2023届高考一轮复习讲义（文科）第九章　平面解析几何 第8讲　第2课时　高效演练 分层突破学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（文科）第九章　平面解析几何 第8讲　第2课时　高效演练 分层突破学案，共5页。
1．(2020·长沙市统一模拟考试)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，P是其一条渐近线上的一点，且以F1F2为直径的圆经过点P，则△PF1F2的面积为( )
A.eq \f(\r(2),2) B．1
C.eq \r(2) D．2
解析：选C.设P(x0，y0)，不妨设点P在双曲线C的过一、三象限的渐近线x－y＝0上，因此可得x0－y0＝0.F1(0，eq \r(2))，F2(0，－eq \r(2))，所以|F1F2|＝2eq \r(2)，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，又以F1F2为直径的圆经过点P，所以xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝2.由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0－y0＝0,xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝2))，得|x0|＝1，于是S△PF1F2＝eq \f(1,2)|F1F2|·|x0|＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×1＝eq \r(2)，故选C.
2．直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2＝eq \f(2,3)，则直线l过定点( )
A．(－3，0) B．(0，－3)
C．(3，0) D．(0，3)
解析：选A.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为k1k2＝eq \f(2,3)，所以eq \f(y1,x1)·eq \f(y2,x2)＝eq \f(2,3).又yeq \\al(2,1)＝2x1，yeq \\al(2,2)＝2x2，所以y1y2＝6.将直线l：x＝my＋b代入抛物线C：y2＝2x得y2－2my－2b＝0，所以y1y2＝－2b＝6，得b＝－3，即直线l的方程为x＝my－3，所以直线l过定点(－3，0)．
3．(2020·安徽合肥模拟)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(6),3)，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为 ．
解析：由e2＝1－eq \f(b2,a2)＝eq \f(6,9)，得eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,3).设M(x，y)，A(m，n)，则B(－m，－n)，k1·k2＝eq \f(y－n,x－m)·eq \f(y＋n,x＋m)＝eq \f(y2－n2,x2－m2)，①
把y2＝b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x2,a2)))，n2＝b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(m2,a2)))代入①式并化简，可得k1·k2＝－eq \f(b2,a2)＝－eq \f(1,3).
答案：－eq \f(1,3)
4．以下四个关于圆锥曲线的命题：
①设A，B为两个定点，K为正数，若||PA|－|PB||＝K，则动点P的轨迹是双曲线；
②方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
③双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1与椭圆eq \f(x2,35)＋y2＝1有相同的焦点；
④已知抛物线y2＝2px，以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切．
其中真命题为 ．(写出所有真命题的序号)
解析：A，B为两个定点，K为正数，||PA|－|PB||＝K，当K＝|AB|时，动点P的轨迹是两条射线，故①错误；
方程2x2－5x＋2＝0的两根为eq \f(1,2)和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故②正确；
双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1的焦点坐标为(±eq \r(34)，0)，椭圆eq \f(x2,35)＋y2＝1的焦点坐标为(±eq \r(34)，0)，故③正确；
设AB为过抛物线焦点F的弦，P为AB中点，A，B，P在准线l上的射影分别为M，N，Q，
因为AP＋BP＝AM＋BN，所以PQ＝eq \f(1,2)AB，
所以以AB为直径作圆，则此圆与准线l相切，故④正确．
故正确的命题有②③④.
答案：②③④
5．(2020·福建五校第二次联考)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，上顶点M到直线eq \r(3)x＋y＋4＝0的距离为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l过点(4，－2)，且与椭圆C相交于A，B两点，l不经过点M，证明：直线MA的斜率与直线MB的斜率之和为定值．
解：(1)由题意可得，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(e＝\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,\f(|b＋4|,2)＝3，,a2＝b2＋c2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝2，))
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)证明：易知直线l的斜率恒小于0，设直线l的方程为y＋2＝k(x－4)，k0，得m>eq \r(2)或mb>0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(2),2)))在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝eq \f(5,3)上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \(NQ,\s\up6(→))？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
解：(1)设椭圆C的焦距为2c，则c＝1，
因为Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(2),2)))在椭圆C上，
所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝2eq \r(2)，
所以a＝eq \r(2)，b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)不存在满足条件的直线，证明如下：
设直线的方程为y＝2x＋t，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3，\f(5,3)))，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x＋t，,\f(x2,2)＋y2＝1))消去x，
得9y2－2ty＋t2－8＝0，
所以y1＋y2＝eq \f(2t,9)，Δ＝4t2－36(t2－8)>0，
所以y0＝eq \f(y1＋y2,2)＝eq \f(t,9)，且－3