2023届高考一轮复习讲义（文科）第四章　三角函数、解三角形 第3讲　第2课时　高效演练 分层突破学案

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1．已知sin 2α＝eq \f(2,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D．eq \f(2,3)
解析：选A.cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs 2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))),2)
＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2))),2)＝eq \f(1－sin 2α,2)，又sin 2α＝eq \f(2,3)，
所以原式＝eq \f(1－\f(2,3),2)＝eq \f(1,6)，故选A.
2.eq \f(sin 10°,1－\r(3)tan 10°)＝( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D．1
解析：选A.eq \f(sin 10°,1－\r(3)tan 10°)＝eq \f(sin 10°cs 10°,cs 10°－\r(3)sin 10°)
＝eq \f(2sin 10°cs 10°,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)))＝eq \f(sin 20°,4sin（30°－10°）)＝eq \f(1,4).
3．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为( )
A．－eq \f(\r(3),5) B.eq \f(3\r(3),5)
C.eq \f(\r(3),19) D．eq \f(\r(3),7)
解析：选D.由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝2eq \r(3)，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝eq \f(tan（α＋80°）－tan 60°,1＋tan（α＋80°）tan 60°)＝eq \f(2\r(3)－\r(3),1＋2\r(3)×\r(3))＝eq \f(\r(3),7).故选D.
4．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))＝－eq \f(1,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－cs α＝( )
A．±eq \f(\r(3),3) B．－eq \f(\r(6),3)
C.eq \f(\r(6),3) D．±eq \f(\r(6),3)
解析：选D.sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－cs α＝sin αcs eq \f(π,6)＋cs αsin eq \f(π,6)－cs α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))，而cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝－eq \f(1,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝±eq \f(\r(6),3)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－cs α＝±eq \f(\r(6),3)，故选D.
5．若eq \f(\r(2)cs 2θ,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ)))＝eq \r(3)·sin 2θ，则sin 2θ＝( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3)
C．－eq \f(2,3) D．－eq \f(1,3)
解析：选C.由题意知eq \f(2（cs2θ－sin2θ）,cs θ－sin θ)＝eq \r(3)sin 2θ，
所以2(cs θ＋sin θ)＝eq \r(3)sin 2θ，
则4(1＋sin 2θ)＝3sin22θ，
因此sin 2θ＝－eq \f(2,3)或sin 2θ＝2(舍)．
6．已知cs 2θ＝eq \f(4,5)，则sin4θ＋cs4θ＝ ．
解析：法一：因为cs 2θ＝eq \f(4,5)，
所以2cs2θ－1＝eq \f(4,5)，1－2sin2θ＝eq \f(4,5)，
因为cs2θ＝eq \f(9,10)，sin2θ＝eq \f(1,10)，
所以sin4θ＋cs4θ＝eq \f(41,50).
法二：sin4θ＋cs4θ＝(sin2θ＋cs2θ)2－eq \f(1,2)sin22θ
＝1－eq \f(1,2)(1－cs22θ)＝1－eq \f(1,2)×eq \f(9,25)＝eq \f(41,50).
答案：eq \f(41,50)
7．(2020·贵州黔东南一模改编)已知sin α＋3cs α＝－eq \r(10)，则tan 2α＝ ．
解析：因为(sin α＋3cs α)2＝sin2α＋6sin αcs α＋9cs2α＝10(sin2α＋cs2α)，所以9sin2α－6sin αcs α＋cs2α＝0，则(3tan α－1)2＝0，即tan α＝eq \f(1,3).所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(3,4).
答案：eq \f(3,4)
8．tan 70°·cs 10°(eq \r(3)tan 20°－1)等于 ．
解析：tan 70°·cs 10°(eq \r(3)tan 20°－1)
＝eq \f(sin 70°,cs 70°)·cs 10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)·\f(sin 20°,cs 20°)－1))
＝eq \f(cs 20°cs 10°,sin 20°)·eq \f(\r(3)sin 20°－cs 20°,cs 20°)
＝eq \f(cs 10°·2sin（20°－30°）,sin 20°)＝eq \f(－sin 20°,sin 20°)＝－1.
答案：－1
9．已知tan α＝－eq \f(1,3)，cs β＝eq \f(\r(5),5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．
解：由cs β＝eq \f(\r(5),5)，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
得sin β＝eq \f(2\r(5),5)，tan β＝2.
所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
＝eq \f(－\f(1,3)＋2,1＋\f(2,3))＝1.
因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以eq \f(π,2)