2023届高考一轮复习讲义（文科）第四章　三角函数、解三角形 第3讲　第2课时　简单的三角恒等变换学案

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三角函数式的化简(师生共研)
化简：(1)sin(α＋β)cs(γ－β)－cs(β＋α)sin(β－γ)＝ ；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,tan \f(α,2))－tan \f(α,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋tan α·tan \f(α,2)))＝ ．
【解析】 (1)sin(α＋β)cs(γ－β)－cs(β＋α)sin(β－γ)
＝sin(α＋β)cs(β－γ)－cs(α＋β)sin(β－γ)
＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ)．
(2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs \f(α,2),sin \f(α,2))－\f(sin \f(α,2),cs \f(α,2))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(sin α,cs α)·\f(sin \f(α,2),cs \f(α,2))))
＝eq \f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin \f(α,2)cs \f(α,2))·eq \f(cs αcs \f(α,2)＋sin αsin \f(α,2),cs αcs \f(α,2))
＝eq \f(2cs α,sin α)·eq \f(cs \f(α,2),cs αcs \f(α,2))＝eq \f(2,sin α).
【答案】 (1)sin(α＋γ) (2)eq \f(2,sin α)
eq \a\vs4\al()
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(2)三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
1．(2020·长沙模拟)化简：eq \f(2sin（π－α）＋sin 2α,cs2\f(α,2))＝ ．
解析：eq \f(2sin（π－α）＋sin 2α,cs2\f(α,2))＝eq \f(2sin α＋2sin αcs α,\f(1,2)（1＋cs α）)＝
eq \f(4sin α（1＋cs α）,1＋cs α)＝4sin α.
答案：4sin α
2．化简：eq \f(2cs4x－2cs2x＋\f(1,2),2tan \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))).
解：原式＝eq \f(－2sin2xcs2x＋\f(1,2),\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))
＝eq \f(\f(1,2)（1－sin22x）,2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)))
＝eq \f(\f(1,2)cs22x,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x)))
＝eq \f(1,2)cs 2x.
三角函数式的求值(多维探究)
角度一 给角求值
计算eq \f(2cs 10°－2\r(3)cs（－100°）,\r(1－sin 10°))＝ ．
【解析】 eq \f(2cs 10°－2\r(3)cs（－100°）,\r(1－sin 10°))
＝eq \f(2cs 10°＋2\r(3)sin 10°,\r(1－sin 10°))
＝eq \f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°＋\f(\r(3),2)sin 10°)),\r(1－2sin 5°cs 5°))＝eq \f(4cs 50°,cs 5°－sin 5°)
＝eq \f(4cs 50°,\r(2)cs 50°)＝2eq \r(2).
【答案】 2eq \r(2)
角度二 给值求值
已知α，β为锐角，tan α＝eq \f(4,3)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5).
(1)求cs 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
【解】 (1)因为tan α＝eq \f(4,3)，tan α＝eq \f(sin α,cs α)，所以sin α＝eq \f(4,3)cs α.
因为sin2 α＋cs2 α＝1，所以cs2 α＝eq \f(9,25)，
因此，cs 2α＝2cs2 α－1＝－eq \f(7,25).
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，
所以sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2（α＋β）)＝eq \f(2\r(5),5)，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝eq \f(4,3)，所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2 α)＝－eq \f(24,7)，
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝eq \f(tan 2α－tan（α＋β）,1＋tan 2αtan（α＋β）)＝－eq \f(2,11).
角度三 给值求角
(一题多解)在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为eq \f(2\r(7),7)，点Q的纵坐标为eq \f(3\r(3),14)，则2α－β的值为 ．
【解析】 法一：由已知可知cs α＝eq \f(2\r(7),7)，sin β＝eq \f(3\r(3),14).
又α，β为锐角，所以sin α＝eq \f(\r(21),7)，cs β＝eq \f(13,14).
因此cs 2α＝2cs2α－1＝eq \f(1,7)，sin 2α＝2sin αcs α＝eq \f(4\r(3),7)，
所以sin(2α－β)＝eq \f(4\r(3),7)×eq \f(13,14)－eq \f(1,7)×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(\r(3),2).
因为α为锐角，所以0＜2α＜π.
又cs 2α＞0，所以0＜2α＜eq \f(π,2)，
又β为锐角，所以－eq \f(π,2)＜2α－β＜eq \f(π,2)，
又sin(2α－β)＝eq \f(\r(3),2)，所以2α－β＝eq \f(π,3).
法二：同法一得，cs β＝eq \f(13,14)，sin α＝eq \f(\r(21),7).
因为α，β为锐角，所以α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
所以sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β＝eq \f(\r(21),7)×eq \f(13,14)－eq \f(2\r(7),7)×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(\r(21),14).
所以sin(α－β)＞0，故α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
故cs(α－β)＝eq \r(1－sin2（α－β）)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(21),14)))\s\up12(2))＝eq \f(5\r(7),14).
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以2α－β＝α＋(α－β)∈(0，π)．
所以cs(2α－β)＝cs[α＋(α－β)]＝cs αcs(α－β)－sin α·sin(α－β)＝eq \f(2\r(7),7)×eq \f(5\r(7),14)－eq \f(\r(21),7)×eq \f(\r(21),14)＝eq \f(1,2).
所以2α－β＝eq \f(π,3).
【答案】 eq \f(π,3)
eq \a\vs4\al()
三角函数求值的3种情况
1．计算：eq \f(4tan\f(π,12),3tan2\f(π,12)－3)＝( )
A.eq \f(2\r(3),3) B．－eq \f(2\r(3),3)
C.eq \f(2\r(3),9) D．－eq \f(2\r(3),9)
解析：选D.原式＝－eq \f(2,3)·eq \f(2tan\f(π,12),1－tan2\f(π,12))＝－eq \f(2,3)taneq \f(π,6)＝－eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),3)＝－eq \f(2\r(3),9).
2．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,7)，且α为第二象限角，若β＝eq \f(π,8)，则sin(α－2β)cs 2β－cs(α－2β)sin 2β＝( )
A．－eq \f(3,5) B.eq \f(3,5)
C．－eq \f(4,5) D．eq \f(4,5)
解析：选D.taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝eq \f(1,7)，所以tan α＝－eq \f(3,4)，又α为第二象限角，所以cs α＝－eq \f(4,5)，所以sin(α－2β)·cs 2β－cs(α－2β)sin 2β＝sin(α－4β)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))＝－cs α＝eq \f(4,5)，故选D.
3．(2020·湖南长郡中学模拟改编)若α，β为锐角，且sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin β＝eq \f(\r(10),10)，则cs(α＋β)＝ ，α＋β＝ ．
解析：因为α，β为锐角，sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin β＝eq \f(\r(10),10)，所以cs α＝eq \f(2\r(5),5)，cs β＝eq \f(3\r(10),10)，所以cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2).又0＜α＋β＜π，所以cs(α＋β)＝eq \f(\r(2),2)，α＋β＝eq \f(π,4).
答案：eq \f(\r(2),2) eq \f(π,4)
[基础题组练]
1．已知sin 2α＝eq \f(2,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D．eq \f(2,3)
解析：选A.cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs 2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))),2)
＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2))),2)＝eq \f(1－sin 2α,2)，又sin 2α＝eq \f(2,3)，
所以原式＝eq \f(1－\f(2,3),2)＝eq \f(1,6)，故选A.
2.eq \f(sin 10°,1－\r(3)tan 10°)＝( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D．1
解析：选A.eq \f(sin 10°,1－\r(3)tan 10°)＝eq \f(sin 10°cs 10°,cs 10°－\r(3)sin 10°)
＝eq \f(2sin 10°cs 10°,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)))＝eq \f(sin 20°,4sin（30°－10°）)＝eq \f(1,4).
3．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为( )
A．－eq \f(\r(3),5) B.eq \f(3\r(3),5)
C.eq \f(\r(3),19) D．eq \f(\r(3),7)
解析：选D.由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝2eq \r(3)，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝eq \f(tan（α＋80°）－tan 60°,1＋tan（α＋80°）tan 60°)＝eq \f(2\r(3)－\r(3),1＋2\r(3)×\r(3))＝eq \f(\r(3),7).故选D.
4．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))＝－eq \f(1,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－cs α＝( )
A．±eq \f(\r(3),3) B．－eq \f(\r(6),3)
C.eq \f(\r(6),3) D．±eq \f(\r(6),3)
解析：选D.sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－cs α＝sin αcs eq \f(π,6)＋cs αsin eq \f(π,6)－cs α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))，而cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝－eq \f(1,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝±eq \f(\r(6),3)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－cs α＝±eq \f(\r(6),3)，故选D.
5．若eq \f(\r(2)cs 2θ,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ)))＝eq \r(3)·sin 2θ，则sin 2θ＝( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3)
C．－eq \f(2,3) D．－eq \f(1,3)
解析：选C.由题意知eq \f(2（cs2θ－sin2θ）,cs θ－sin θ)＝eq \r(3)sin 2θ，
所以2(cs θ＋sin θ)＝eq \r(3)sin 2θ，
则4(1＋sin 2θ)＝3sin22θ，
因此sin 2θ＝－eq \f(2,3)或sin 2θ＝2(舍)．
6．已知cs 2θ＝eq \f(4,5)，则sin4θ＋cs4θ＝ ．
解析：法一：因为cs 2θ＝eq \f(4,5)，
所以2cs2θ－1＝eq \f(4,5)，1－2sin2θ＝eq \f(4,5)，
因为cs2θ＝eq \f(9,10)，sin2θ＝eq \f(1,10)，
所以sin4θ＋cs4θ＝eq \f(41,50).
法二：sin4θ＋cs4θ＝(sin2θ＋cs2θ)2－eq \f(1,2)sin22θ
＝1－eq \f(1,2)(1－cs22θ)＝1－eq \f(1,2)×eq \f(9,25)＝eq \f(41,50).
答案：eq \f(41,50)
7．(2020·贵州黔东南一模改编)已知sin α＋3cs α＝－eq \r(10)，则tan 2α＝ ．
解析：因为(sin α＋3cs α)2＝sin2α＋6sin αcs α＋9cs2α＝10(sin2α＋cs2α)，所以9sin2α－6sin αcs α＋cs2α＝0，则(3tan α－1)2＝0，即tan α＝eq \f(1,3).所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(3,4).
答案：eq \f(3,4)
8．tan 70°·cs 10°(eq \r(3)tan 20°－1)等于 ．
解析：tan 70°·cs 10°(eq \r(3)tan 20°－1)
＝eq \f(sin 70°,cs 70°)·cs 10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)·\f(sin 20°,cs 20°)－1))
＝eq \f(cs 20°cs 10°,sin 20°)·eq \f(\r(3)sin 20°－cs 20°,cs 20°)
＝eq \f(cs 10°·2sin（20°－30°）,sin 20°)＝eq \f(－sin 20°,sin 20°)＝－1.
答案：－1
9．已知tan α＝－eq \f(1,3)，cs β＝eq \f(\r(5),5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．
解：由cs β＝eq \f(\r(5),5)，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
得sin β＝eq \f(2\r(5),5)，tan β＝2.
所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
＝eq \f(－\f(1,3)＋2,1＋\f(2,3))＝1.
因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以eq \f(π,2)