2023届高考一轮复习讲义（文科）第三章　导数及其应用 第4讲　第2课时　利用导数探究函数零点问题学案

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判断、证明或讨论函数零点个数(师生共研)
(2019·高考全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)＝2sin x－xcs x－x，f′(x)为f(x)的导数．证明：f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点．
【证明】 设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cs x＋xsin x－1，g′(x)＝xcs x.
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，g′(x)>0；当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，g′(x)0，g(π)＝－2，故g(x)在(0，π)存在唯一零点．
所以f′(x)在(0，π)存在唯一零点．
eq \a\vs4\al()
利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法
(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．
(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
已知f(x)＝eq \f(1,x)＋eq \f(ex,e)－3，F(x)＝ln x＋eq \f(ex,e)－3x＋2.
(1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性；
(2)判断函数F(x)在(0，＋∞)上零点的个数．
解：(1)f′(x)＝－eq \f(1,x2)＋eq \f(ex,e)＝eq \f(x2ex－e,ex2)，
令f′(x)＞0，解得x＞1，令f′(x)