专题24.11弧长及扇形的面积-2021-2022学年九年级数学上册同步培优题典（解析版）【人教版】

这是一份专题24.11弧长及扇形的面积-2021-2022学年九年级数学上册同步培优题典（解析版）【人教版】，共24页。
2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题24.11弧长及扇形的面积
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021•南岗区校级一模）某扇形的圆心角为150°，其弧长为20πcm，则此扇形的面积是（　　）
A．120πcm B．480πcm2 C．240πcm2 D．240cm2
【分析】设扇形的半径为rcm，根据扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为207πcm求出r的值，由扇形的面积公式即可得出结论．
【解析】设扇形的半径为rcm，
∵扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20πcm，
∴150π⋅r180=20π，解得r＝24 cm，
∴S扇形=12×20π×24＝240πcm2．
故选：C．
2．（2019•杭州模拟）如图，点A，B，C在⊙O上，若OB＝3，∠ABC＝60°，则劣弧AC的长为（　　）

A．π B．2π C．3π D．4π
【分析】连接OA、OC，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝120°，根据弧长的公式计算即可．
【解析】连接OA、OC，如图所示：
则OA＝OA＝OB＝3，
∵∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝120°，
∴劣弧AC的长为120π×3180=2π；
故选：B．

3．（2021•铁岭二模）如图，点A，B，C 在⊙O上，∠O＝70°，AO∥BC，AO＝3，BC的长为（　　）

A．2π3 B．11π6 C．7π6 D．11π2
【分析】根据平行线的性质，可以得到∠OBC的度数，然后根据OB＝OC，即可得到∠OCB的度数，从而可以求得∠BOC的度数，再根据弧长公式，即可求得BC的长．
【解析】连接OC，
∵∠AOB＝70°，AO∥BC，
∴∠AOB＝∠OBC＝70°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝70°，
∴∠BOC＝40°，
∵AO＝3，
∴BC的长为：40×π×3180=2π3，
故选：A．

4．（2020秋•云县校级期末）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠BCD＝30°，CD＝43，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．2π﹣4 B．8π3−43 C．4π3−43 D．3π8−4
【分析】连接OC，根据垂径定理求出CE，解直角三角形求出BC＝2BE，求出BE＝2，BC＝4，求出△COB是等边三角形，求出OC＝OB＝BC＝4，再求出答案即可．
【解析】
∵CD⊥AB，AB过O，CD＝43，
∴CE＝DE=12CD＝23，∠CEB＝90°，
∵∠BCD＝30°，
∴∠CBO＝90°﹣∠BCD＝60°，BC＝2BE，
由勾股定理得：BC2＝CE2+BE2，
即（2BE）2＝（23）2+BE2，
解得：BE＝2，
∴BC＝4，
∵∠CBO＝60°，OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴OC＝OB＝BC＝4，
∴阴影部分的面积S＝S扇形COB﹣S△COB=60π×42360−12×4×23=8π3−43，
故选：B．
5．（2019秋•金坛区期中）如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF．AB＝10，CD＝6，EF＝8，则图中阴影部分的面积等于（　　）

A．10π B．12π C．25π2 D．15π
【分析】连接DO并延长交⊙O于点G，然后即可得到∠GCD＝90°，然后根据勾股定理可以得到CG的长，再根据图形，可知阴影部分的面积就是半圆的面积，然后代入数据计算即可解答本题．
【解析】连接DO并延长，交⊙O于点G，
则∠DCG＝90°，
∵AB＝10，CD＝6，EF＝8，
∴DG＝10，
∴CG=GD2−CD2=8，
∴CG＝EF，
连接OC、OE、OF，
∵△OEF的面积和△BEF的面积相等，
∴阴影部分BEF的面积和扇形OEF的面积相等，
同理，阴影部分ACD的面积和扇形COD的面积相等，
∵CG＝EF，
∴扇形OCG的面积和扇形OEF的面积相等，
∴阴影部分的面积和半圆DCG的面积相等，
∵AB＝10，
∴OA＝5，
∴阴影部分的面积是：π×52×12=25π2，
故选：C．

6．（2020秋•松山区期末）如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为4的“等边扇形”的面积为（　　）
A．4π B．8 C．8π D．4
【分析】根据扇形的面积公式S=12lr，代入计算即可．
【解析】半径为4的“等边扇形”的面积为12×4×4=8，
故选：B．
7．（2020秋•诸城市期中）如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝EF，若AD＝33，则CF的长为（　　）

A．94π B．34π C．64π D．π
【分析】连接AC、AF，根据等腰直角三角形的性质得到∠DAE＝45°，AE＝36，根据旋转变换的性质、弧长公式计算，得到答案．
【解析】连接AC、AF，
由旋转的性质可知，BC＝EF，AB＝AE，
∵DE＝EF，
∴DE＝BC＝AD，
在Rt△ADE中，DE＝AD，
∴∠DAE＝45°，AE=AD2+DE2=36，
∴∠EAB＝90°﹣45°＝45°，即旋转角为45°，
∴∠FAC＝45°，
在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=(36)2+(33)2=9，
∴CF的长=45⋅π⋅9180=9π4，
故选：A．

8．（2021•上城区校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝23，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则DE的长为（　　）

A．33π B．π C．233π D．3π
【分析】求出∠DAE的度数，再利用弧长计算公式求出即可．
【解析】由题意可知：AE＝AD＝BC＝23，
在Rt△ABE中，sin∠AEB=ABAE=323=32，
∴∠AEB＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝60°，
lDE=nπr180=60π×23180=23π3，
故A、B、D错误，
故选：C．
9．（2021•海曙区模拟）《九章算术》第一章“方田”中讲述了扇形面积的计算方法：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大致意思为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田面积为（　　）
A．323平方步 B．643平方步 C．120平方步 D．240平方步
【分析】先求出扇形所在圆的半径，再根据扇形的面积公式求出答案即可．
【解析】∵扇形所在圆的直径是16步，
∴扇形所在圆的半径是8步，
∵弧长是30步，
∴扇形的面积是12×8×30=120（平方步），
即这块田面积为120平方步，
故选：C．
10．（2021•金东区二模）如图，扇形AOB的圆心角是60°，半径是3，点C为弧AB的中点，过点C作CD∥OB交DA于点D，过点B作BE∥OA交DC延长线于点E，则图中阴影部分面积为（　　）

A．32 B．3−32 C．3−13 D．3+13
【分析】连接OC，过C作CF∥OA交OB于F，作CH⊥OB与H，求出CH和CF长，从图中可看出阴影部分的面积＝S四边形BECF，然后依面积公式计算即可．
【解析】连接OC，过C作CF∥OA交OB于F，作CH⊥OB与H，
∵点C为弧AB的中点，
∴∠AOC＝∠BOC=12∠AOB=12×60°=30°，
∵OC=3，
∴HC=12OC=32，
∵CF∥OA，
∴∠CFB＝∠AOB＝60°，
∴sin60°=HCCF，
∴CF=3232=1，
∵CD∥OB，
∴∠BOC＝∠DCO，
∴OD＝CD，
∵CD∥OB，CF∥OA，
∴四边形CDOF是菱形，
∴OF＝OD＝CF＝1，
∴BF＝OB﹣OF=3−1，
∵OA＝OB，
∴AD＝BF，
∴S阴影＝S四边形BECF＝BF•CH＝（3−1）×32=3−32．
故选：B．

11．（2021•龙湾区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，CA为直径作半圆围成两月牙形，过点C作DF∥AB分别交三个半圆于点D，E，F．若CEDF=35，AC+BC＝15，则阴影部分的面积为（　　）

A．16 B．20 C．25 D．30
【分析】阴影部分面积可以看成是以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形ABC的面积减去一个以AB为直径的半圆的面积．
【解析】连接AF、BE，

∵AC是直径，
∴∠AFC＝90°．
∵BC是直径，
∴∠CDB＝90°．
∵DF∥AB，
∴四边形ABDF是矩形，
∴AB＝DF，
取AB的中的O，作OG⊥CE．
∵CEDF=35，设DF＝10k，CE＝6k，
∵CG=12CE＝3k，OC＝OA＝5k，
∴OG＝4K，
∴AF＝BD＝4K，CF＝DE＝2K，
∴AC=CF2+AF2=4k2+16k2=25k．
∵AC+BC＝15，
∴25k+45k＝15，
∴k=52，
∴AC＝5，BC＝10，
S阴影＝直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC﹣直径为AB的半圆的面积
=12π（AC2）2+12π（BC2）2+12AC×BC−12π（AB2）2
=18π（AC）2+18π（BC）2−18π（AB）2+12AC×BC
=18π（AC2+BC2﹣AB2）+12AC×BC
=12AC×BC
=12×5×10
＝25．
故选：C．
二．填空题（共7小题）
12．（2021•合肥三模）如图，点A，B，C都在⊙O上，若OB＝3，∠ABC＝30°，则劣弧AC的长为　π　．

【分析】连接OA，OC．利用弧长公式计算即可．
【解析】连接OA，OC．

∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，
∴AC的长=60⋅π⋅3180=π，
故答案为：π．
13．（2021•莆田模拟）如果一个扇形的圆心角为90°，弧长为π，那么该扇形的半径为　2　．
【分析】设该扇形的半径为R，根据弧长公式得到90⋅π⋅R180=π，然后解方程即可．
【解析】设该扇形的半径为R，
根据题意得90⋅π⋅R180=π，解得R＝2．
故答案为2．
14．（2021•包河区一模）如图，有一块半径为1米的扇形铁皮OCD，取弧CD的中点B，连接BD，若OC∥BD，则这块扇形铁皮的面积为　π3　平方米．

【分析】连接OB，求出∠COB＝∠DOB，根据平行线的性质求出∠COD+∠ODB＝180°，∠COB＝∠OBD，根据等腰三角形的性质得出∠ODB＝∠OBD，求出∠COB＝∠DOB＝∠ODB，求出∠COB＝60°，∠COD＝120°，再根据扇形面积公式求出答案即可．
【解析】连接OB，

∵弧CD的中点是B，
∴∠COB＝∠DOB，
∵OC∥BD，
∴∠COD+∠ODB＝180°，∠COB＝∠OBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠COB＝∠DOB＝∠ODB，
即3∠COB＝180°，
解得：∠COB＝60°，
∴∠COD＝60°+60°＝120°，
∴扇形OCD的面积是120π×12360=π3（平方米），
故答案为：π3．
15．（2021•潼南区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，以C为圆心，以AC的长为半径作弧，交AB于点D，交BC于点E，则图中阴影部分的面积是　93−3π　．（结果保留π）

【分析】连接CD．首先证明AD＝BD＝6，根据S阴=12S△ABC﹣S扇形CDE，计算即可．
【解析】如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝6，
∴∠BAC＝60°，BC＝63，
∵CA＝CD，
∴△ACD是等边三角形
∴∠ACD＝60°，∠ECD＝30°，
∵AB＝2AC＝12，AC＝AD，
∴AD＝BD＝6，
∴S阴=12S△ABC﹣S扇形CDE=12×12×6×63−30π⋅62360=93−3π．
故答案为93−3π．

16．（2021•大渡口区自主招生）如图，在正方形ABCD的边长为6，以D为圆心，4为半径作圆弧．以C为圆心，6为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别为S1、S2，时，则S1﹣S2＝　13π﹣36　．（结果保留π）

【分析】根据题意和图形，可以分别计算出S1+S3和S2+S3的值，然后用（S1+S3）﹣（S2+S3）即可得到S1﹣S2的值．
【解析】由图可知，
S1+S3＝π×42×14=4π，
S2+S3＝6×6﹣π×62×14=36﹣9π，
∴（S1+S3）﹣（S2+S3）＝4π﹣（36﹣9π）
即S1﹣S2＝13π﹣36，
故答案为：13π﹣36．

17．（2021•锡山区一模）如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为　π﹣2　．

【分析】由∠C＝45°根据圆周角定理得出∠AOB＝90°，根据S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB可得出结论．
【解析】∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB
=90×π×22360−12×2×2
＝π﹣2．
故答案为：π﹣2．
18．（2021•盘锦）如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都等于2，则图中三个扇形（即阴影部分）的面积之和为 　2π　．（结果保留π）

【分析】】根据三个扇形的半径都是2，由扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
【解析】∵三个扇形的半径都是2，
∴而三个圆心角的和是180°，
∴图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为180⋅π⋅22360=2π．
故答案为：2π．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021春•瓯海区月考）如图，∠EAD是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，且∠EAD＝75°，DB＝DC．
（1）求∠BDC的度数．
（2）若⊙O的半径为2，求BC的长．

【分析】（1）根据圆内接四边形性质求出∠C，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠BDC即可；
（2）连接OB、OC，根据圆周角定理求出∠BOC，再根据弧长公式求出答案即可．
【解析】（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠DAB+∠C＝180°，
∵∠EAD+∠DAB＝180°，
∴∠C＝∠EAD，
∵∠EAD＝75°，
∴∠C＝75°，
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠C＝75°，
∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠DBC＝30°；

（2）连接OB、OC，

∵∠BDC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝60°（圆周角定理），
∵⊙O的半径为2，
∴BC的长是60π×2180=2π3．
20．（2020秋•望江县期末）如图：已知AB为圆O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC，OC，BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝5cm，CD＝103cm，求圆O的直径；
（3）求劣弧BC的长．

【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．
（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径；
（3）求得圆心角的度数，利用弧长公式写出答案即可．
【解析】（1）∵CE＝ED，CB=DB
∴∠BCD＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）设⊙O的半径为Rcm，则OE＝OB﹣EB＝（R﹣5）cm，
CE=12CD=12×103=53cm，
在Rt△CEO中，由勾股定理可得：
OC2＝OE2+CE2，
即R2＝（R﹣5）2+（53）2，
解得R＝10．
∴圆O的直径2R＝20cm；
（3）在Rt△OEC中，OE＝10﹣5＝5=12OC，
∴∠OCE＝30°，
∴∠EOC＝60°，
∴劣弧BC的长是60×π×10180=10π3cm．
21．（2020秋•东莞市期末）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝6，∠ABC＝30°，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据平行线的性质得到∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，于是得到结论；
（2）连接CD，OD，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠ABC＝30°，即可求得∠AOC＝∠OCB+∠ABC＝60°，根据垂径定理得出AC=CD，从而得出∠COD＝∠AOC＝60°，求得∠AOD＝120°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，
又∵OC为半径，
∴AE＝ED，
（2）解：连接CD，OD，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝∠OCB+∠ABC＝60°，
∵OC⊥AD，
∴AC=CD，
∴∠COD＝∠AOC＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵AB＝6，
∴BD＝3，AD＝33，
∵OA＝OB，AE＝ED，
∴OE=12BD=32，
∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD=120⋅π×32360−12×33×32=3π−934．

22．（2021•贵阳）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是AC的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 　BE=2EM　；
（2）求证：EB=CN；
（3）若AM=3，MB＝1，求阴影部分图形的面积．

【分析】（1）证得△BME是等腰直角三角形即可得到结论；
（2）根据垂径定理得到∠EMB＝90°，进而证得∠ABE＝∠BEN＝45°，得到AE=BN，根据题意得到EC=BN，进一步得到EB=CN；
（3）先解直角三角形得到∠EAB＝30°，从而得到∠EOB＝60°，证得△EOB是等边三角形，则OE＝BE=2，然后证得△OEB≌△OCN，然后根据扇形的面积公式和三角形面积公式求得即可．
【解析】（1）∵AC为⊙O的直径，点E是AC的中点，
∴∠ABE＝45°，
∵AB⊥EN，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BE=2EM，
故答案为BE=2EM；

（2）连接EO，AC是⊙O的直径，E是AC的中点，
∴∠AOE＝90°，
∴∠ABE=12∠AOE＝45°，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠EMB＝90°
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴AE=BN，
∵点E是AC的中点，
∴AE=EC，
∴EC=BN，
∴EC−BC=BN−BC，
∴EB=CN；

（3）连接AE，OB，ON，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°，
∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝BM＝1，
又∵BE=2EM，
∴BE=2，
∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM=3，
∴tan∠EAB=13=33，
∴∠EAB＝30°，
∵∠EAB=12∠EOB，
∴∠EOB＝60°，
又∵OE＝OB，
∴△EOB是等边三角形，
∴OE＝BE=2，
又∵EB=CN，
∴BE＝CN，
∴△OEB≌△OCN（SSS），
∴CN＝BE=2
又∵S扇形OCN=60π⋅(2)2360=13π，S△OCN=12CN•32CN=12×2×32×2=32，
∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN=13π−32．

23．（2021•扬州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．
（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝23，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）过点B作BF⊥CD，证明△ABD≌△FBD，得到BF＝BA，即可证明CD与圆B相切；
（2）先证明△BCD是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD＝30°，求出AD，再利用S△ABD﹣S扇形ABE求出阴影部分面积．
【解析】（1）过点B作BF⊥CD，垂足为F，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠CDB．
在△ABD和△FBD中，
∠ADB=∠FDB∠BAD=∠BFDBD=BD，
∴△ABD≌△FBD（AAS），
∴BF＝BA，则点F在圆B上，
∴CD与⊙B相切；


（2）∵∠BCD＝60°，CB＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD＝60°
∵BF⊥CD，
∴∠ABD＝∠DBF＝∠CBF＝30°，
∴∠ABF＝60°，
∵AB＝BF=23，
∴AD＝DF＝AB·tan30°＝2，
∴阴影部分的面积＝S△ABD﹣S扇形ABE
=12×23×2−30×π×(23)2360
=23−π．
24．（2020秋•余姚市期末）如图，已知，A，B是⊙O上的点，P为⊙O外一点，连接PA，PB，分别交⊙O于点C，D，AC=BD．
（1）求证：PA＝PB；
（2）若∠P＝60°，CD=3AC．△AOC的面积等于9，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OA，OC，OD，OB，作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，设OP交⊙O于E．证明Rt△OMC≌Rt△OND（HL），推出OM＝ON，再证明Rt△POM≌Rt△PON（HL），可得结论．
（2）过点A作AJ⊥OC于J．设OA＝OB＝R，则AJ=12R，首先证明∠AOC＝30°，利用三角形的面积公式求出R，即可解决问题．
【解析】（1）证明：连接OA，OC，OD，OB，作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，设OP交⊙O于E．
∵AC=BD，
∴AC＝BD，
∵OA＝OC＝OB＝OD，OM⊥AC，ON⊥BD，
∴CM＝AM，BN＝DN，∠OMC＝∠OND＝90°，
∴CM＝DN，
在Rt△OMC和Rt△OND中，
CM=DNOC=OD，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴OM＝ON，
在Rt△POM和Rt△PON中，
OP=OPOM=ON，
∴Rt△POM≌Rt△PON（HL），
∴PM＝PN，
∵AM＝BN，
∴PA＝PB．

（2）解：∵∠APB＝60°，∠PMO＝∠PNO＝90°，
∴∠MON＝120°，
∵△POM≌△PON，
∴∠POM＝∠PON＝60°，
∵CD=3AC，
∴∠COE＝3∠COM，
∴∠COM＝15°，
∴∠AOC＝2∠COM＝30°，
过点A作AJ⊥OC于J．设OA＝OB＝R，则AJ=12R
∴S△AOC＝9，
∴12•R•12•R＝9，
∴R＝6，
∴S阴＝S扇形AOC﹣S△AOC=30×π×62360−9＝3π﹣9．