2023届高考一轮复习讲义（文科）第九章　平面解析几何 第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（文科）第九章　平面解析几何 第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系学案，共14页。学案主要包含了知识梳理，习题改编等内容，欢迎下载使用。

一、知识梳理
1．直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
2.圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req \\al(2,1)(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req \\al(2,2)(r2>0)．
常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．两圆相交时公共弦所在直线的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.
3．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半eq \f(1,2)l满足关系式r2＝d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)l))eq \s\up12(2).
二、习题改编
1．(必修2P127例1改编)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
答案：B
2．(必修2P132A组T5改编)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝ ．
答案：eq \r(10)
3．(必修2P129例3改编)两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是 ．
答案：内切
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )
(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．( )
(3)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )
(4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)(1)忽视分两圆内切与外切两种情形；
(2)忽视切线斜率k不存在的情形．
1．若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝ ．
解析：两圆的圆心距d＝eq \r(（－4）2＋a2)，由两圆相切(外切或内切)，得eq \r(（－4）2＋a2)＝5＋1或eq \r(（－4）2＋a2)＝5－1，解得a＝±2eq \r(5)或a＝0.
答案：±2eq \r(5)或0
2．已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3，1)作圆C的切线，则切线方程为 ．
解析：由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，所以切线方程为y－1＝k(x－3)，所以kx－y＋1－3k＝0，所以eq \f(|k×0－0＋1－3k|,\r(k2＋（－1）2))＝3，所以k＝－eq \f(4,3)，所以切线方程为4x＋3y－15＝0.综上，切线方程为x＝3或4x＋3y－15＝0.
答案：x＝3或4x＋3y－15＝0
直线与圆的位置关系(典例迁移)
(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外， 则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
(2)(一题多解)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是 ．
【解析】 (1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，
所以a2＋b2＞1，从而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝eq \f(|a·0＋b·0－1|,\r(a2＋b2))＝eq \f(1,\r(a2＋b2))＜1，
所以直线与圆相交．
(2)法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)1，
即eq \f(2,\r(k2＋1))>1，解得k∈(－eq \r(3)，eq \r(3))．
【答案】 (1)B (2)k∈(－eq \r(3)，eq \r(3))
【迁移探究】 (变条件)若将本例(1)的条件改为“点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1上”，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系如何？
解：由点M在圆上，得a2＋b2＝1，
所以圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝eq \f(1,\r(a2＋b2))＝1，
则直线与圆O相切．
eq \a\vs4\al()
判断直线与圆的位置关系的方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断．
(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．
①如果Δ0，那么直线与圆相交．
(2020·陕西四校联考)直线ax－by＝0与圆x2＋y2－ax＋by＝0的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定，与a，b取值有关
解析：选B.将圆的方程化为标准方程得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(b,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(a2＋b2,4)，所以圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，－\f(b,2)))，半径r＝eq \f(\r(a2＋b2),2).因为圆心到直线ax－by＝0的距离d＝eq \f(\f(a2＋b2,2),\r(a2＋b2))＝eq \f(\r(a2＋b2),2)＝r，所以直线与圆相切．故选B.
切线与圆的综合问题(多维探究)
角度一 圆的切线问题
(1)2020·宁夏银川一中一模)与3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是( )
A．4x－3y＝6 B．4x－3y＝－6
C．4x＋3y＝6 D．4x＋3y＝－6
(2)(一题多解)(2019·高考浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝ ，r＝ ．
【解析】 (1)设与直线3x＋4y＝0垂直的直线方程为l：4x－3y＋m＝0，
直线l与圆(x－1)2＋y2＝4相切，则圆心(1，0)到直线l的距离为半径2，即eq \f(|4＋m|,5)＝2，
所以m＝6或m＝－14，所以4x－3y＋6＝0，或4x－3y－14＝0，结合选项可知B正确，故选B.
(2)法一：设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，则r＝eq \r(（－2－0）2＋（－1＋2）2)＝eq \r(5).
法二：因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以eq \f(m＋1,0－（－2）)×2＝－1，所以m＝－2，r＝eq \r(（－2－0）2＋（－1＋2）2)＝eq \r(5).
【答案】 (1)B (2)－2 eq \r(5)
eq \a\vs4\al()
圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k；
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
[注意] 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，然后求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条(若通过上述方法只求出一个k，则说明另一条切线的斜率一定不存在，此时另一条切线的方程为x＝x0)．
角度二 圆的弦长问题
(1)(一题多解)(2020·安徽合肥调研)已知直线l：x＋y－5＝0与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r>0)相交所得的弦长为2eq \r(2)，则圆C的半径r＝( )
A.eq \r(2) B．2
C．2eq \r(2) D．4
(2)(2020·豫西南五校3月联考)已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，直线l1：y＝eq \r(3)x，l2：y＝kx－1，若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2，则k的值为( )
A.eq \r(3) B．1
C.eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),3)
【解析】 (1)法一：圆C的圆心为(2，1)，圆心到直线l的距离d＝eq \f(|2＋1－5|,\r(12＋12))＝eq \r(2)，又弦长为2eq \r(2)，所以2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(2)，所以r＝2，故选B.
法二：联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－5＝0，,（x－2）2＋（y－1）2＝r2，))整理得2x2－12x＋20－r2＝0，设直线与圆的两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝6，x1·x2＝eq \f(20－r2,2)，所以|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(2)×eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq \r(2)×eq \r(36－2（20－r2）)＝2eq \r(2)，解得r＝2.
(2)圆C：(x－2)2＋y2＝4的圆心为C(2，0)，半径为2，圆心到直线l1：y＝eq \r(3)x的距离d1＝eq \f(2\r(3),2)＝eq \r(3)，
所以l1被圆C所截得的弦长为2eq \r(4－3)＝2.圆心到直线l2的距离d2＝eq \f(|2k－1|,\r(k2＋1))，
所以l2被圆C所截得的弦长为4＝2eq \r(4－deq \\al(2,2))，
所以d2＝0.
所以2k－1＝0，解得k＝eq \f(1,2)，故选C.
【答案】 (1)B (2)C
eq \a\vs4\al()
求直线被圆截得的弦长的常用方法
(1)几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2eq \r(r2－d2)；
(2)代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|.
1．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋eq \r(5)＝0或2x＋y－eq \r(5)＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋eq \r(5)＝0或2x－y－eq \r(5)＝0
解析：选A.设直线方程为2x＋y＋c＝0，由直线与圆相切，得d＝eq \f(|c|,\r(5))＝eq \r(5)，c＝±5，所以所求方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.
2．(2020·河北石家庄质检)已知a∈R且为常数，圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，过圆C内一点(1，2)的直线l与圆C相交于A，B两点．当∠ACB最小时，直线l的方程为2x－y＝0，则a的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B.圆的方程配方，得(x＋1)2＋(y－a)2＝1＋a2，圆心为C(－1，a)，当弦AB最短时，∠ACB最小，此时圆心C与定点(1，2)的连线和直线2x－y＝0垂直，所以eq \f(a－2,－1－1)×2＝－1，解得a＝3.
3．(2020·山东枣庄期末改编)若点P(1，1)为圆x2＋y2－6x＝0中弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程为 ，|AB|＝ ．
解析：圆x2＋y2－6x＝0的标准方程为(x－3)2＋y2＝9.又因为点P(1，1)为圆中弦AB的中点，所以圆心与点P所在直线的斜率为eq \f(1－0,1－3)＝－eq \f(1,2)，故弦AB所在直线的斜率为2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.圆心(3，0)与点P(1，1)之间的距离d＝eq \r(5)，圆的半径r＝3，则|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝4.
答案：2x－y－1＝0 4
圆与圆的位置关系(师生共研)
(1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq \r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
(2)两圆C1：x2＋y2＋4x＋y＋1＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0相交于A，B两点，则|AB|＝ ．
【解析】 (1)由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝eq \f(a,\r(2))，所以2eq \r(a2－\f(a2,2))＝2eq \r(2)，解得a＝2，圆M，圆N的圆心距|MN|＝eq \r(2)，小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差1，故两圆相交．
(2)由(x2＋y2＋4x＋y＋1)－(x2＋y2＋2x＋2y＋1)＝0得弦AB所在直线方程为2x－y＝0.
圆C2的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，
圆心C2(－1，－1)，半径r2＝1.
圆心C2到直线AB的距离
d＝eq \f(|2×（－1）－（－1）|,\r(5))＝eq \f(1,\r(5)) .
所以|AB|＝2eq \r(req \\al(2,2)－d2)＝2eq \r(1－\f(1,5))＝eq \f(4\r(5),5).
【答案】 (1)B (2)eq \f(4\r(5),5)
eq \a\vs4\al()
(1)几何法判断圆与圆的位置关系的步骤
①确定两圆的圆心坐标和半径；
②利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，并求r1＋r2，|r1－r2|；
③比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，然后写出结论．
(2)两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一个圆中，由弦心距d，半弦长eq \f(l,2)，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．
1．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为( )
A．2 B．－5
C．2或－5 D．不确定
解析：选C.由圆心C1(m，－2)，r1＝3；圆心C2(－1，m)，r2＝2；
则两圆心之间的距离为|C1C2|＝eq \r(（m＋1）2＋（－2－m）2)＝2＋3＝5，
解得m＝2或－5.故选C.
2．(2020·江苏南师大附中期中改编)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点A(0，－8)，且与圆x2＋y2－6x－6y＝0相切于原点，则圆C的方程为 ，圆C被x轴截得的弦长为 ．
解析：将已知圆化为标准式得(x－3)2＋(y－3)2＝18，圆心为(3，3)，半径为3eq \r(2).由于两个圆相切于原点，连心线过切点，故圆C的圆心在直线y＝x上．由于圆C过点(0，0)，(0，－8)，所以圆心又在直线y＝－4上．联立y＝x和y＝－4，得圆心C的坐标(－4，－4)．又因为点(－4，－4)到原点的距离为4eq \r(2)，所以圆C的方程为(x＋4)2＋(y＋4)2＝32，即x2＋y2＋8x＋8y＝0.圆心C到x轴距离为4，则圆C被x轴截得的弦长为2×eq \r(（4\r(2)）2－42)＝8.
答案：x2＋y2＋8x＋8y＝0 8
核心素养系列17 直观想象——解决直线与圆的综合问题
直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础．
已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，eq \r(2))，则四边形ABCD的面积的最大值为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
【解析】 由已知，圆心为O(0，0)，半径为2.
设圆心O到AC，BD的距离分别为d1，d2，作OE⊥AC，OF⊥BD，垂足分别为E，F，则四边形OEMF为矩形，连接OM，则deq \\al(2,1)＋deq \\al(2,2)＝OM2＝3.又|AC|＝2eq \r(4－deq \\al(2,1))，|BD|＝2eq \r(4－deq \\al(2,2))，
所以S四边形ABCD＝eq \f(1,2)|AC|·|BD|＝2eq \r(4－deq \\al(2,1))·eq \r(4－deq \\al(2,2))≤(4－deq \\al(2,1))＋(4－deq \\al(2,2))＝8－(deq \\al(2,1)＋deq \\al(2,2))＝5，当且仅当d1＝d2时取等号，即四边形ABCD的面积的最大值为5.
【答案】 A
eq \a\vs4\al()
直线与圆综合问题的求法
(1)圆与直线l相切的情形
圆心到l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l.
(2)圆与直线l相交的情形
①圆心到l的距离小于半径，过圆心且垂直于l的直线平分l被圆截得的弦．
②连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦．
③过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．
1．(2020·聊城模拟)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.因为圆心到直线的距离为eq \f(|9＋12－11|,5)＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．
2．P在直线l：x＋y＝2上，过P作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则四边形OAPB面积的最小值为 ．
解析：连接OP，OA，OB，
则S四边形OAPB＝|OA|·|PA|＝|OA|·eq \r(|OP|2－|OA|2)＝eq \r(|OP|2－1).
而|OP|的最小值为|OP|min＝eq \f(2,\r(12＋12))＝eq \r(2)，
所以(S四边形OAPB)min＝1.
答案：1
[基础题组练]
1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．外切 D．内切
解析：选B.圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径长r1＝1，圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径长r2＝2，所以两圆的圆心距d＝eq \r(5)，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有r2－r1