2023届高考一轮复习讲义（文科）第十二章　复数、算法、推理与证明 第4讲　高效演练 分层突破学案

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1．(2020·衡阳示范高中联考(二))用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个是偶数”的正确假设为( )
A．自然数a，b，c中至少有两个偶数
B．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
C．自然数a，b，c都是奇数
D．自然数a，b，c都是偶数
解析：选B.“自然数a，b，c中恰有一个是偶数”说明有且只有一个是偶数，其否定是“自然数a，b，c均为奇数或自然数a，b，c中至少有两个偶数”．
2．分析法又称执果索因法，已知x>0，用分析法证明eq \r(1＋x)2 B．x2>4
C．x2>0 D．x2>1
解析：选C.因为x>0，所以要证eq \r(1＋x)0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
解析：选A.由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，
由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)2，即eq \f(b,a)＋eq \f(c,a)0且eq \f(c,a)>0，即a，b，c同号．
2．(应用型)(一题多解)若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]内至少存在一点c，使f(c)＞0，则实数p的取值范围是 ．
解析：法一(补集法)：f(x)在区间[－1，1]内至少存在一点c.使f(c)>0，该结论的否定是对于区间[－1，1]内的任意一点c，都有f(c)≤0，
令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（－1）＝－2p2＋p＋1≤0，,f（1）＝－2p2－3p＋9≤0，))解得p≤－3或p≥eq \f(3,2)，
故满足条件的p的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，\f(3,2))).
法二(直接法)：依题意有f(－1)＞0或f(1)＞0，
即2p2－p－1＜0或2p2＋3p－9＜0，
得－eq \f(1,2)＜p＜1或－3＜p＜eq \f(3,2)，
故满足条件的p的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，\f(3,2))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，\f(3,2)))
3．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0c.
4．(综合型)若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a＜b)，则称函数f(x)是[a，b]上的“四维光军”函数．
(1)设g(x)＝eq \f(1,2)x2－x＋eq \f(3,2)是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值；
(2)是否存在常数a，b(a＞－2)，使函数h(x)＝eq \f(1,x＋2)是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)由已知得g(x)＝eq \f(1,2)(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，
所以函数在区间[1，b]上单调递增，由“四维光军”函数的定义可知 ，g(1)＝1，g(b)＝b，
即eq \f(1,2)b2－b＋eq \f(3,2)＝b，
解得b＝1或b＝3.
因为b＞1，所以b＝3.
(2)假设函数h(x)＝eq \f(1,x＋2)在区间[a，b](a＞－2)上是“四维光军”函数，
因为h(x)＝eq \f(1,x＋2)在区间(－2，＋∞)上单调递减，
所以有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(h（a）＝b，,h（b）＝a，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,a＋2)＝b，,\f(1,b＋2)＝a))
解得a＝b，这与已知矛盾．故不存在．