2023届高考一轮复习讲义（文科）第四章　三角函数、解三角形 第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（文科）第四章　三角函数、解三角形 第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式学案，共12页。学案主要包含了知识梳理，习题改编等内容，欢迎下载使用。

一、知识梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2x＋cs2x＝1．
(2)商数关系：tan x＝eq \f(sin x,cs x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
2．三角函数的诱导公式
常用结论
1．同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α；sin α＝tan α·cs α.
2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq \f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．
二、习题改编
1．(必修4P19例6改编)已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，eq \f(π,2)≤α≤π，则tan α＝( )
A．－2 B．2
C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
解析：选D.因为cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))\s\up12(2))＝－eq \f(2\r(5),5)，所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(1,2).
2．(必修4P20练习T4改编)化简eq \f(1－cs22θ,cs 2θtan 2θ)＝ ．
解析：eq \f(1－cs22θ,cs 2θtan 2θ)＝eq \f(sin22θ,cs 2θ·\f(sin 2θ,cs 2θ))＝sin 2θ.
答案：sin 2θ
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意的角α，β，都有sin2α＋cs2β＝1.( )
(2)若α∈R，则tan α＝eq \f(sin α,cs α)恒成立．( )
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )
(4)若cs(nπ－θ)＝eq \f(1,3)(n∈Z)，则cs θ＝eq \f(1,3).( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)(1)不注意角的范围出错；
(2)诱导公式记忆不熟出错．
1．已知cs(π＋α)＝eq \f(2,3)，则tan α＝( )
A.eq \f(\r(5),2) B.eq \f(2\r(5),5)
C．±eq \f(\r(5),2) D．±eq \f(2\r(5),5)
解析：选C.因为cs(π＋α)＝eq \f(2,3)，
所以cs α＝－eq \f(2,3)，
则α为第二或第三象限角，
所以sin α＝±eq \r(1－cs2α)＝±eq \f(\r(5),3).
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(±\f(\r(5),3),－\f(2,3))＝±eq \f(\r(5),2).
2．若sin(π＋α)＝－eq \f(1,2)，则sin(7π－α)＝ ，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＝ ．
解析：由sin(π＋α)＝－sin α＝－eq \f(1,2)，得sin α＝eq \f(1,2)，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝eq \f(1,2)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)－2π))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin α＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2) eq \f(1,2)
同角三角函数的基本关系式(多维探究)
角度一 公式的直接应用
(1)(2020·北京西城区模拟)已知α∈(0，π)，cs α＝－eq \f(3,5)，则tan α＝( )
A.eq \f(3,4) B．－eq \f(3,4)
C.eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3)
(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－eq \f(1,3)，则sin α＋cs α的值为 ．
【解析】 (1)因为cs α＝－eq \f(3,5)且α∈(0，π)，
所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(4,5)，
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(4,3).故选D.
(2)由tan α＝－eq \f(1,3)，
得sin α＝－eq \f(1,3)cs α，且sin α>0，cs α0，则sin α－cs α