2023届高考一轮复习讲义（文科）第三章　导数及其应用 第3讲　高效演练 分层突破学案

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1．函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是( )
A．25，－2 B．50，14
C．50，－2 D．50，－14
解析：选C.因为f(x)＝2x3＋9x2－2，所以f′(x)＝6x2＋18x，当x∈[－4，－3)或x∈(0，2]时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当x∈(－3，0)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，由f(－4)＝14，f(－3)＝25，f(0)＝－2，f(2)＝50，故函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是50，－2.
2．已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(1,2)))内单调递增；
②当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值；
③函数y＝f(x)在区间(－2，2)内单调递增；
④当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值．
则上述判断正确的是( )
A．①② B．②③
C．①②④ D．③④
解析：选B.对于①，函数y＝f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(1,2)))内有增有减，故①不正确；
对于②，当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值，故②正确；
对于③，当x∈(－2，2)时，恒有f′(x)>0，则函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增，故③正确；
对于④，当x＝3时，f′(x)≠0，故④不正确．
3．已知函数f(x)＝2f′(1)ln x－x，则f(x)的极大值为( )
A．2 B．2ln 2－2
C．e D．2－e
解析：选B.函数f(x)定义域(0，＋∞)，f′(x)＝eq \f(2f′（1）,x)－1，所以f′(1)＝1，f(x)＝2ln x－x，令f′(x)＝eq \f(2,x)－1＝0，解得x＝2.当02时，f′(x)0，g(x)＝6x2－2x＋1的Δ＝－200恒成立，故f′(x)>0恒成立，
即f(x)在定义域上单调递增，无极值点．
6．函数f(x)＝x3－3x2＋4在x＝ 处取得极小值．
解析：由f′(x)＝3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2.列表
所以在x＝2处取得极小值．
答案：2
7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1.若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为6，则实数a＝ ；若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是 ．
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，结合题意f′(1)＝3a＋9＝6，解得a＝－1；若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则f′(x)＝0在(－1，3)内有2个不相等的实数根，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ＝4a2－12（a＋6）>0，,f′（－1）>0，,f′（3）>0，))解得－eq \f(33,7)