初中人教版第八章 二元一次方程组8.1 二元一次方程组导学案

这是一份初中人教版第八章 二元一次方程组8.1 二元一次方程组导学案，共11页。学案主要包含了学习目标，重点难点，课堂练习，自学探究，复习引入，探究思考，教学目标，教学重难点等内容，欢迎下载使用。
【重点难点】
【引入】P87 引言
思考：这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？
用方程 ， 表示.
【新授】二元一次方程，二元一次方程组，二元一次方程（组）的解
每个方程都含有 未知数（x和y），并且未知数的 都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
把两个方程合在一起，写成
x＋y＝22 ①
2x＋y＝40 ②
像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个 .
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做 .
既满足方程①，又满足方程②，也就是说它们是方程①与方程②的公共解。
二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做 .
【课堂练习】
1、已知方程：①2x+=3；②5xy-1=0；③x2+y=2；④3x-y+z=0；⑤2x-y=3；⑥x+3=5，
其中是二元一次方程的有___ ___．（填序号即可）
2、下列各对数值中是二元一次方程x＋2y=2的解是（ ）
A． B． C． D．
3、从上面的选项中选出二元一次方程组解是( )
4、方程（a＋2）x +(b-1)y = 3是二元一次方程，试求a、 b的取值范围.
5、若方程是二元一次方程.求m 、n的值
6、已知下列三对值：
x＝－6 x＝10 x＝10
y＝－9 y＝－6 y＝－1
哪几对数值使方程x －y＝6的左、右两边的值相等？
x－y＝6
2x＋31y＝－11
哪几对数值是方程组 的解？
7、（1）方程x＋y＝4有__________个解，有_________个正整数解，它们是____________________________
（2）求二元一次方程3x＋2y＝19的正整数解.
8、莫单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是到瑞金的人数的2倍多1人，求导两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为x人，到瑞金的人数为y人，下面所猎德方程组正确的是( )
A． B． C． D．
8.2 消元----二元一次方程组的解法（一）代入消元法
【学习目标】1．会用代入法解二元一次方程组．2．初步体会解二元一次方程组的基本思想――“消元”．3．通过研究解决问题的方法，培养合作交流意识与探究精神．
【重点难点】代入消元法；求参问题
【自学探究】
在上节课中，我们可以设出两个未知数，列出二元一次方程组，设胜的场数是x，负的场数是y， x＋y＝22
2x＋y＝40
那么怎样求解二元一次方程组呢？
【新授】
消元思想二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想.
代入消元法：是由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法
用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.
（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.
（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.
（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.
例1 用代入法解方程组 x－y＝3 ①
3x－8y＝14 ②
【课堂练习】
1.已知x＝2，y＝2是方程ax－2y＝4的解，则a＝________.
2.已知方程x－2y＝8，用含x的式子表示y，则y =_________________，用含y的式子表示x，则x =________________
3．解方程组 把①代入②可得_________________________
解这个方程组：
4.若x、y互为相反数，且x＋3y＝4，则3x－2y＝_____________.
请写下解答过程：
5．解方程组 y =3x－1 4x－y=5
（1） 2x＋4y=24 （2） 3(x－1)=2y－3
6.已知 是方程组 的解.求、的值.
8.2 消元----二元一次方程组的解法（二）
【学习目标】1、熟练地掌握用代人法解二元一次方程组；2、进一步理解代人消元法所体现出的化归意识；3、体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．
【重点难点】用代入法解较复杂的二元一次方程组
【复习引入】
复习旧知：解方程组
【探究思考】例：根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售数量比（按瓶计算）为2：5.某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？
解：设这些消毒液应分装x大瓶和y小瓶，则（列出方程组为）：
①对于用代入法解未知数系数的绝对值不是1的二元一次方程组，解题时，应选择未知数的系数绝对值比较小的一个方程进行变形，这样可使运算简便．②列方程解应用题的方法与步骤．③整体代入法等．
【课堂练习】
1、将二元一次方程5x＋2y=3化成用含有x的式子表示y的形式是y= ；化成用含有y的式子表示x的形式是x= 。
2、已知方程组：,指出下列方法中比较简捷的解法是（ ）
A.利用①，用含x的式子表示y，再代入②； B.利用①，用含y的式子表示x，再代入②；
C.利用②，用含x的式子表示y,再代入①； D.利用②，用含x的式子表示x，再代人①;
3、已知a、b满足方程组，则 ___________
4、用代入法解下列方程组．
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
5、如果实数x、y，满足方程组 ，那么__________
6、若|2x-y+1|+|x+2y-5|=0，则x= ，y=
8.2 消元----二元一次方程组的解法（三）加减消元法
【教学目标】1、掌握用加减法解二元一次方程组；2、理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法；3、体验数学学习的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立信心．
【教学重难点】
【复习引入】
①②
1、解方程组 有没有其它方法来解呢？
2、思考：这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？
两个方程中未知数y的系数相同，②－①可消去未知数y，得 - =40-22 即x=18,把x=18代入①得y=4。
另外，由①－②也能消去未知数y，得 - =22-40 即-x=-18,x=18,把x=18代入①得y=4.
①②
3、探究 想一想：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组
这两个方程中未知数y的系数 ，因此由①＋②可消去未知数y，从而求出未知数x的值。
4、归纳：加减消元法的概念
从上面两个方程组的解法可以发现，把两个二元一次方程的两边分别进行相加或者相减，就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
5、拓展应用：
①②
用加减法解方程组
思考：用加减法消去x应如何解？解得结果与上面一样吗？
【课堂练习】
1．用加减法解下列方程组较简便的消元方法是:将两个方程_______，消去未知数_______．
①②
2．已知方程组 ，，用加减法消x的方法是__________；用加减法消y的方法是________．
3．用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知数较简单，填写消元的过程．
(1) 消元方法 __________________________．
(2) 消元方法 ____________________________．
4、解方程组
5、已知(3x+2y－5)2与│5x+3y－8│互为相反数，则x=______，y=________．
6、
8.2 消元----二元一次方程组的解法（四）
【教学目标】1、熟练掌握加减消元法；2、能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组，3、通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步认识方程模型的重要性
【教学重难点】用加减消元法简便计算
【复习引入】
二元一次方程组
一元一次方程组
消元
代入、加减
1、解二元一次方程组有哪几种方法？它们的实质是什么？
2、选择最合适的解法解下列方程
（1） （2） （3）
【探究新知】 2台大收割机和5台小收割机工作2小时收割小麦3．6公顷，3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷，问：1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷？
【课堂练习】
1、解方程组
2、已知方程组的解是，则m=________，n=________．
3、王大伯承包了25亩土地,今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜,用去了44000元,其中种茄子每亩用了1700元,获纯利2400元,种西红柿每亩用了1800元,获纯利2600元,问王大伯一共获纯利多少元?
4、一旅游者从下午2时步行到晚上7时,他先走平路,然后登山,到山顶后又沿原路下山回到出发点,已知他走平路时每小时走4千米,爬山时每小时走3千米,下坡时每小时走6千米,问旅游者一共走了多少路?
5、若方程组的解满足x+y=12，求m的值
8.3实际问题与二元一次方程组（一）
【教学目标】1、会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，体会二元一次方程组与现实
生活的联系和作用；2、通过应用题进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性；3、体会列方程组比列一元一次方程容易
【教学重难点】对简单的二元一次方程组应用题能够列出关系式。
【自学探究】
1、复习旧知： 列方程解应用题的步骤是什么?_________、_________、__________、___________、___________.
2、探究：课本99页探究1
养牛场原有30只大牛和15只小牛，一天约需用饲料675 kg;一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时一天约需用饲料940 kg.饲养员李大叔估计平均每只大牛1天约需用饲料18～20 kg,每只小牛1天约需用饲料7～8 kg.你能否通过计算检验他的估计？
解：设平均每只大牛和每只小牛1天各需用饲料为xkg和ykg
根据题意列方程组，得
实际问题
数学问题
（二元一次方程组）组）
设未知数
列方程组
3、归纳：
【课堂练习】
1.班上有男女同学32人，女生人数的一半比男生总数少10人，若设男生人数为x人，女生人数为y人，列方程组并求解
2.甲乙两数的和为10，其差为2，若设甲数为x，乙数为y，列方程组并求解
3. 小敏在商店买了12支铅笔和5本练习本，其中铅笔每支x元，练习本每本y元，共花了4.9元．（1）列出关于x，y的二元一次方程；（2）已知再买同样的6支铅笔和同样的2本练习本，还需要2.2元，列出关于x，y的二元一次方程．
4.某运输队送一批货物，计划20天完成，实际每天多运送5吨，结果不但提前2天完成任务并多运了10吨，求这批货物有多少吨？原计划每天运输多少吨？
5.《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的1/3；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
8.3实际问题与二元一次方程组（二）
【教学目标】1、经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型；2、能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组；3、学会开放性地寻求设计方案，培养分析。
【教学重难点】对比例类的应用题可以列出方程组并求解。
【自学探究】教材p99 探究2：
根据以往的统计资料，甲、乙两种作物的单位面积的产量比是1∶1.5，现在要在一块长为200 m，宽100 m的长方形的土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的总产量比为3∶4（结果取整数）？
【课堂练习】
1.若两个数的和是187,这两个数的比是6:5,则这两个数分别是___________.（列方程组求解）
2.木工厂有28人，2个工人一天可以加工3张桌子，3个工人一天可加工10只椅子，现在如何安排劳动力，使生产的一张桌子与4只椅子配套？
3.一外圆凳由一个凳面和三条腿组成，如果1立方米木材可制作300条腿或制作凳面50个，现有9立方米的木材，为充分利用材料，请你设计一下，用多少木材做凳面，用多少木材做凳腿，最多能生产多少张圆凳？
4.某中学组织七年级同学到长城春游,原计划租用45座客车若干辆,但有15人没有座位;如果租用60座客车,则多出1辆,且其余客车恰好坐满,已知45座客车日租金为每辆220元,60座客车日租金为每辆300元,试问:(1)七年级人数是多少?原计划租用45座客车多少辆?(2)
要使每个同学都有座位,怎样租车更合算?
5. 兴趣小组进行活动，每个男生都头戴蓝色帽子，每个女生都头戴红色帽子．帽子戴好后，每个男生都看见戴红色帽子的人数比戴蓝色帽子的人数的2倍少1，而每个女生都看见戴蓝色帽子的人数是戴红色帽子的人数的．问该兴趣小组男生、女生各有多少人？
8.3实际问题与二元一次方程组（三）
【教学目标】1、进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型；2、会用列表的方式分析问题中所蕴涵的数量关系，列出二元一次方程组；3、培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会二元一次方程组的应用价值。
【教学重难点】较复杂的应用类问题
【自学探究】教材p100探究3：
如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地。公路运价为1.5元/（吨·千米）,铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元。这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
【分析】
1.销售款与产品数量有关，
原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路
运费与产品数量和原料数量都有关．因此设
产品重x吨，原料重y吨．
2.如何确定题中数量关系？
列表分析
由上表可列方程组
解这个方程组，得
答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多________________元．
【课堂练习】
1、一批蔬菜要运往某批发市场，菜农准备租用汽车公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的记录如下表所示．
这批蔬菜需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车刚好一次运完，如果每吨付20元运费，问：菜农应付运费多少元？
2、某学校现有学生数1290人，与去年相比，男生增加20％，女生减少10％，学生总数增加7. 5％，问现在学校中男、女生各是多少？
3、某公园的门票价格如下表所示：
某校八年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行游园联欢活动，其中甲班有50多人，乙班不足50人。如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共只要付515元。问：甲、乙两个班分别有多少人？
4、甲运输公司决定分别运给A市苹果10吨、B市苹果8吨，但现在仅有12吨苹果，还需从乙运输公司调运6吨，经协商，从甲运输公司运1吨苹果到A、B两市的运费分别为50元和30元，从乙运输公司运1吨苹果到A、B两市的运费分别为80元和40元，要求总运费为840元，问如何进行调运？
8、4三元一次方程组解法举例
一、学习内容：教材p111-113 8、4三元一次方程组解法举例
二、学习目标：1、了解三元一次方程组的定义；
2、掌握三元一次方程组的解法；
3、进一步体会消元转化思想．
三、自学探究：
1．复习导入
（1）解二元一次方程组的基本方法有哪几种？
（2）解二元一次方程组的基本思想是什么？
2、探究：
甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数．
思考：题目中有几个未知数？含有几个相等关系?你能根据题意列出几个方程？
这个方程组有三个未知数，每个方程的未知数的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，就是我们要学的三元一次方程组．
= 1 \* GB3 ①
= 2 \* GB3 ②
= 3 \* GB3 ③
思考：怎样解这个三元一次方程组呢？你能不能设法消云一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程？
有几种解法？
3、归纳：
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．即
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元 消元

问题1：解三元一次方程组
= 1 \* GB3 ①
= 2 \* GB3 ②
= 3 \* GB3 ③
问题2 在等式中，当x＝－1时y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60．求a、b、c的值．
分析：把a，b，c看作三个未知数，分别把已知的x，y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组．
四、自我检测
教材p114 练习1、2
五、学习小结
三元一次方程组的解法；
2、解多元方程组的思路――消元
3、解题前要认真观察各方程的系数特点，选择最好的解法，当方程组中某个方程只含二元时，一般的，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这个二元方程系数较简单，也可以用代入法求解．
4、注意检验
六、反馈检测
教材p 114-115 习题8、4
实际问题与二元一次方程组分类练习
知能点1 销售和利润问题
1．某商场为迎接店庆进行促销，羊绒衫每件按标价的八折出售，每件将赚70元，后因库存太多，每件羊绒衫按标价的六折出售，每件将亏损110元，则该商场每件羊绒衫的进价为_____，标价为_______．
2．某种彩电原价是1 998元，若价格上涨x%，那么彩电的新价格是______元；若价格下降y%，那么彩电的新价格是_______元．
3．某商店经销一种商品，由于进价降低了5%，出售价不变，使得利润由m%提高到（m+6）%，则m的值为（ ）．
A．10 B．12 C．14 D．17
4．在我国股市交易中，每买一次要交千分之七点五的各种费用，某投资者以每股10元的价格买入上海股票1 000股，当该股票涨到12元时全部卖出，该投资者的实际赢利为（ ）．
A．2 000元 B．1 925元 C．1 835元 D．1 910元
5．某商场欲购进甲、乙两种商品共50件，甲种商品每件进价为35元，利润率是20%，乙种商品每件进价为20元，利润率是15%，共获利278元，则甲、乙两种商品各购进多少件？
◆知能点2 利率、利税问题
6．某公司存入银行甲、乙两种不同性质的存款共20万元，甲、乙两种存款的年利率分别为1.4%和3.7%，该公司一年共得利息（不计利息税）6 250元，则甲种存款______， 乙种存款______．
7．某人以两种形式一共存入银行8 000元人民币，其中甲种储蓄的年利率为10%，乙种储蓄的年利率为8%，一年共得利息860元，若设甲种存入x元，乙种存入y元，根据题意列方程组，得_________．
8．某工厂现向银行申请了两种货款，共计35万元，每年需付利息2．25万元，甲种贷款每年的利率是7%，乙种贷款每年的利率是6%，求这两种贷款的数额各是多少．若设甲、乙两种贷款的数额分别为x万元和y万元，则（ ）．
A．x=15，y=20 B．x=12，y=23 C．x=20，y=15 D．x=23，y=12
◆开放探索创新
9．某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1 500元，乙种每台2 100元，丙种每台2 500元，若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．
◆中考真题实战
10．（重庆）为了解决农民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城农民工子女就学的保障机制，其中一项是免交“借读费”．据统计，2004年秋季有5 000名农民工子女进入主城区中小学学习，预测2005年秋季进入主城区中小学学习的农民工子女将比2004年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样2005年秋季将新增1 160名农民工子女在主城区中小学学习．如果按小学生每年的“借读费”500元，中学生每年的“借读费”1000元计算，求2005年新增的1 160名中小学生共免收多少“借读费”．
11．（南通）张栋同学到百货大楼买了两种型号的信封共30个，其中买A型号的信封用了1元5角，买B型号的信封用了1元2角，B型号的信封每个比A型号的信封便宜2分，则两种型号信封的单价各是多少元？
知能点1 行程问题
1．甲、乙两人相距45km，甲的速度是7km/h，乙的速度为3km/h，两人同时出发，（1）若同向而行，甲追上乙需_______h；（2）若相向而行，甲、乙需______h相遇；（3）若同向而行，乙先走1h，甲再追乙，经过______h甲可追上乙．
2．两人在400m的圆形跑道上练习赛跑，方向相反时每32s相遇一次，方向相同时每3min相遇一次，若设两人速度分别为x（m/s）和y（m/s）（x>y），则由题意列出方程组为_________．
3．A，B两地相距20km，甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，经过2h相遇，相遇后，甲立即返回A地，乙仍向A地前进，甲回到A地时，乙离A地还有2km，则两人的速度分别为________．
4．一只船在一条河上的顺流速度是逆流速度的3倍，则这只船在静水中的速度与水流速度之比为：_________．
5．已知某铁路桥长800m，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用45s，整列火车完全在桥上的时间是35s，求火车的速度和长度．
知能点2 配套问题
6．张阿姨要把若干个苹果分给小朋友们吃，若每人2个，则多1个；若每人3个，则缺2个，苹果有_______个，小朋友有_______个．
7．两台拖拉机共运水泥35t，其中一台比另一台多运7t，则这两台拖拉机分别运送了水泥_______t和_________t．
8．如图所示，周长为34的长方形ABCD被分成7个大小完全一样的小长方形，则每个小长方形的面积为（ ）．
A．30 B．20 C．10 D．14
9．一个长方形周长为30，若它的长减少2，宽增加3，就变成了一个正方形，设该长方形长为x，宽为y，则可列方程组为（ ）．

10．现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问：用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？
◆规律方法应用
11．用白铁皮做水桶，每张铁皮能做1个桶身或8个桶底，而1个桶身1个桶底正好配套做1个水桶，现在有63张这样的铁皮，则需要多少张做桶身，多少张做桶底正好配套？
12．一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：
现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，则货主应付运费多少元？
◆开放探索创新
13．小颖在拼图时发现8个一样大小的矩形，恰好可以拼成一个大的矩形，如图（1）所示．小彬看见了，说：“我来试一试”．结果小彬七拼八凑，拼成如图（2）那样的正方形．中间还留下一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形．
你能帮他们解开其中的奥秘吗？
◆中考真题实战
14．（长沙）某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共480台，改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共554台，其中甲种机器要比第一季度增产10%，乙种机器产量要比第一季度增产20%，该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？
产品x吨
原料y吨
合计
公路运费（元）
铁路运费（元）
价值（元）
甲种货车（辆）
乙种货车（辆）
总量（吨）
第1次
4
5
28.5
第2次
3
6
27
购票人数
1人～50人
51～100人
100人以上
票价
10元/人
8元/人
5元/人
第一次
第二次
甲货车辆数（单位：辆）
2
5
乙货车辆数（单位：辆）
3
6
累计运货吨数（单位：吨）
15.5
35