P(x，y)．由题设知x＝－eq \r(3)，y＝m，
所以r2＝|OP|2＝(－eq \r(3))2＋m2(O为原点)，r＝eq \r(3＋m2)，
所以sin α＝eq \f(m,r)＝eq \f(\r(2)m,4)＝eq \f(m,2\r(2))，
所以r＝eq \r(3＋m2)＝2eq \r(2)，3＋m2＝8，解得m＝±eq \r(5).
当m＝eq \r(5)时，r＝2eq \r(2)，x＝－eq \r(3)，y＝eq \r(5)，
所以cs α＝eq \f(－\r(3),2\r(2))＝－eq \f(\r(6),4)，tan α＝－eq \f(\r(15),3)；
当m＝－eq \r(5)时，r＝2eq \r(2)，x＝－eq \r(3)，y＝－eq \r(5)，
所以cs α＝eq \f(－\r(3),2\r(2))＝－eq \f(\r(6),4)，tan α＝eq \f(\r(15),3).
角度二 判断三角函数值的符号
(1)sin 2·cs 3·tan 4的值( )
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
(2)若sin αtan α<0，且eq \f(cs α,tan α)<0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】 (1)因为eq \f(π,2)<2<3<π<4所以sin 2>0，cs 3<0，tan 4>0.
所以sin 2·cs 3·tan 4<0，所以选A.
(2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，
则α为第二象限角或第三象限角．
由eq \f(cs α,tan α)<0可知cs α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．
【答案】 (1)A (2)C
角度三 以三角函数定义为背景的创新题
如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(eq \r(2)，－eq \r(2))，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为( )
【解析】 因为P0(eq \r(2)，－eq \r(2))，所以∠P0Ox＝－eq \f(π,4).
因为角速度为1，所以按逆时针方向旋转时间t后，得∠POP0＝t，所以∠POx＝t－eq \f(π,4).
由三角函数定义，知点P的纵坐标为2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(π,4)))，
因此d＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(π,4))))).
令t＝0，则d＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))))＝eq \r(2).
当t＝eq \f(π,4)时，d＝0，故选C.
【答案】 C
eq \a\vs4\al()
(1)用定义法求三角函数值的两种情况
①已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；
②已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．
(2)判断三角函数值符号及角位置的方法
已知一角的三角函数值(sin α，cs α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．
(3)利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤
①用边界值定出角的终边位置；
②根据不等式(组)定出角的范围；
③求交集，找单位圆中公共的部分；
④写出角的表达式．
1．(2020·江西九江一模)若sin x<0，且sin(cs x)>0，则角x是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选D.因为－1≤cs x≤1，且sin(cs x)>0，所以02．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为eq \r(2)，若α＝eq \f(π,4)，则点P的坐标为( )
A．(1，eq \r(2)) B．(eq \r(2)，1)
C．(eq \r(2)，eq \r(2)) D．(1，1)
解析：选D.设点P的坐标为(x，y)，
则由三角函数的定义得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,4)＝\f(y,\r(2))，,cs \f(π,4)＝\f(x,\r(2))，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)cs \f(π,4)＝1，,y＝\r(2)sin \f(π,4)＝1.))故点P的坐标为(1，1)．
3．已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cs α＝－eq \f(5,13)，则eq \f(1,sin α)＋eq \f(1,tan α)＝________．
解析：因为角α的终边经过点P(－x，－6)，
且cs α＝－eq \f(5,13)，
所以cs α＝eq \f(－x,\r(x2＋36))＝－eq \f(5,13)，即x＝eq \f(5,2)或x＝－eq \f(5,2)(舍去)，
所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，－6))，所以sin α＝－eq \f(12,13)，所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(12,5)，则eq \f(1,sin α)＋eq \f(1,tan α)＝－eq \f(13,12)＋eq \f(5,12)＝－eq \f(2,3).
答案：－eq \f(2,3)
[基础题组练]
1．若角α的终边经过点P(1，eq \r(3))，则cs α＋tan α的值为( )
A.eq \f(1＋2\r(3),2) B．eq \f(－1＋\r(3),2)
C.eq \f(1＋\r(3),2) D．eq \f(－1＋2\r(3),2)
解析：选A.因为角α的终边经过点P(1，eq \r(3))，则x＝1，y＝eq \r(3)，r＝|OP|＝2，所以cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(1,2)，tan α＝eq \f(y,x)＝eq \r(3)，那么cs α＋tan α＝eq \f(1＋2\r(3),2)，故选A.
2．若角α与β的终边关于x轴对称，则有( )
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z
C．α＋β＝2k·180°，k∈Z
D．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z
解析：选C.因为α与β的终边关于x轴对称，所以β＝2k·180°－α，k∈Z，所以α＋β＝2k·180°，k∈Z.
3．已知点P(tan α，cs α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B.由题意知tan α<0，cs α<0，故sin α>0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B.
4．已知点P(sin x－cs x，－3)在第三象限，则x的可能区间是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)，\f(π,4)))
解析：选D.由点P(sin x－cs x，－3)在第三象限，可得sin x－cs x<0，即sin x5．已知角α＝2kπ－eq \f(π,5)(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝eq \f(sin θ,|sin θ|)＋eq \f(cs θ,|cs θ|)＋eq \f(tan θ,|tan θ|)的值为( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
解析：选B.由α＝2kπ－eq \f(π,5)(k∈Z)及终边相同的角的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cs θ>0，tan θ<0.
所以y＝－1＋1－1＝－1.
6．已知α是第二象限角，P(x，eq \r(5))为其终边上一点，且cs α＝eq \f(\r(2),4)x，则x＝________．
解析：因为cs α＝eq \f(x,\r(x2＋5))＝eq \f(\r(2),4)x，所以x＝0或x＝eq \r(3)或x＝－eq \r(3)，又α是第二象限角，所以x＝－eq \r(3).
答案：－eq \r(3)
7．若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．
解析：设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，所以正方形边长为eq \r(2)r，所以圆心角的弧度数是eq \f(\r(2)r,r)＝eq \r(2).
答案：eq \r(2)
8．已知点P(sin θ，cs θ)是角α终边上的一点，其中θ＝eq \f(2π,3)，则与角α终边相同的最小正角为________．
解析：因为θ＝eq \f(2π,3)，故Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，故α为第四象限角且cs α＝eq \f(\r(3),2)，所以α＝2kπ＋eq \f(11π,6)，k∈Z，所以与角α终边相同的最小正角为eq \f(11π,6).
答案：eq \f(11π,6)
9．已知eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，且lg(cs α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，m))，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解：(1)由eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，得sin α<0，
由lg(cs α)有意义，可知cs α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(2)＋m2＝1，解得m＝±eq \f(4,5).
又α为第四象限角，故m<0，从而m＝－eq \f(4,5)，
sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(m,|OM|)＝eq \f(－\f(4,5),1)＝－eq \f(4,5).
10．若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)．
(1)求sin θ＋cs θ的值；
(2)试判断cs(sin θ)·sin(cs θ)的符号．
解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，
所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cs θ＝－eq \f(1,5).
当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cs θ＝eq \f(1,5).
(2)当a＞0时，sin θ＝eq \f(3,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
cs θ＝－eq \f(4,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，
则cs(sin θ)·sin(cs θ)
＝cs eq \f(3,5)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＜0；
当a＜0时，sin θ＝－eq \f(3,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，
cs θ＝eq \f(4,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
则cs(sin θ)·sin(cs θ)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))·sin eq \f(4,5)＞0.
综上，当a＞0时，cs(sin θ)·sin(cs θ)的符号为负；
当a＜0时，cs(sin θ)·sin (cs θ)的符号为正．
[综合题组练]
1．(2020·河北唐山第二次模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sin α，3)(sin α≠0)，则cs α＝( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
解析：选A.由三角函数定义得tan α＝eq \f(3,2sin α)，即eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(3,2sin α)，得3cs α＝2sin2α＝2(1－cs2α)，解得cs α＝eq \f(1,2)或cs α＝－2(舍去)．故选A.
2．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( )
A．若α，β是第一象限的角，则cs α>cs β
B．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β
C．若α，β是第三象限的角，则cs α>cs β
D．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β
解析：选D.由三角函数线可知选D.
3．如图，
在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α弧度，则eq \f(α,tan α)＝________．
解析：设扇形的半径为r，则扇形的面积为eq \f(1,2)αr2，在Rt△POB中，PB＝rtan α，则△POB的面积为eq \f(1,2)r·rtan α，由题意得eq \f(1,2)r·rtan α＝2×eq \f(1,2)αr2，所以tan α＝2α，所以eq \f(α,tan α)＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
4．已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右运动，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是________．
解析：设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，
则eq \(AQ,\s\up8(︵))＝AP＝tm，根据切线的性质知OA⊥AP，
所以S1＝eq \f(1,2)tm·r－S扇形AOB，S2＝eq \f(1,2)tm·r－S扇形AOB，
所以S1＝S2恒成立．
答案：S1＝S2
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为－eq \f(4,5)，求tan α的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
(3)若α∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．
解：(1)由题意可得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，\f(3,5)))，
根据三角函数的定义得tan α＝eq \f(y,x)＝－eq \f(3,4).
(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝eq \f(π,3)，故与角α终边相同的角β的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(β|β＝\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)).
(3)若α∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，则S扇形＝eq \f(1,2)αr2＝eq \f(1,2)α，
而S△AOB＝eq \f(1,2)×1×1×sin α＝eq \f(1,2)sin α，故弓形的面积S＝S扇形－S△AOB＝eq \f(1,2)α－eq \f(1,2)sin α，α∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3))).
6．已知sin α<0，tan α>0.
(1)求角α的集合；
(2)求eq \f(α,2)终边所在的象限；
(3)试判断tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)的符号．
解：(1)因为sin α<0且tan α>0，
所以α是第三象限角，故角α的集合为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(2kπ＋π<α<2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z)))).
(2)由(1)知2kπ＋π<α<2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，
故kπ＋eq \f(π,2)当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋eq \f(3π,2)综上，eq \f(α,2)的终边在第二或第四象限．
(3)法一：当eq \f(α,2)是第二象限角时，
tan eq \f(α,2)<0，sin eq \f(α,2)>0，cs eq \f(α,2)<0，
故tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)>0，
当eq \f(α,2)是第四象限角时，
tan eq \f(α,2)<0，sin eq \f(α,2)<0，cs eq \f(α,2)>0，
故tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)>0.
法二：tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cs \f(α,2))·sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)＝sin2 eq \f(α,2).
由于eq \f(α,2)是第二象限角或第四象限角，
所以sin2 eq \f(α,2)＞0，
综上，tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)取正号．
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(l表示弧长)
角度与弧度的换算
①1°＝eq \f(π,180)rad；②1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
弧长公式
l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2