专题23.5坐标与旋转变换性问题（重难点培优）-2021-2022学年九年级数学上册同步培优题典（解析版）【人教版】

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2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题22.4旋转与坐标问题
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·全国九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，由绕点A顺时针旋转得到，则点C的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，过点C作轴于点E．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴，∴点C的坐标为．

2．（2020·全国九年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知点关于原点对称，则a，b的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由点关于原点对称，得解得
3．（2021·福建龙岩市·九年级二模）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用关于原点对称点的性质得出答案即可．
【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是
故选：A
4．（2021·四川成都市·九年级一模）在平面直角坐标系中，把点绕原点O顺时针旋转，所得到的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意，P与P′关于原点对称，根据中心对称的性质解决问题即可．
【详解】解：由题意，P与P′关于原点对称，
∵P(-5，4)，
∴P′(5，-4)，
故选：D．
5．（2021·北京九年级专题练习）如图，的对角线交点是直角坐标系的原点，轴，若顶点坐标是，，则顶点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据C点坐标和BC的长度求出点B的坐标，再根据B，D关于原点对称求出D点坐标即可．
【详解】解：∵坐标是，，
，
∵的对角线交点是直角坐标系的原点，
∴B，D关于原点对称．
，
故选：A．
6．（2021·郑州市中原区第一中学八年级期中）在平面直角坐标系xOy中，第一次将△ABC作原点的中心对称图形得到△A1B1C1，第二次在作△A1B1C1关于x轴的对称图形得到△A2B2C2，第三次△A2B2C2作原点的中心对称图形得到△A3B3C3，第四次再作△A3B3C3关于x轴的对称图形得到△A4B4C4，按照此规律作图形的变换，可以得到△A2021B2021C2021的图形，若点C（3，2），则C2021的坐标为（ ）


A．（3，-2） B．（-3，2） C．（3，2） D．（-3，-2）
【答案】D
【分析】根据题意做出前几次的图像，找出规律，根据规律推出C2021即可
【详解】根据题意做出如图前四次图像如下：


由图像知每四次一个循环，则，
即第2021次在第三象限，
∵点C（3，2），
∴C2021点坐标为：（-3，-2）；
故答案选：D
7．（2021·陕西九年级二模）在平面直角坐标系中，将抛物线绕原点旋转后得到抛物线，在抛物线上，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】据题意求得抛物线的对称轴和开口方向，并结合“在抛物线上，当时，y随x的增大而增大”作答．
【详解】∵抛物线的表达式是
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
又抛物线是抛物线绕原点旋转180°得到的，
∴抛物线的开口向下，对称轴为，
∴抛物线上，在对称轴的左边y随x的增大而增大，
又在抛物线上，当时，y随x的增大而增大，
∴，解得．
故选：D．
8．（2021·山东青岛市·九年级一模）如图，的顶点的坐标为，点在轴正半轴上，且，将先绕顺时针旋转，再向左平移2个单位，则点的对应点的坐标是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出两次变换后点A的对应点的坐标即可．
【详解】解：∵点C的坐标为（1，0），AC=3，

如图所示，将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，
则点A′的坐标为（1，-3），
再向左平移2个单位长度，则变换后点A′的对应点坐标为（-1，-3），
故选D．
9．（2021·山东菏泽市·九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点，点是中点，将以为旋转中心逆时针旋转后，再将得到的三角形平移，使点与点重合，写出此时点的对应点的坐标（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得到，再根据点与点重合，即可得到结果；
【详解】如图，

∵以为旋转中心逆时针旋转得到，
则，
∴，
当使点与点重合，点C向下平移4个单位长度，得到，
∴点向下平移4个单位长度，
∴；
故答案选A．
10．（2021·山东聊城市·九年级二模）在平面直角坐标系中，的两边是，，将绕点逆时针旋转90°得到，则旋转后的的坐标为（ ）


A．（3，4） B．（-4，3） C．（-3，4） D．（4，-3）
【答案】C
【分析】将△OPQ绕点O逆时针旋转90°之后的图形在坐标系中画出来，即可得而答案；
【详解】将绕点逆时针旋转90°得到，旋转后的图形如图所示：


∴≌，
∴
∵ OP=5，OQ=4，
∴ PQ=3，
∵OQ==4
∴(0，4)，
∵ = PQ =3
∴ (-3，4)，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021·浙江八年级期中）在直角坐标系中，点和点关于原点成中心对称，则的值为_________．
【答案】1
【分析】首先根据点A（3，4）和点B（a，b）关于原点成中心对称，可得a=-3，b=-4，然后把a、b的值代入，求出a-b的值为多少即可．
【详解】解：∵点A（3，4）和点B（a，b）关于原点成中心对称，
∴a=-3，b=-4，
∴a-b=-3-（-4）=1．
故答案为：1．
12．（2020·全国九年级专题练习）已知点与点关于原点对称，若，则的值为_．
【答案】-16
【解答】由点与点关于原点对称，可得，．
13．（2021·广东广州市·九年级一模）如图，已知坐标原点为平行四边形的对角线的中点，顶点的横坐标为4，平行轴，且长为5．若平行四边形的面积为10，则顶点的坐标为__________．

【答案】
【分析】如图（见解析），先根据平行四边形的面积公式和性质可得，再根据点的横坐标和的长可得点的坐标，然后根据关于原点对称的点坐标变换规律即可得出答案．
【详解】如图，设与轴交于点，连接，

四边形是平行四边形，且平行轴，点为的中点，
，
平行四边形的面积为10，，
，
解得，
点的纵坐标为1，
点的横坐标为4，且平行轴，，
点的横坐标为，
，
由关于原点对称的点坐标变换规律得：，
故答案为：．
14．（2021·河北石家庄市·九年级其他模拟）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣4x的图象为C1，C1关于原点对称的函数图象为C2，则C2对应的函数表达式为_____，直线y＝a（a为常数）分别与C1、C2围成的两个封闭区域内（不含边界）的整点（横、纵坐标都是整数的点）个数之比为4：15时，a的取值范围_____．

【答案】y＝﹣x2﹣4x ﹣2＜a＜﹣1
【分析】（1）根据关于原点对称的关系，可得C2；
（2）根据图象可得答案．
【详解】解：（1）函数y＝x2﹣4x的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，将（-x，-y）代入C1可得y＝﹣x2﹣4x，则C2对应的函数表达式为y＝﹣x2﹣4x；
故答案为y＝﹣x2﹣4x；
（2）由图象可知，直线y＝a（a为常数）分别与C1、C2围成的两个封闭区域内（不含边界）的整点（横、纵坐标都是整数的点）个数之比为4：15时，a的取值范围﹣2＜a＜﹣1．
故答案为：﹣2＜a＜﹣1．

15．（2021·山东九年级一模）如图平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点绕点旋转得到点，点绕点旋转得到点，点绕点旋转得到点，点绕点旋转得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为_____________．

【答案】
【分析】观察图形可知P6与P重合，6次一个循环，利用规律解决问题即可．
【详解】解：画图可知：

∴P1（2，0），P2（2，4），P3（0，4），P4（2，2），P5（2，2），P6（0，2），
∵6次一个循环，
∴2021÷6=336…5；
∴P2021（2，2）．
故答案为：．
16．（2021·山东烟台市·九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，将绕着旋转中心顺时针旋转，得到，则旋转中心的坐标为__________．

【答案】（1， 1）
【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知旋转中心一定在任何一对对应点所连线段的垂直平分线上，线段BE与OC的垂直平分线的交点即为所求．
【详解】解：∵△OAB绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△CDE，
∴O的对应点分别是C，、B的对应点分别是E，
又∵线段BE的垂直平分线为y=x，
线段OC的垂直平分线是y=1，

∴线段BE与OC的垂直平分线的交点为（1， 1）．
故答案为（1， 1）．
17．（2021·四川成都市·成都铁路中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线y＝x上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1Q2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝x上，依次进行下去…，若点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（，1），则点A12的横坐标是___．

【答案】9（+1）
【分析】先求出点A2，A4，A6，A8…的横坐标，探究规律即可解决问题．
【详解】解：根据将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置可知：∠BA1O1＝90°，
∴∠OAB＝90°，
当y＝1时，x＝，即AB＝，
∴∠AOB＝60°，
如图，延长A2O2交x轴于E，则∠OEO2＝90°，

∴OO2＝2++1＝3+，
∴O2E=，
∴OE==（+1），
∴点A2的横坐标为（+1），
同理可得：点A4的横坐标3（+1），
点A6的横坐标（+1），
点A8的横坐标6（+1），
∴点A12的横坐标是×6（+1），即9（+1）．
故答案为：9（+1）．
18．（2021·广西南宁市·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形关于x轴对称，，将四边形绕点O逆时针旋转后得到四边形，接着将四边形绕点O逆时针旋转后得到四边形…，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到四边形，则点的坐标是_______________．

【答案】
【分析】连接AC交OB于点E，由题意易得△ABC是等边三角形，故可求得点B的坐标，再根据旋转规律，每4次一个循环，即可求得所求的坐标．
【详解】如图，连接AC交OB于点E
∵四边形关于x轴对称
∴OC=OA=2，∠COE=∠AOE=，
在Rt△CEO中，，
∵∠ECB=90°−∠CBE=45°=∠CBE
∴BE=CE=1
∴OB=OE+BE=，即点B的坐标为
∴，，
由题意知，旋转每4次一个循环，而2021÷4=500…1
∴的坐标与的坐标相同，即为

故答案为：．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·安徽池州市·九年级二模）如图，在直角坐标系中，边长为1的单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点为网格线的交点）
（1）在给定的图形范围内，以A为位似中心，将放大2倍，得到；
（2）以为中心将顺时针旋转90°，得到，并直接写出的面积．

【答案】（1）见解析；（2）图见解析，10
【分析】（1）延长AC到C1，使得AC1=2AC，延长AB到B1，使得AB1=2AB，连接B1C1即可．
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B1的对应点A1，B2即可．△AC1A1是等腰直角三角形，求出直角边，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：（1）如图，△AB1C1即为所求作．
（2）如图，△A1B2C1即为所求作，

AC1=，
△AA1C1的面积=×2×2=10．
20．（2021·安徽合肥市·九年级二模）如图在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．

（1）画出以原点为旋转中心，逆时针旋转后的（点、、的对应点分别为点、、）；
（2）画出关于轴对称的；
（3）若点为内任意一点，则经过上述两次变换后的对应点的坐标为__________．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）（b，a）
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可．
（3）根据A，B，C三点的坐标变化解决问题即可．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作．

（3）由于点A变换前后的坐标分别为（-4，1），（1，-4），
点B变换前后的坐标分别为（-2，3），（3，-2），
点C变换前后的坐标分别为（-1，1），（1，-1），
∴点P（a，b）变换后的坐标为（b，a）．
故答案为：（b，a）．
21．（2021·淮安市黄集九年制学校九年级其他模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，已知是由经过顺时针旋转变换得到的．
（1）请写出旋转中心的坐标是_______，旋转角的大小是________；
（2）以（1）中的旋转中心为中心，画出按顺时针方向旋转90°得到的，并写出点的坐标．

【答案】（1）O（0，0）；90°．（2）作图见解析，A2（1，−3），B2（3，1），C2（3，−3）．
【分析】（1）对应点连线段的垂直平分线的交点，即为旋转中心．
（2）分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可．
【详解】解：（1）观察图象可知，旋转中心的坐标是O（0，0），旋转角为90°．

故答案为：O（0，0）；90°．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作．A2（1，−3），B2（3，1），C2（3，−3）．
22．（2020·河南九年级专题练习）如图，在中，，点D是射线上一点，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接．

（1）当点D在线段上时，连接，若，则线段，的位置关系是________；
（2）当点D在线段的延长线上时，
①依题意补全图形；
②求证：．
【答案】（1）；（2）①见解析；②证明见解析．
【详解】（1）如图①，∵线段绕点B顺时针旋转，得到线段，
∴，∴为等边三角形，
∵，∴，∴．
∵，∴，∴，
∴．
（2）①解：依题意补全图形如图②；

②证明：如图③，过点E作于点M．
∵线段绕点B顺时针旋转，得到线段，
∴，
∵，∴．
∵，
，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，∴．
∴垂直平分．
∴．
23．（2020·全国九年级专题练习）已知正方形，对角线的中点为O，点O同时是正方形的一个顶点，交于点E，交于点F．这两个正方形的边长都是6，将正方形绕点O转动．

（1）如图①，当垂直时，两个正方形重叠部分的面积为________；
（2）如图②，将正方形绕点O转动，求两个正方形重叠部分的面积．
【答案】（1）9；（2）
【详解】解：（1）9
【解法提示】∵两个正方形的边长都是6，∴两个正方形重叠部分的面积．
（2）如解图，连接，
在正方形中，，
∵，
∴，且．
∴．
∴．
∴．

46．（2020·全国九年级专题练习）在中，，将绕点A逆时针旋转得到，连接并延长交于点D．

（1）如图①，已知，点落在上，求证：．
（2）如图②，若点落在内，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）仍成立，见解析
【详解】（1）证明：，
．
是由绕点A逆时针旋转得到的，且点落在上，
，
．
．
．
．
，
．
．
．（5分）
（2）解：（1）中的结论仍成立．
证明：如解图，过点C作于点E，过点作于点F，
是绕点A逆时针旋转得到的，
．
．
，
．
，
．
．
，
．
．（12分）

24．（2021·河南安阳市·九年级一模）在中，，，将边绕点A逆时针旋转至，记旋转角为．分别过A，C作直线的垂线，垂足分别是E，F，连接交直线于点Q．

（1）如图1，当时，的形状为____________；
（2）当时，
①（1）中的结论是否成立？如果成立，请就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②在旋转过程中，当线段时，请直接写出的长．
【答案】（1）等腰直角三角形；（2）①成立，见解析；②或
【分析】（1）先证，可得△是等腰三角形，从而可得∠=45゜，进而可得是等腰直角三角形，可得AF是线段的垂直平分线，从而易得△AEF是等腰直角三角形；
（2）由已知，根据等腰三角形的性质可计算出及，从而
可求得，即是等腰直角三角形，从而得，由，可得AQ是线段的垂直平分线，可得，则可得结论仍成立．
（3）分两种情况：旋转角小于180゜和旋转角大于180゜而小于360゜，根据勾股定理及（2）中的结论可得CF的长．
【详解】解：（1）由旋转性质得：，．
∵AE⊥，
∴．
∵AB=AC，∠ABC=∠ACB=45゜，
∴，
∵，AB=AC，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵CF⊥，
∴．
∴．
∵，
∴，且AF平分．
∴．
∴∠EAF=．
∵AE⊥，
∴∠EAF=∠EFA=45゜．
∴△AEF是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
（2）①结论仍成立．
∵，，
∴．

∵，，
∴．
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形．
∴．
又，
∴垂直平分．
∴，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形．
②如下图所示，当α