2023届高考一轮复习讲义（文科）第十一章　统计与统计案例 第2讲　高效演练 分层突破学案

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A．0.05 B．0.25
C．0.5 D．0.7
解析：选D.由题知，在区间[10，50)上的数据的频数是2＋3＋4＋5＝14，故其频率为eq \f(14,20)＝0.7.
2．(2019·高考全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．极差
解析：选A.记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的顺序排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A.
3．(2020·陕西咸阳模拟检测(二))PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世界卫生组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35 μg/m3以下空气质量为一级，在35～75μg/m3空气质量为二级，超过75 μg/m3为超标．如图是某地12月1日至10日的PM2.5(单位：μg/m3)的日均值，则下列说法不正确的是( )
A．这10天中有3天空气质量为一级
B．从6日到9日PM2.5日均值逐渐降低
C．这10天中PM2.5日均值的中位数是55
D．这10天中PM2.5日均值最高的是12月6日
解析：选C.这10天中第一天，第三天和第四天，共3天空气质量为一级，所以A正确；
从题图可知从6日到9日PM2.5日均值逐渐降低，所以B正确；
从题图可知，这10天中PM2.5日均值最高的是12月6日，所以D正确；
由题图可知，这10天中PM2.5日均值的中位数是eq \f(41＋45,2)＝43，
所以C不正确．故选C.
4．甲、乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数中相同的是( )
A．极差 B．方差
C．平均数 D．中位数
解析：选C.由题中茎叶图中数据的分布，可知方差不同，极差不同，
甲的中位数为eq \f(16＋21,2)＝18.5，乙的中位数为eq \f(14＋18,2)＝16，
eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(5＋16＋12＋25＋21＋37,6)＝eq \f(58,3)，
eq \(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1＋6＋14＋18＋38＋39,6)＝eq \f(58,3)，
所以甲、乙的平均数相同．故选C.
5．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目的选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是 ．
解析：由题表中数据可知，丙的平均环数最高，且方差最小，说明技术稳定，且成绩好．
答案：丙
6．对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25，30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：
(1)[25，30)年龄组对应小矩形的高度为 ；
(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25，35)的人数为 ．
解析：设[25，30)年龄组对应小矩形的高度为h，则5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04.则志愿者年龄在[25，35)年龄组的频率为5×(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年龄在[25，35)年龄组的人数约为0.55×800＝440.
答案：(1)0.04 (2)440
7．某校1 200名高三年级学生参加了一次数学测验(满分为100分)，为了分析这次数学测验的成绩，从这1 200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题：
(1)求a、b、c的值；
(2)如果从这1 200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P(注：60分及60分以上为及格)；
(3)试估计这次数学测验的年级平均分．
解：(1)由题意可得，b＝1－(0.015＋0.125＋0.5＋0.31)＝0.05，a＝200×0.05＝10，c＝200×0.5＝100.
(2)根据已知，在抽出的200人的数学成绩中，及格的有162人．所以P＝eq \f(162,200)＝0.81.
(3)这次数学测验样本的平均分为
eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(16×3＋32.1×10＋55×25＋74×100＋88×62,200)＝73，
所以这次数学测验的年级平均分大约为73分．
8．为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制图如下：
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：
甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．
(1)根据图中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；
(2)根据图中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．
解：(1)甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数为36，众数为33.
(2)根据题图中数据，可估算甲公司的每位员工该月所得劳务费为4.5×36×30＝4 860(元)，易知乙公司员工B每天所得劳务费X的可能取值为136，147，154，189，203，
所以乙公司的每位员工该月所得劳务费约为eq \f(1,10)×(136×1＋147×3＋154×2＋189×3＋203×1)×30＝165.5×30＝4 965(元)．
[综合题组练]
1．(2020·安徽五校联盟第二次质检)数据a1，a2，a3，…，an的方差为σ2，则数据2a1，2a2，2a3，…，2an的方差为( )
A.eq \f(σ2,2) B．σ2
C．2σ2 D．4σ2
解析：选D.设a1，a2，a3，…，an的平均数为a，则2a1，2a2，2a3，…，2an的平均数为2a，σ2＝eq \f(（a1－a）2＋（a2－a）2＋（a3－a）2＋…＋（an－a）2,n).
则2a1，2a2，2a3，…，2an的方差为eq \f(（2a1－2a）2＋（2a2－2a）2＋（2a3－2a）2＋…＋（2an－2a）2,n)＝4×eq \f(（a1－a）2＋（a2－a）2＋（a3－a）2＋…＋（an－a）2,n)＝4σ2.故选D.
2.(2020·郑州市第二次质量预测)将甲、乙两个篮球队各5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是( )
A．甲队平均得分高于乙队的平均得分
B．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数
C．甲队得分的方差大于乙队得分的方差
D．甲、乙两队得分的极差相等
解析：选C.由题中茎叶图得，甲队的平均得分eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(26＋28＋29＋31＋31,5)＝29，乙队的平均得分eq \(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(28＋29＋30＋31＋32,5)＝30，eq \(x,\s\up6(－))甲seq \\al(2,乙)，选项C正确；甲队得分的极差为31－26＝5，乙队得分的极差为32－28＝4，两者不相等，选项D不正确．故选C.
3.(2020·沈阳市质量监测(一))某篮球运动员的投篮命中率为50%，他想提高自己的投篮水平，制定了一个夏季训练计划，为了了解训练效果，执行训练前，他统计了10场比赛的得分，计算出得分的中位数为15，平均得分为15，得分的方差为46.3.执行训练后也统计了10场比赛的得分，茎叶图如图所示：
(1)请计算该篮球运动员执行训练后统计的10场比赛得分的中位数、平均得分与方差；
(2)如果仅从执行训练前后统计的各10场比赛得分数据分析，你认为训练计划对该运动员的投篮水平的提高是否有帮助？为什么？
解：(1)训练后得分的中位数为eq \f(14＋15,2)＝14.5；
平均得分为eq \f(8＋9＋12＋14＋14＋15＋16＋18＋21＋23,10)＝15；
方差为eq \f(1,10)[(8－15)2＋(9－15)2＋(12－15)2＋(14－15)2＋(14－15)2＋(15－15)2＋(16－15)2＋(18－15)2＋(21－15)2＋(23－15)2]＝20.6.
(2)尽管中位数训练后比训练前稍小，但平均得分一样，训练后方差20.6小于训练前方差46.3，说明训练后得分稳定性提高了(阐述观点合理即可)，这是投篮水平提高的表现．故此训练计划对该篮球运动员的投篮水平的提高有帮助．
4．(2020·广州市调研测试)某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每千克25元，成本为每千克15元．销售宗旨是当天进货当天销售．如果当天卖不出去，未售出的全部降价以每千克10元处理完．根据以往的销售情况，按[0，100)，[100，200)，[200，300)，[300，400)，[400，500]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数eq \(x,\s\up6(－))(同一组中的数据用该组区间中点值代表)；
(2)该经销商某天购进了250千克该种蔬果，假设当天的需求量为x千克(0≤x≤500)，利润为y元．求y关于x的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润y不小于1 750元的概率．
解：(1)eq \(x,\s\up6(－))＝50×0.001 0×100＋150×0.002 0×100＋250×0.003 0×100＋350×0.002 5×100＋450×0.001 5×100＝265.
故该种蔬果日需求量的平均数为265千克．
(2)当日需求量不低于250千克时，利润y＝(25－15)×250＝2 500(元)，
当日需求量低于250千克时，利润y＝(25－15)x－(250－x)×5＝15x－1 250(元)，
所以y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(15x－1 250，0≤x<250,2 500，250≤x≤500))，
由y≥1 750，得200≤x≤500，
所以P(y≥1 750)＝P(200≤x≤500)＝0.003 0×100＋0.002 5×100＋0.001 5×100＝0.7.
故估计利润y不小于1 750元的概率为0.7.
甲
乙
丙
丁
平均环数eq \(x,\s\up6(－))
8.3
8.8
8.8
8.7
方差s2
3.5
3.6
2.2
5.4
成绩分组
频数
频率
平均分
[0，20)
3
0.015
16
[20，40)
a
b
32.1
[40，60)
25
0.125
55
[60，80)
c
0.5
74
[80，100]
62
0.31
88