2023届高考一轮复习讲义（文科）第七章　不等式第2讲　高效演练分层突破学案

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这是一份2023届高考一轮复习讲义（文科）第七章　不等式第2讲　高效演练分层突破学案，共5页。

1．不等式2x2－x－3>0的解集为( )
A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x>\f(3,2)或x<－1))))
C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x>1或x<\f(3,2)))))
解析：选B.由2x2－x－3>0，得(x＋1)(2x－3)>0，解得x>eq \f(3,2)或x<－1.
所以不等式2x2－x－3>0的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x>\f(3,2)或x<－1)))).
2．若集合A＝{x|x2＋x－2<0}，集合B＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)>1))))，则A∩B＝( )
A．(－1，2) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，1) D．(－1，0)∪(0，1)
解析：选D.因为A＝{x|－23．若不等式ax2＋bx＋2<0的解集为{x|x<－eq \f(1,2)，或x>eq \f(1,3)}，则eq \f(a－b,a)的值为( )
A.eq \f(5,6) B.eq \f(1,6)
C．－eq \f(1,6) D．－eq \f(5,6)
解析：选A.由题意得方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－eq \f(1,2)与eq \f(1,3)，所以－eq \f(b,a)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＝－eq \f(1,6)，则eq \f(a－b,a)＝1－eq \f(b,a)＝1－eq \f(1,6)＝eq \f(5,6).
4．(2020·安徽淮北一中模拟)若(x－1)(x－2)<2，则(x＋1)(x－3)的取值范围是( )
A．(0，3) B．[－4，－3)
C．[－4，0) D．(－3，4]
解析：选C.由(x－1)(x－2)<2解得05．若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．[－1，4]
B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
D．[－2，5]
解析：选A.x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，
只需a2－3a≤4即可，解得－1≤a≤4.
6．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是．
解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得0答案：{x|07．若00的解集是．
解析：原不等式可化为(x－a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))<0，由0答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(1,a)))
8．规定符号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b＝eq \r(ab)＋a＋b(a，b为非负实数)，若1⊙k2<3，则k的取值范围是．
解析：因为定义a⊙b＝eq \r(ab)＋a＋b(a，b为非负实数)，1⊙k2<3，所以eq \r(k2)＋1＋k2<3，
化为(|k|＋2)(|k|－1)<0，所以|k|<1，所以－1答案：(－1，1)
9．若不等式ax2＋5x－2>0的解集是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)(1)求实数a的值；
(2)求不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集．
解：(1)由题意知a<0，且方程ax2＋5x－2＝0的两个根为eq \f(1,2)，2，代入方程解得a＝－2.
(2)由(1)知不等式ax2－5x＋a2－1>0，
即为－2x2－5x＋3>0，即2x2＋5x－3<0，解得－30的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，\f(1,2))).
10．函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)因为当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
所以实数a的取值范围是[－6，2]．
(2)当x∈[－2，2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0恒成立，分如下三种情况讨论(如图所示)：
①如图①，当g(x)的图象恒在x轴或x轴上方且满足条件时，有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.
②如图②，g(x)的图象与x轴有交点，
但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ≥0，,x＝－\f(a,2)≤－2，,g（－2）≥0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－4（3－a）≥0，,－\f(a,2)≤－2，,4－2a＋3－a≥0，))
可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a≥2或a≤－6，,a≥4，,a≤\f(7,3)，))解得a∈∅.
③如图③，g(x)图象与x轴有交点，但当x∈(－x，2]时，g(x)≥0.即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ≥0，,x＝\f(a,－2)≥2，,g（2）≥0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－4（3－a）≥0，,－\f(a,2)≥2，,7＋a≥0，))可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a≥2或a≤－6，,a≤－4，,a≥－7.))所以－7≤a≤－6.
综上，实数a的取值范围是[－7，2]．

[综合题组练]
1．若关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中，恰有3个整数，则实数a的取值范围是( )
A．(4，5) B．(－3，－2)∪(4，5)
C．(4，5] D．[－3，－2)∪(4，5]
解析：选D.将不等式x2－(a＋1)x＋a<0化为(x－1)(x－a)<0.当a>1时，得12．(创新型)(2020·湖南长沙模拟)定义运算：x⊗y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x，xy≥0，,y，xy<0，))例如：3⊗4＝3，(－2)⊗4＝4，则函数f(x)＝x2⊗(2x－x2)的最大值为．
解析：由已知得f(x)＝x2⊗(2x－x2)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2，x2（2x－x2）≥0，,2x－x2，x2（2x－x2）<0))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2，0≤x≤2，,2x－x2，x<0或x>2，))易知函数f(x)的最大值为4.
答案：4
3．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加eq \f(8,5)x成．要求售价不能低于成本价．
(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；
(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．
解：(1)由题意得，y＝100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x,10)))·100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(8,50)x)).
因为售价不能低于成本价，所以100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x,10)))－80≥0，解得0≤x≤2.所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，定义域为{x|0≤x≤2}．
(2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260，化简得8x2－30x＋13≤0.解得eq \f(1,2)≤x≤eq \f(13,4).所以x的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)).
4．(2020·湖北孝感3月模拟)设关于x的一元二次方程ax2＋x＋1＝0(a>0)有两个实根x1，x2.
(1)求(1＋x1)(1＋x2)的值；
(2)求证：x1<－1且x2<－1；
(3)如果eq \f(x1,x2)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,10)，10))，试求a的取值范围．
解：(1)因为关于x的一元二次方程ax2＋x＋1＝0(a>0)有两个实根x1，x2.
所以x1＋x2＝－eq \f(1,a)，x1x2＝eq \f(1,a)，
则(1＋x1)(1＋x2)＝1＋x1＋x2＋x1·x2＝1－eq \f(1,a)＋eq \f(1,a)＝1.
(2)证明：由Δ≥0，得0设f(x)＝ax2＋x＋1，则f(x)的对称轴与x轴交点横坐标x＝－eq \f(1,2a)≤－2，
又由于f(－1)＝a>0，
所以f(x)的图象与x轴的交点均位于点(－1，0)的左侧，
故x1<－1且x2<－1.
(3)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－\f(1,a)，,x1·x2＝\f(1,a)))⇒eq \f(（x1＋x2）2,x1·x2)＝eq \f(x1,x2)＋eq \f(x2,x1)＋2＝eq \f(1,a).
因为eq \f(x1,x2)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,10)，10))，所以eq \f(1,a)＝eq \f(x1,x2)＋eq \f(x2,x1)＋2∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4，\f(121,10)))⇒a∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(10,121)，\f(1,4))).
又eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝1－4a≥0))⇒0所以a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(10,121)，\f(1,4))).

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