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精品解析：重庆市七校2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版）
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这是一份精品解析：重庆市七校2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（每小题5分，共8小题，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1. 已知集合，且，则等于（ ）
A. ﹣3B. ﹣2C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合间的关系即可得到答案.
【详解】因为，所以，经验证，满足题意.
故选：B.
2. 如果点位于第一象限，那么角所在象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】由点位于第一象限可得,，即可判断所在象限.
【详解】由题,因为点位于第一象限，
所以，，
所以在第一象限,
故选：A
3. “”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用分式不等式的解法将解得或，再利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】因为，
所以 ，
所以，
即，
解得或，
所以 “”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4. 若定义在实数集上的函数满足：时，，且对任意，都有成立，则等于（ ）
A. B.
C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】由可得函数的周期为4，则，然后根据已知的解析式求解即可
【详解】因为对任意，都有成立，
所以的周期为4，
所以，
因为函数满足：时，，
所以，
故选：D
5. 已知扇形的半径为，面积为，则该扇形的圆心角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据扇形面积公式先求出弧长，进而求出圆心角的弧度.
【详解】设该扇形的弧长、半径及圆心角的弧度分别为，则r=2，扇形面积.
故选：C.
6. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据特殊值，代入检验，排除不合要求的选项即可
【详解】当x=0时，f(x)=0，排除D选项
当 时， 排除C选项
根据定义域 可排除A选项
故选B
【点睛】本题考查了根据解析式判断函数的图像，从特殊值、单调性、奇偶性等方面考虑，属于基础题．
7. 已知关于的函数在上是单调递减的函数，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性判断方法和对数函数的真数大于零可得答案.
【详解】令，则，
因为的单调递增函数，函数在上是单调递减的函数
由复合函数的单调性判断方法可得是单调递减函数，
所以，又在上是单调递减的函数，
所以，得，
故选：D.
8. 设均为正数，且，，．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】试题分析：在同一坐标系中分别画出，， 的图象，
与 的交点的横坐标为， 与的图象的交点的横坐标为 ，与 的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出．
考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．
【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．
【详解】
二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列四个函数中，以为周期的函数有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A、B：利用周期公式直接求周期；
对于C：利用周期函数的定义进行验证；
对于D：利用函数的图像判断出不是周期函数.
【详解】对于A：的最小正周期为，故A正确；
对于B：的最小正周期为，故B正确；
对于C：对于，因为，所以为函数的周期，故C正确；
对于D：由的图像为：
得到的图像为：
所以不是周期函数，故D错误.
故选：AC
10. 下列函数中，最小值为4的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A，利用基本不等式分析判断即可，对于B，举例判断，对于CD，利用基本不等式分析判断
【详解】对于A，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4，所以A正确，
对于B，当时，，所以B错误，
对于C，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，而，所以不成立，所以取不到等号，所以的最小值不是4，所以C错误，
对于D，由题意得，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4，所以D正确，
故选：AD
11. 下列各式正确的是（ ）
A. 设，则
B. 已知，则
C. 若，，则
D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据指数的运算法则可以判断A,B，根据对数的运算法并结合换底公式可以判断C,D.
【详解】，A正确；
，B正确；
，，则，C正确；
，D错误.
故选：ABC.
12. 定义：若对于定义域内任意x，总存在正常数a，使得恒成立，则称函数为“a距”增函数，以下判断正确的有（ ）
A. 函数是“a距”增函数
B. 函数是“1距”增函数
C. 若函数是“a距”增函数，则a的取值范围是
D. 若函数是“2距”增函数，则k的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据“距”增函数的定义，对各项进行分析即可．
【详解】对于A，，
当时，，所以是“距“增函数，故A正确；
对于B，对任意，，
因为，所以，
所以，即是“1距”增函数，故B正确；
对于C，
，
因为是“距”增函数，所以恒成立，
因为，所以，
所以，
解得，
因为，所以，故C错误；
对于D，是“2距“增函数，
则在时恒成立，
变形可得，
即在时恒成立，
当时，，化简得，
所以，
当时，，化简得，
综上可知，的范围是，故D正确，
故选：ABD
三、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）
13. 函数的定义域为__________.
【答案】(0,2
【解析】
详解】要使函数有意义,则
得014. 已知角终边上一点的坐标为，则=_______
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数定义可得,将点坐标代入即可求解
【详解】由题,
故答案为：
15. 若正数x，y满足xy＝x+y+3，则xy的取值范围是_______
【答案】
【解析】
【分析】利用均值不等式、一元二次不等式可得答案.
【详解】因为，
由均值不等式得：，
即，解得，
.
故答案为：.
16. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是_________
【答案】
【解析】
【分析】可由题意，根据对数函数的定义域和单调性确定其范围，要满足值域为，指数函数的值域也就确定了，然后把指数部分的二次三项式重新设函数，通过分类讨论去求解对应的取值范围.
【详解】函数，所以当时，，
所以时，得取遍所有大于1的数，故其指数得取遍所有大于0的数.
因为，，
当时，不成立；
当时，其开口向下，有最大值，无法去到正无穷，舍去；
当时，其开口向上，对称轴大于0，故需对称轴对应的值小于等于0，故有：且
，综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】二次三项式在进行讨论的时候要首先考虑二次项系数为0的情况，然后根据题意，去讨论开口或者讨论.
四、解答题（共6小题，共70分.17题10分，18-20每小题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知全集，集合，．
（1）当时，求；
（2）如果，求实数的取值范围．
【答案】（1）＝{x|x＜3或x≥4}
（2）（﹣∞，2）
【解析】
【分析】(1)根据一元二次不等式的解法求出集合A，根据不等式的性质求出集合B，结合集合交并补的运算即可得出结果；
(2)将A∪B＝A转化为B⊆A，分类讨论B＝∅和B≠∅时的情况，列出对应的不等式(组)，解之即可.
【小问1详解】
A＝{x|0＜x＜4}，m＝3时，B＝{x|3≤x≤7}.
∴A∩B＝{x|3≤x＜4}，且U＝R.
∴（A∩B）＝{x|x＜3或x≥4}.
【小问2详解】
∵A∪B＝A，∴B⊆A.
①B＝∅时，m＞3m﹣2，解得m＜1
②B≠∅时，，解得1≤m＜2.
综上，实数m的取值范围为（﹣∞，2）
18. 已知是第三象限角，且
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由的值求出的值，然后利用诱导公式对化简计算即可，
（2）先利用二倍角公式求出的值，然后利用两角和的正弦公式求解即可
【小问1详解】
由是第三象限角，且得.
原式=..
【小问2详解】
因为
所以
.
19. 已知函数的最小正周期为．
（1）求的单调递减区间；
（2）求函数在区间上的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据诱导公式、二倍角和辅助角公式可整理得到；
根据可求得，进而得出，结合正弦函数的单调性即可得出结果；
（2）利用的范围求得的范围，利用正弦函数的单调性即可求得的范围，代入可求得的取值范围.
【小问1详解】
函数的最小正周期为，得到=1．则
由，得到
故的递减区间为..
【小问2详解】
因为，
所以，
因此，即的取值范围为.
20. 某企业常年生产一种出口产品，最近几年以来，该产品的产量平稳增长．记2018年为第一年，且前4年中，第年与年产量（单位：万件）之间的关系如表所示：
若近似符合以下三种函数模型之一：，，．
（1）写出你认为最适合的函数模型（不用说明理由），然后选取表中你认为最适合的数据并求出相应的解析式；
（2）因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2023年的年产量比预计减少30%，根据所建立的函数模型，确定2023年的年产量．
【答案】（1）选，；
（2）135.1万件.
【解析】
【分析】（1）根据表格的变化趋势结合三种函数模型即可选择函数，进而求出函数的解析式；
（2）由（1）求出不影响的产量，进而求出影响后的产量.
【小问1详解】
选，代入数据（1，7）和（3，25）可得，
故.
理由如下：从表格可以判断函数为增函数，所以排除；若选，代入数据（1，7）和（3，25）可得：，则，则，这与49.13相差太远.
【小问2详解】
2023年对应x＝6，因此预计2023年产量约为（万件），受影响后实际年产量约为193×（1﹣30%）＝135.1（万件），故2023年的年产量约为135.1（万件）.
21. 已知函数
（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）当时，解关于x的不等式．
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）由题设可得，即可求a取值范围；
（2）讨论的大小关系，求一元二次不等式的解集即可.
【小问1详解】
由题设，令，由的定义域为R，
∴，可得.
∴a的取值范围为.
【小问2详解】
由题意，，
当，即时，解集为；
当，即时，解集为；
当，即时，解集为；
22. 已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）若函数，讨论函数的零点个数．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由已知得函数为上单调递减函数，将所求不等式转化为，代入利用对数函数的性质可得，解不等式可得解；
（2）令，则，分类讨论，，，时，t分别对应的零点个数，进而得解.
【小问1详解】
由，可得，故函数定义域为，关于原点对称，
又，即为奇函数.
又
利用复合函数的单调性质知，当时，为单调递减函数，
可知在上单调递减，且的值域为R，
不等式，转化为
则，即，即
即，解得，
则原不等式的解集为.
【小问2详解】
由，得，令
令，则，作出图象，
当时，如图①，只有一个，对应3个零点；
当时，如图②，只有一个，对应1个零点；
当时，如图③，只有一个，对应1个零点；
当时，，此时，，，
由，
得在，，三个t分别对应一个零点，共3个，
在时，，三个t分别对应1个，1个，3个零点，共5个，
综上所述：当或时，只有1个零点
当或时，有3个零点..
当时，有5个零点.
① ② ③
【点睛】方法点睛：本题考查函数的单调性、奇偶性及含参不等式的解法，要设法把隐性转化为显性，方法是：
（1）把不等式转化为的模型；
（2）判断的单调性，再根据函数的单调性将“”脱掉，得到具体的不等式组来求解，但注意奇偶函数的区别.年份
2018年
2019年
2020年
2021年
x
1
2
3
4
f（x）
7
12.78
25
49.13
一、单项选择题（每小题5分，共8小题，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1. 已知集合，且，则等于（ ）
A. ﹣3B. ﹣2C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合间的关系即可得到答案.
【详解】因为，所以，经验证，满足题意.
故选：B.
2. 如果点位于第一象限，那么角所在象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】由点位于第一象限可得,，即可判断所在象限.
【详解】由题,因为点位于第一象限，
所以，，
所以在第一象限,
故选：A
3. “”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用分式不等式的解法将解得或，再利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】因为，
所以 ，
所以，
即，
解得或，
所以 “”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4. 若定义在实数集上的函数满足：时，，且对任意，都有成立，则等于（ ）
A. B.
C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】由可得函数的周期为4，则，然后根据已知的解析式求解即可
【详解】因为对任意，都有成立，
所以的周期为4，
所以，
因为函数满足：时，，
所以，
故选：D
5. 已知扇形的半径为，面积为，则该扇形的圆心角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据扇形面积公式先求出弧长，进而求出圆心角的弧度.
【详解】设该扇形的弧长、半径及圆心角的弧度分别为，则r=2，扇形面积.
故选：C.
6. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据特殊值，代入检验，排除不合要求的选项即可
【详解】当x=0时，f(x)=0，排除D选项
当 时， 排除C选项
根据定义域 可排除A选项
故选B
【点睛】本题考查了根据解析式判断函数的图像，从特殊值、单调性、奇偶性等方面考虑，属于基础题．
7. 已知关于的函数在上是单调递减的函数，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性判断方法和对数函数的真数大于零可得答案.
【详解】令，则，
因为的单调递增函数，函数在上是单调递减的函数
由复合函数的单调性判断方法可得是单调递减函数，
所以，又在上是单调递减的函数，
所以，得，
故选：D.
8. 设均为正数，且，，．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】试题分析：在同一坐标系中分别画出，， 的图象，
与 的交点的横坐标为， 与的图象的交点的横坐标为 ，与 的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出．
考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．
【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．
【详解】
二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列四个函数中，以为周期的函数有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A、B：利用周期公式直接求周期；
对于C：利用周期函数的定义进行验证；
对于D：利用函数的图像判断出不是周期函数.
【详解】对于A：的最小正周期为，故A正确；
对于B：的最小正周期为，故B正确；
对于C：对于，因为，所以为函数的周期，故C正确；
对于D：由的图像为：
得到的图像为：
所以不是周期函数，故D错误.
故选：AC
10. 下列函数中，最小值为4的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A，利用基本不等式分析判断即可，对于B，举例判断，对于CD，利用基本不等式分析判断
【详解】对于A，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4，所以A正确，
对于B，当时，，所以B错误，
对于C，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，而，所以不成立，所以取不到等号，所以的最小值不是4，所以C错误，
对于D，由题意得，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4，所以D正确，
故选：AD
11. 下列各式正确的是（ ）
A. 设，则
B. 已知，则
C. 若，，则
D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据指数的运算法则可以判断A,B，根据对数的运算法并结合换底公式可以判断C,D.
【详解】，A正确；
，B正确；
，，则，C正确；
，D错误.
故选：ABC.
12. 定义：若对于定义域内任意x，总存在正常数a，使得恒成立，则称函数为“a距”增函数，以下判断正确的有（ ）
A. 函数是“a距”增函数
B. 函数是“1距”增函数
C. 若函数是“a距”增函数，则a的取值范围是
D. 若函数是“2距”增函数，则k的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据“距”增函数的定义，对各项进行分析即可．
【详解】对于A，，
当时，，所以是“距“增函数，故A正确；
对于B，对任意，，
因为，所以，
所以，即是“1距”增函数，故B正确；
对于C，
，
因为是“距”增函数，所以恒成立，
因为，所以，
所以，
解得，
因为，所以，故C错误；
对于D，是“2距“增函数，
则在时恒成立，
变形可得，
即在时恒成立，
当时，，化简得，
所以，
当时，，化简得，
综上可知，的范围是，故D正确，
故选：ABD
三、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）
13. 函数的定义域为__________.
【答案】(0,2
【解析】
详解】要使函数有意义,则
得0
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数定义可得,将点坐标代入即可求解
【详解】由题,
故答案为：
15. 若正数x，y满足xy＝x+y+3，则xy的取值范围是_______
【答案】
【解析】
【分析】利用均值不等式、一元二次不等式可得答案.
【详解】因为，
由均值不等式得：，
即，解得，
.
故答案为：.
16. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是_________
【答案】
【解析】
【分析】可由题意，根据对数函数的定义域和单调性确定其范围，要满足值域为，指数函数的值域也就确定了，然后把指数部分的二次三项式重新设函数，通过分类讨论去求解对应的取值范围.
【详解】函数，所以当时，，
所以时，得取遍所有大于1的数，故其指数得取遍所有大于0的数.
因为，，
当时，不成立；
当时，其开口向下，有最大值，无法去到正无穷，舍去；
当时，其开口向上，对称轴大于0，故需对称轴对应的值小于等于0，故有：且
，综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】二次三项式在进行讨论的时候要首先考虑二次项系数为0的情况，然后根据题意，去讨论开口或者讨论.
四、解答题（共6小题，共70分.17题10分，18-20每小题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知全集，集合，．
（1）当时，求；
（2）如果，求实数的取值范围．
【答案】（1）＝{x|x＜3或x≥4}
（2）（﹣∞，2）
【解析】
【分析】(1)根据一元二次不等式的解法求出集合A，根据不等式的性质求出集合B，结合集合交并补的运算即可得出结果；
(2)将A∪B＝A转化为B⊆A，分类讨论B＝∅和B≠∅时的情况，列出对应的不等式(组)，解之即可.
【小问1详解】
A＝{x|0＜x＜4}，m＝3时，B＝{x|3≤x≤7}.
∴A∩B＝{x|3≤x＜4}，且U＝R.
∴（A∩B）＝{x|x＜3或x≥4}.
【小问2详解】
∵A∪B＝A，∴B⊆A.
①B＝∅时，m＞3m﹣2，解得m＜1
②B≠∅时，，解得1≤m＜2.
综上，实数m的取值范围为（﹣∞，2）
18. 已知是第三象限角，且
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由的值求出的值，然后利用诱导公式对化简计算即可，
（2）先利用二倍角公式求出的值，然后利用两角和的正弦公式求解即可
【小问1详解】
由是第三象限角，且得.
原式=..
【小问2详解】
因为
所以
.
19. 已知函数的最小正周期为．
（1）求的单调递减区间；
（2）求函数在区间上的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据诱导公式、二倍角和辅助角公式可整理得到；
根据可求得，进而得出，结合正弦函数的单调性即可得出结果；
（2）利用的范围求得的范围，利用正弦函数的单调性即可求得的范围，代入可求得的取值范围.
【小问1详解】
函数的最小正周期为，得到=1．则
由，得到
故的递减区间为..
【小问2详解】
因为，
所以，
因此，即的取值范围为.
20. 某企业常年生产一种出口产品，最近几年以来，该产品的产量平稳增长．记2018年为第一年，且前4年中，第年与年产量（单位：万件）之间的关系如表所示：
若近似符合以下三种函数模型之一：，，．
（1）写出你认为最适合的函数模型（不用说明理由），然后选取表中你认为最适合的数据并求出相应的解析式；
（2）因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2023年的年产量比预计减少30%，根据所建立的函数模型，确定2023年的年产量．
【答案】（1）选，；
（2）135.1万件.
【解析】
【分析】（1）根据表格的变化趋势结合三种函数模型即可选择函数，进而求出函数的解析式；
（2）由（1）求出不影响的产量，进而求出影响后的产量.
【小问1详解】
选，代入数据（1，7）和（3，25）可得，
故.
理由如下：从表格可以判断函数为增函数，所以排除；若选，代入数据（1，7）和（3，25）可得：，则，则，这与49.13相差太远.
【小问2详解】
2023年对应x＝6，因此预计2023年产量约为（万件），受影响后实际年产量约为193×（1﹣30%）＝135.1（万件），故2023年的年产量约为135.1（万件）.
21. 已知函数
（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）当时，解关于x的不等式．
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）由题设可得，即可求a取值范围；
（2）讨论的大小关系，求一元二次不等式的解集即可.
【小问1详解】
由题设，令，由的定义域为R，
∴，可得.
∴a的取值范围为.
【小问2详解】
由题意，，
当，即时，解集为；
当，即时，解集为；
当，即时，解集为；
22. 已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）若函数，讨论函数的零点个数．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由已知得函数为上单调递减函数，将所求不等式转化为，代入利用对数函数的性质可得，解不等式可得解；
（2）令，则，分类讨论，，，时，t分别对应的零点个数，进而得解.
【小问1详解】
由，可得，故函数定义域为，关于原点对称，
又，即为奇函数.
又
利用复合函数的单调性质知，当时，为单调递减函数，
可知在上单调递减，且的值域为R，
不等式，转化为
则，即，即
即，解得，
则原不等式的解集为.
【小问2详解】
由，得，令
令，则，作出图象，
当时，如图①，只有一个，对应3个零点；
当时，如图②，只有一个，对应1个零点；
当时，如图③，只有一个，对应1个零点；
当时，，此时，，，
由，
得在，，三个t分别对应一个零点，共3个，
在时，，三个t分别对应1个，1个，3个零点，共5个，
综上所述：当或时，只有1个零点
当或时，有3个零点..
当时，有5个零点.
① ② ③
【点睛】方法点睛：本题考查函数的单调性、奇偶性及含参不等式的解法，要设法把隐性转化为显性，方法是：
（1）把不等式转化为的模型；
（2）判断的单调性，再根据函数的单调性将“”脱掉，得到具体的不等式组来求解，但注意奇偶函数的区别.年份
2018年
2019年
2020年
2021年
x
1
2
3
4
f（x）
7
12.78
25
49.13
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