安徽省皖南八校2020-2021学年高一下学期开学联考数学试题（含解析卷）

高一数学考试

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．

2．请将各题答案填写在答题卡上．

3．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册．

第Ⅰ卷

一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求得集合，根据集合交集的概念及运算，即可求解．

【详解】因为，所以．

故选：C

2. 已知.则下列结论错误的是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式基本性质，逐项判定，即可求解.

【详解】由，可得，

对于A中，，所以，所以A正确；

对于B中，，所以，所以B正确；

对于C中，，所以，所以C正确；

对于D中，，所以，所以D不正确.

故选：D.

3. 已知圆心角为1的扇形的面积为2，则该扇形的弧长为（　　）

A. 1 B. 2 C. 4 D. π

【答案】B

【解析】

【分析】利用扇形的面积公式求出半径，再利用弧长公式求解即可.

【详解】由，

可得，

所以.

从而可得弧长.

故选：B.

4. “且”是“”的（　　）

A. 充要条件 B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分必要条件定义判断即可得结果.

【详解】当且时，，，所以；

反之不一定成立，

如，，，满足，但不满足且.

故选：B

5. 函数定义域为（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的解析式有意义，得到，即可求解函数的定义域.

【详解】由题意，函数有意义，则满足，即

解得，

所以函数的定义域.

故选：A.

6. 函数（，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先根据图象得，进而得，再把代入函数解析式得，再结合得，故.

【详解】解：因为，所以，

解得，所以.

将点的坐标代入可得，

所以，即.

因为，所以，从而.

故选：A.

7. 定义在R上的奇函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则函数在的单调递增区间为（　　）

A.  B.

C. 和 D. 和

【答案】B

【解析】

【分析】首先利用函数是奇函数求，再利用平移规律求函数，再求函数的单调递增区间.

【详解】因为函数是奇函数，又，所以，

所以，所以

根据正弦函数的性质，

令，

解得，

又因为，所以.即函数的单调递增区间是.

故选：B

【点睛】本题考查三角函数的性质，关键是求得函数的单调递增区间，再和求交集.

8. 某引进的外来水生植物在水面的蔓延速度极快，对当地的生态造成极大的破坏.某科研部门在水域中投放一定面积的该植物研究发现，该植物在水面的覆盖面积y（单位：）与经过的时间t（单位：月.）的关系为，则该植物在水域中的面积达到刚开始投放时的1000倍需要的时间（单位：月）为（　　）

参考数据：.

A. 20 B. 22 C. 24 D. 26

【答案】C

【解析】

【分析】首先求刚开始投放的面积，再根据公式求解的值.

【详解】刚投放时的面积为，

设经过t个月该植物在水域中的面积是刚开始投放时的1000倍，

则，.

故选：C

9. 已知，且，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用平方关系以及二倍角公式求出、、与的值，再利用求解即可.

【详解】因为，所以．又因为，

所以，

从而可得，

所以

．

故选：D．

【点睛】方法点睛：三角函数求值有三类：
 

（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．

（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．

（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．

10. 已知正实数a，b，c满足，，，则（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】在同一直角坐标系中画出函数，，，的图象，结合图象的交点，即可求解.

【详解】在同一直角坐标系中画出函数，，，的图象，

如图所示，则a，b，c分别为两个函数图象交点的横坐标，

根据图象可知.

故选：A.

11. 已知函数，对任意，都有，则m的取值范围是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题知，又，故，由于时， ，故，进而得.

【详解】因为，

所以，即.

又因恒成立，所以.

因为，所以，

从而，所以.

故选：A.

【点睛】本题考查对数不等式恒成立求参数问题，考查化归转化思想，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于将问题转化为，进而求时，的取值范围问题.

12. 已知函数，若方程有三个不相等的实数解，，，则的取值范围为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】画出函数的图象可知，不妨令，则，结合图象可得，进而可得答案.

【详解】方程不相等的实数解，，，

即为图象交点横坐标，

画出函数图象可知，不妨令，

则，，，

所以，

结合图象可得，

所以，

从而可得.

故选：D.

【点睛】方法点睛：函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．

第Ⅱ卷

二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13. 已知幂函数是偶函数，则________.

【答案】

【解析】

【分析】根据函数是幂函数，且为偶函数可求得实数的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值.

【详解】因为函数为幂函数，所以，解得或.

当时，，函数为奇函数，不合题意；

当时，，函数为偶函数，所以.

故答案为：.

14. 已知函数图象的一个对称中心为，则_________．

【答案】或

【解析】

【分析】根据正切型函数的对称性可得出关于的表达式，结合的取值范围可得出的值．

【详解】由正切函数的性质可知，即，

因为，所以或．

故答案为：或．

15. 已知，，则________.（用m，n表示）

【答案】

【解析】

【分析】根据指数式与对数式的互化，以及对数的运算性质，准确运算，即可求解.

【详解】因为，，所以，，

所以，可得.

故答案为：

16. 已知定义在R上的函数满足对任意两个不等实数，，都有，且，则不等式的解集为_________.

【答案】

【解析】

【分析】不妨令，等价于，构造函数，得到函数单调递增，再利用单调性解不等式得解.

【详解】不妨令，则等价于，

构造函数，则

则是R上的增函数.

因为，所以，

即，所以，解得.

所以不等式的解集为.

故答案为：

【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键，其一是：得到，想到构造函数；其二是由得到.

三､解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．

17. 已知集合．

（1）求；

（2）若，求实数a的取值范围．

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

【分析】（1）求出，解不等式化简集合，再利用集合的并集运算即可得解；

（2）由题得，再对集合分类讨论得解.

【详解】（1），或，

，

或.

（2）因为，所以.

当时，则，解得，符合题意；

当时，则，解得.

综上，实数a的取值范围为.

【点睛】易错点睛：本题考查集合的基本运算及利用集合的包含关系求参数，研究集合的关系和运算问题时，不要忘记了空集，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

18. 已知角的终边经过点.

（1）若，求的值；

（2）求值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据三角函数的定义得，再求；（2）根据三角函数的定义求得，再利用诱导公式化简，并转化为求值.

【详解】（1）点P到坐标原点的距离.

根据三角函数的定义，可得，所以，

从而，所以.

（2）根据三角函数的定义，可得，

所以

.

19. 已知函数.

（1）判断在上的单调性，并用定义法证明；

（2）已知在上的最大值为m，若正实数a，b满足，求最小值.

【答案】（1）在上单调递增，证明见解析；（2）2.

【解析】

【分析】（1）令，作差通过运算判断符号得出结论；

（2）由（1）知函数在上单调递增，最大值为即

根据基本不等式求解即可.

【详解】（1）函数在上单调递增.

证明如下：

令，

.

因为，所以，，

所以，

所以，即，

所以函数在上单调递增.

（2）由（1）知函数在上单调递增，

所以函数在上的最大值为，

即，所以，

所以，

当且仅当时等号成立.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

20. 已知函数，，是方程的两个不相等的实根，且的最小值为.

（1）求函数的解析式；

（2）若，的值域是，求m的取值范围

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的性质，可知函数最小正周期，再根据三角函数的周期性即可求出，进而求出函数的解析式；

（2）由题意可知，又的值域是，可知，结合的图象可知，，由此即可求出结果.

【详解】（1）

.

.

因为最小值为π，

所以的最小正周期，解得，

所以函数的解析式为.

（2）由，可得，

因为的值域是，所以，

结合的图象可知，

解得，

所以m的取值范围是.

【点睛】关键点点睛：（1）因为的最小值为，所以的最小正周期，是求解函数解析式的关键；（2）根据的图像和函数的值域，求出是解决第（2）问的关键点.

21. 已知函数，.

（1）若在其定义域内单调递增，求函数的值域；

（2）当时，若关于x的方程在上有实根，求m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）由复合函数的单调性得，进而，因为，所以，故，进而得函数的值域为；

（2）当时，，进而问题转化为有实根，令，进而得为在上单调递减，故，所以，进而得.

【详解】（1）因为为增函数，又因为函数在其定义域内单调递增，

根据复合函数的单调性可得也是增函数，

所以，，

因为，所以，

所以，

所以函数的值域为.

（2）当时，，

方程有实根，即有实根.

令，

因为在上单调递减，

所以，即，

从而可得，

所以当时，关于x的方程在上有实根.

【点睛】本题考查复合函数的单调性，对数型函数的值域问题，考查化归转化思想和运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于将问题转化为方程有实根，进而讨论的取值范围即可.

22. 已知函数（且）是定义在R上的偶函数，且.

（1）求的解析式；

（2）若函数在上的最小值是1，求m的值.

【答案】（1）；（2）2.

【解析】

【分析】（1）由函数是定义在R上的偶函数，求出值，由，得出值，进而得出的解析式；

（2）由（1）可知，利用换元法得出二次函数，讨论对称轴与区间端点的关系，判断出函数单调性，进而得出最小值，求得m的值．

【详解】（1）因为函数是定义在R上的偶函数，

所以，

整理得，所以，

又因为，可得，

所以或，

所以.

（2）由（1）可知

令，则.

因为函数在上是增函数，所以，

因为函数上的最小值是1，

所以函数在上的最小值是1.

当时，，

解得或（舍去）；

当时，，不合题意，舍去.

综上，.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数的性质，考查指数函数和二次函数，解决本题的关键点是通过换元法，得到二次函数，由对称轴和区间端点的关系，分别得出单调性，进而求出最值，解出参数，考查分类讨论思想和计算能力，属于中档题．