2023届高考一轮复习讲义（文科）第九章　平面解析几何 第5讲　第1课时　椭圆及其性质学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（文科）第九章　平面解析几何 第5讲　第1课时　椭圆及其性质学案，共15页。学案主要包含了知识梳理，习题改编等内容，欢迎下载使用。

一、知识梳理
1．椭圆的定义
[注意] 若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2；若2ab>0)与eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相同．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)(1)忽视椭圆定义中的限制条件；
(2)忽视椭圆标准方程焦点位置的讨论．
1．平面内一点M到两定点F1(0，－9)，F2(0，9)的距离之和等于18，则点M的轨迹是 ．
解析：由题意知|MF1|＋|MF2|＝18，但|F1F2|＝18，即|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹是一条线段．
答案：线段F1F2
2．已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为 ．
答案：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1
第1课时 椭圆及其性质
椭圆的定义及应用(典例迁移)
(1)(2020·黑龙江哈尔滨六中二模)设椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1的左焦点为F，直线l：y＝kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，则|AF|＋|BF|的值是( )
A．2 B．2eq \r(3)
C．4 D．4eq \r(3)
(2)(2020·徐州模拟)已知F1、F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝ ．
【解析】 (1)设椭圆的右焦点为F1，连接AF1，BF1，
因为OA＝OB，OF＝OF1，
所以四边形AFBF1是平行四边形．
所以|BF|＝|AF1|，
所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF1|＝2a＝4，故选C.
(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(r1＋r2＝2a，,req \\al(2,1)＋req \\al(2,2)＝4c2，))
所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(req \\al(2,1)＋req \\al(2,2))＝4a2－4c2＝4b2，
所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)r1r2＝b2＝9，所以b＝3.
【答案】 (1)C (2)3
【迁移探究】 (变条件)本例(2)中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．
解：由原题得b2＝a2－c2＝9，又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，解得a＝5，故椭圆的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1.
eq \a\vs4\al()
椭圆定义的应用主要有两个方面： 一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．
1．已知椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为( )
A．2 B．3
C．5 D．7
解析：选D.因为a2＝25，所以2a＝10，所以由定义知，|PF1|＋|PF2|＝10，所以|PF2|＝10－|PF1|＝7.
2．(2020·贵州六盘水模拟)已知点F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2＝60°，则S△F1PF2＝ ．
解析：由|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs 60°＝|F1F2|2，得3|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|·|PF2|＝4，则S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝eq \f(1,2)×4sin 60°＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
椭圆的标准方程(师生共研)
(1)(一题多解)过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,2\r(5))＋eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1 D．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2\r(5))＝1
(2)若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为 ．
【解析】 (1)法一(定义法)：椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝eq \r(（\r(3)－0）2＋（－\r(5)＋4）2)＋eq \r(（\r(3)－0）2＋（－\r(5)－4）2)，解得a＝2eq \r(5).
由c2＝a2－b2，可得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.
法二(待定系数法)：设所求椭圆方程为eq \f(y2,25－k)＋eq \f(x2,9－k)＝1(kb>0)．由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(5,a2)＋\f(3,b2)＝1,a2－b2＝16))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝20,b2＝4))，
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.
(2)直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，
所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,5)＋y2＝1.
当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，
所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,5)＋eq \f(x2,4)＝1.
【答案】 (1)C (2)eq \f(x2,5)＋y2＝1或eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1
eq \a\vs4\al()
(1)用定义法求椭圆的标准方程
先根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有：
①b2＝a2－c2；
②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；
③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a.
(2)用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤
[提醒] 当椭圆焦点位置不明确时，可设为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(m>0，n>0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)．
1．已知动点M到两个定点A(－2，0)，B(2，0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,9)＋y2＝1 B.eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,5)＝1
C.eq \f(y2,9)＋x2＝1 D．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1
解析：选D.由题意有6>2＋2＝4，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，则2a＝6，c＝2，故a2＝9，所以b2＝a2－c2＝5，故椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1.故选D.
2．设椭圆eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的右焦点为(2，0)，离心率为eq \f(\r(2),2)，则此椭圆的方程为 ．
解析：椭圆的右焦点为(2，0)，所以m2－n2＝4，e＝eq \f(\r(2),2)＝eq \f(2,m)，所以m＝2eq \r(2)，代入m2－n2＝4，得n2＝4，所以椭圆方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
答案：eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1
3．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶eq \r(3)，则椭圆C的方程是 ．
解析：设椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝b2＋c2，,a∶b＝2∶\r(3)，,c＝2，))
解得a2＝16，b2＝12.
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1.
答案：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1
椭圆的几何性质(多维探究)
角度一 椭圆的长轴、短轴、焦距
(2020·泉州质检)已知椭圆eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,10－m)＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于( )
A．8 B．7
C．6 D．5
【解析】 因为椭圆eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,10－m)＝1的长轴在x轴上，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－2>0，,10－m>0，,m－2>10－m，))解得60)的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,4)))，则椭圆C的离心率的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(6),3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，\f(\r(3),2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，\f(2\r(2),3)))
【解析】 (1)由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝eq \r(3)c.
由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即eq \r(3)c＋c＝2a，
所以(eq \r(3)＋1)c＝2a，
故椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \r(3)－1.故选D.
(2)因为OPMN是平行四边形，
所以MN∥OP且MN＝OP，
故yN＝eq \f(a,2)，代入椭圆方程可得xN＝eq \f(\r(3)b,2)，
所以kON＝eq \f(\r(3)a,3b)＝tan α.
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,4)))，所以eq \f(\r(3),3)b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为 ．
解析：由题意可得b＝c，则b2＝a2－c2＝c2，a＝eq \r(2)c，
故椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
答案：eq \f(\r(2),2)
7．(2020·贵阳模拟)若椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，短轴长为4，则椭圆的标准方程为 ．
解析：由题意可知e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，2b＝4，得b＝2，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,a2＝b2＋c2＝4＋c2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝4，,c＝2\r(3)，))
所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1.
答案：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1
8．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为 ．
解析：通解：由椭圆C：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1，得c＝eq \r(a2－b2)＝4，不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则由题意知|MF1|＝|F1F2|＝2c＝8，于是由椭圆的定义得|MF1|＋|MF2|＝12，所以|MF2|＝12－|MF1|＝4，易知△MF1F2的底边MF2上的高h＝eq \r(|F1F2|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)|MF2|))\s\up12(2))＝eq \r(82－22)＝2eq \r(15)，所以eq \f(1,2)|MF2|·h＝eq \f(1,2)|F1F2|·yM，即eq \f(1,2)×4×2eq \r(15)＝eq \f(1,2)×8×yM，解得yM＝eq \r(15)，代入椭圆方程得xM＝－3(舍去)或xM＝3，故点M的坐标为(3，eq \r(15))．
优解：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则由题意，得|MF1|＝|F1F2|＝8，由椭圆的焦半径公式得|MF1|＝exM＋6＝eq \f(2,3)xM＋6＝8，解得xM＝3，代入椭圆方程得yM＝eq \r(15)，故点M的坐标为(3，eq \r(15))．
答案：(3，eq \r(15))
9．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3，0)和(－3，0)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．
解：(1)设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＝10，,c＝3，))因此a＝5，b＝4，
所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.
(2)易知|yP|＝4，又c＝3，
所以S△F1PF2＝eq \f(1,2)|yP|×2c＝eq \f(1,2)×4×6＝12.
10．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1有相同的离心率且经过点(2，－eq \r(3))；
(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．
解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝t1或eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝t2(t1，t2＞0)，因为椭圆过点(2，－eq \r(3))，所以t1＝eq \f(22,4)＋eq \f(（－\r(3)）2,3)＝2，或t2＝eq \f(（－\r(3)）2,4)＋eq \f(22,3)＝eq \f(25,12).
故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1或eq \f(y2,\f(25,3))＋eq \f(x2,\f(25,4))＝1.
(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，
由已知条件得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＝5＋3，,（2c）2＝52－32，))
解得a＝4，c＝2，所以b2＝12.
故椭圆的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1或eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1.
[综合题组练]
1．(2020·合肥市第二次质量检测)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP，则该椭圆的离心率是( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(2),3)
C.eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(2),2)
解析：选D.如图，由题意知，P为以F1A为直径的圆上一点，所以F1P⊥AP，结合F2B∥AP知F1P⊥F2B.又|F1B|＝|F2B|，所以△BF1F2为等腰直角三角形，所以|OB|＝|OF2|，即b＝c，所以a2＝b2＋c2＝2c2，即a＝eq \r(2)c，所以椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，故选D.
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
解析：选B.由题意设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝eq \f(a,2)，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝eq \f(1,a).在等腰三角形ABF1中，cs 2θ＝eq \f(\f(a,2),\f(3a,2))＝eq \f(1,3)，所以eq \f(1,3)＝1－2(eq \f(1,a))2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.故选B.
3．已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点．若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.
因此a＝2，c＝eq \r(2).
故椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0.
因为OA⊥OB，所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，
即tx0＋2y0＝0，
解得t＝－eq \f(2y0,x0).又xeq \\al(2,0)＋2yeq \\al(2,0)＝4，
所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(2y0,x0)))eq \s\up12(2)＋(y0－2)2
＝xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋eq \f(4yeq \\al(2,0),xeq \\al(2,0))＋4＝xeq \\al(2,0)＋eq \f(4－xeq \\al(2,0),2)＋eq \f(2（4－xeq \\al(2,0)）,xeq \\al(2,0))＋4＝eq \f(xeq \\al(2,0),2)＋eq \f(8,xeq \\al(2,0))＋4(0