专题22.2二次函数的图象与性质：顶点式-2021-2022学年九年级数学上册同步培优题典（解析版）【人教版】

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】

专题22.2二次函数的图象与性质：顶点式

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020春•兴庆区校级月考）下列抛物线的图象，开口最大的是（　　）

A．yx2 B．y＝4x2 C．y＝﹣2x2 D．无法确定

【分析】根据二次函数中|a|的值越小，函数图象的开口越大作答．

【解析】∵二次函数中|a|的值越小，函数图象的开口越大，

又∵||＜|﹣2|＜|4|，

∴抛物线yx2的图象开口最大，

故选：A．

2．（2020•崇州市模拟）对于二次函数y＝2（x﹣1）2﹣8，下列说法正确的是（　　）

A．图象开口向下 

B．当x＞1时，y随x的增大而减小 

C．当x＜1时，y随x的增大而减小 

D．图象的对称轴是直线x＝﹣1

【分析】根据二次函数的性质对比四个选项即可得出结论．

【解析】A、y＝2（x﹣1）2﹣8，

∵a＝2＞0，

∴图象的开口向上，故本选项错误；

B、当x＞1时，y随x的增大而增大；故本选项错误；

C、当x＜1时，y随x的增大而减小，故本选项正确；

D、图象的对称轴是直线x＝1，故本选项错误．

故选：C．

3．（2020春•雨花区校级期末）在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx+2（k≠0）的图象大致如图（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】分别利用函数解析式分析图象得出答案．

【解析】由一次函数解析式为：y＝kx+2可知，图象应该与y轴交在正半轴上，故A、B、C错误；

D符合题意；

故选：D．

4．（2020•萧山区模拟）已知函数y1＝mx2+n，y2＝nx+m（mn≠0），则两个函数在同一坐标系中的图象可能为（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】可先根据一次函数的图象判断m的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，进而判断选项的正误．

【解析】A、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＜0，m＞0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象应该开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，故选项不符合题意；

B、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＞0，m＜0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象应该开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，故本选项不符合题意；

C、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＜0，m＜0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象应该开口向下，抛物线与y轴交于负半轴，故本选项不符合题意；

D、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＞0，m＞0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象开口向上，抛物线与y轴交于正半轴，故本选项不符合题意；

故选：A．

5．（2020•南充一模）已知函数y，则当函数值y＝﹣6时，自变量x的值是（　　）

A．±2 B．2或﹣5 C．2或5 D．﹣2或5

【分析】把y＝﹣6分别代入函数解析式，根据x的取值范围可得x的值．

【解析】由﹣x2﹣2＝﹣6，解得x＝±2，

∵x≤0，

∴x＝﹣2，

由﹣x﹣1＝﹣6，

解得：x＝5，

综上：x＝﹣2或5，

故选：D．

6．（2019秋•齐齐哈尔期末）二次函数y＝a（x+k）2+k（a≠0），无论k取何值，其图象的顶点都在（　　）

A．直线y＝x上 B．直线y＝﹣x上 C．x轴上 D．y轴上

【分析】根据题目中的函数解析式可以写出该函数的顶点坐标，再根据顶点坐标的特点，可以得到无论k取何值，其图象的顶点都在哪条直线上，本题得以解决．

【解析】∵二次函数y＝a（x+k）2+k（a≠0），

∴该函数的顶点坐标为（﹣k，k），

∵点（﹣k，k）在直线y＝﹣x上，

∴无论k取何值，其图象的顶点都在直线y＝﹣x上，

故选：B．

7．（2019秋•铜山区期末）已知抛物线与二次函数y＝﹣3x2的图象相同，开口方向相同，且顶点坐标为（﹣1，3），它对应的函数表达式为（　　）

A．y＝﹣3（x﹣1）2+3 B．y＝3（x﹣1）2+3 

C．y＝3（x+1）2+3 D．y＝﹣3（x+1）2+3

【分析】根据抛物线与二次函数y＝﹣3x2的图象相同，开口方向相同，可知抛物线解析式中的a也是﹣3，然后根据抛物线的顶点坐标为（﹣1，3），即可得到抛物线的顶点式，本题得以解决．

【解析】∵抛物线与二次函数y＝﹣3x2的图象相同，开口方向相同，且顶点坐标为（﹣1，3），

∴该抛物线的解析式为y＝﹣3（x+1）2+3，

故选：D．

8．（2020•永嘉县模拟）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+1经过点A（m，y1），B（m+2，y2），若点A在抛物线对称轴的左侧，且1＜y1＜y2，则m的取值范围是（　　）

A．0＜m＜1 B．0＜m＜2 C．1＜m＜2 D．m＜2

【分析】根据题目中的抛物线，可以得到该抛物线的对称轴，然后根据题意，可知点A和点B在对称轴两侧，从而可以得到m的取值范围，本题得以解决．

【解析】∵抛物线y＝a（x﹣2）2+1，

∴该抛物线的对称轴为直线x＝2，

∵点A（m，y1），B（m+2，y2）在抛物线y＝a（x﹣2）2+1上，点A在抛物线对称轴的左侧，且1＜y1＜y2，

∴1＜m＜2，

故选：C．

9．（2021•新城区校级模拟）已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（　　）

A．有最大值2，有最小值﹣2.5 

B．有最大值2，有最小值1.5 

C．有最大值1.5，有最小值﹣2.5 

D．有最大值2，无最小值

【分析】根据二次函数的图象，可知函数y的最大值和最小值．

【解析】观察图象可得，在0≤x≤4时，图象有最高点和最低点，

∴函数有最大值2和最小值﹣2.5，

故选：A．

10．（2020•雁塔区校级一模）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）经过A（m﹣4，0），B（m﹣2，3），C（4﹣m，3）三点，其中m＜3，则下列说法正确的是（　　）

A．a＞0 

B．h＜0 

C．k≥3 

D．当x＜0时，y随x的增大而增大

【分析】利用对称性得到抛物线对称轴为直线x＝1，根据点的坐标确定开口向下，最大值大于3，根据二次函数的性质即可判断D正确．

【解析】∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）经过A（m﹣4，0），B（m﹣2，3），C（4﹣m，3）三点，其中m＜3，

∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x1，即a＜0，h＝1，

∴k＞3，当x＜1时，y随x的增大而增大，

故选：D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2019秋•镇江期末）已知二次函数的图象开口向上，则m的值为　2　．

【分析】根据二次函数的图象开口向上，可以求得m的值，本题得以解决．

【解析】∵二次函数的图象开口向上，

∴，

解得，m＝2，

故答案为：2．

12．（2020•三门县一模）已知函数y，在自变量x≤m的范围内，相应的函数最小值为0，则m的取值范围是　1≤m≤3　．

【分析】画出函数的图象，根据函数的图象即可求得．

【解析】画出函数y的图象如图：

在自变量x≤m的范围内，相应的函数最小值为0，由图象可知：m的取值范围是1≤m≤3，

故答案为1≤m≤3．

13．（2020春•武邑县校级月考）若函数y，则当函数值y＝12时，自变量x的值是　6或　．

【分析】根据函数y，分两种两种情况，令y＝12代入分别求得相应的x的值，本题得以解决．

【解析】∵函数y，

∴当x≤2时，令x2+2＝12，得x，

当x＞2时，令2x＝12，得x＝6，

故答案为：6或．

14．（2019秋•九龙坡区期末）已知一条抛物线y＝2（x﹣3）2+1，以下说法：①对称轴为x＝3，当x＞3时，y随x的增大而增大；②y最大值＝1；③顶点坐标为（﹣3，1）；④开口向上．其中正确的是　①④　．（只填序号）

【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否成立．

【解析】∵抛物线y＝2（x﹣3）2+1，

∴对称轴为直线x＝3，当x＞3时，y随x的增大而增大，故①正确；

当x＝3时，函数有最小值1，故②错误；

顶点坐标为（3，1），故③错误；

开口向上，故④正确；

故答案为：①④．

15．（2019秋•奉贤区期末）如果二次函数y＝a（x﹣1）2（a≠0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a的取值范围是　a＞0　．

【分析】由于二次函数的图象在对称轴x＝2的右侧部分是上升的，由此可以确定二次函数的二次项系数为正数．

【解析】∵二次函数的图象在对称轴x＝1的右侧部分是上升的，

∴这个二次函数的二次项系数为正数，

∴a＞0，

故答案为a＞0．

16．（2020秋•西安期末）把二次函数y＝2x2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式是　y＝2（x+3）2﹣1　．

【分析】利用二次函数平移规律进而求出即可．

【解析】把二次函数y＝2x2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后的函数关系式是：y＝2（x+3）2﹣1．

故答案为y＝2（x+3）2﹣1．

17．（2019秋•安居区期末）对于抛物线y（x+1）2+4，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为（﹣1，4）；④x＞1时，图象从左至右呈下降趋势．其中正确的结论是　①③④　（只填序号）．

【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否成立．

【解析】∵抛物线y（x+1）2+4，

∴a0，该抛物线的开口向下，故①正确；

对称轴是直线x＝﹣1，故②错误；

顶点坐标为（﹣1，4），故③正确；

当x＞﹣1时，图象从左至右呈下降趋势，故④正确；

故答案为：①③④．

18．（2020•都江堰市模拟）已知二次函数y＝﹣（x+a）2+2a﹣1（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a取四个不同数值时此二次函数的图象．发现它们的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是　y＝﹣2x﹣1　．

【分析】已知抛物线的顶点式，写出顶点坐标，用x、y代表顶点的横坐标、纵坐标，消去a得出x、y的关系式．

【解析】由已知得抛物线顶点坐标为（﹣a，2a﹣1），

设x＝﹣a①，y＝2a﹣1②，

①×2+②，消去a得，2x+y＝﹣1，

即y＝﹣2x﹣1．

故答案为：y＝﹣2x﹣1．

三．解答题（共7小题）

19．（2020秋•兴国县期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为（1，4），且过点（﹣1，0）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求将抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位后抛物线的函数表达式．

【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式；

（2）根据函数图象平移规律，可得答案．

【解析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，

把（﹣1，0）代入得a（﹣1﹣1）2+4＝0，

解得a＝﹣1．

所以抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3；

（2）平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1+2）2+4+5，即y＝﹣x2﹣2x+8．

20．（2019秋•萧山区期中）已知二次函数y（x﹣1）2

（1）完成下表；

（2）在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象．

【分析】（1）选取合适的x的值，求出对应的y的值即可完成表格，；

（2）利用描点法画出函数图象．

【解析】（1）完成表格如下：

（2）描点，画出该二次函数图象如下：

21．（2019秋•丹江口市期中）如图，已知抛物线y1＝﹣2x2+2与直线y2＝2x+2交于A，B两点，

（1）求A，B两点的坐标．

（2）求△ABO的面积．

【分析】（1）联立两函数解析式求解即可；

（2）利用三角形面积计算方法即可求得△ABO的面积．

【解析】（1）联立，

解得：或，

所以A、B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，2）；

（2）∵A、B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，2），

∴OA＝1，OB＝2，

∴S△OABOA•OB1

22．（2019秋•包河区期中）抛物线y＝a（x+h）2的顶点为（2，0），它的形状与y＝3x2相同，但开口方向与之相反．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）求抛物线与y轴的交点坐标．

【分析】（1）由抛物线y＝a（x+h）2的顶点为（2，0），得出h＝﹣2，抛物线y＝a（x+h）2的形状与y＝3x2的相同，开口方向相反，得出a＝﹣3，从而确定该抛物线的函数表达式；

（2）根据图象上点的坐标特征求得即可．

【解析】（1）∵抛物线y＝a（x+h）2的顶点为（2，0），

∴﹣h＝2，

∴h＝﹣2，

抛物线y＝a（x+h）2的形状与y＝3x2的相同，开口方向相反

∴a＝﹣3，

则该抛物线的函数表达式是y＝﹣3（x﹣2）2．

（2）在函数y＝﹣3（x﹣2）2中，令x＝0，则y＝﹣12，

∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣12）．

23．（2020•杭州模拟）在同一直角坐标系中画出二次函数yx2+1与二次函数yx2﹣1的图形．

（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；

（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．

【分析】根据二次函数图象，可得二次函数的性质．

【解析】如图：

，

（1）yx2+1与yx2﹣1的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴，

yx2+1与yx2﹣1的不同点是：yx2+1开口向上，顶点坐标是（0，1），yx2﹣1开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）；

（2）性质的相同点：开口程度相同，不同点：yx2+1 当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；

yx2﹣1当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．

24．如图，抛物线yx2+2与x轴交于A、B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上

（1）试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标；

（2）问在抛物线上是否存在一点M，使△MAC≌△OAC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由抛物线的解析式容易得出对称轴和顶点坐标；

（2）由抛物线解析式求出A、B坐标，求出直线AC的解析式，再分别根据题意得出方程，解方程得出M的坐标，若不符合题意舍去．

【解析】（1）抛物线yx2+2的对称轴为x＝0，顶点C的坐标为（0，2）；

（2）对于抛物线yx2+2，当y＝0时，x＝±2，

∴A（2，0），B（﹣2，0），

∴OA＝2；

如图3所示：

则线段AC的垂直平分线的解析式为y＝x，

令xx2+2，

解得：x＝﹣1±，

∴M1（﹣1，﹣1），M2（﹣1，﹣1），

此时∠AMC≠90°，

∴舍去；

综上所述：在抛物线上不存在一点M，使△MAC≌△OAC．