2023届高考一轮复习讲义（文科）第四章　三角函数、解三角形 第4讲　第2课时　三角函数的图象与性质(二)学案

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三角函数的周期性与奇偶性(师生共研)
(1)函数f(x)＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))－1是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为eq \f(π,2)的奇函数
D．最小正周期为eq \f(π,2)的偶函数
(2)(2020·湖北宜昌联考)已知函数y＝2sin(ωx＋θ)(0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2－x1|的最小值为π，则( )
A．ω＝2，θ＝eq \f(π,2) B．ω＝eq \f(1,2)，θ＝eq \f(π,2)
C．ω＝eq \f(1,2)，θ＝eq \f(π,4) D．ω＝2，θ＝eq \f(π,4)
【解析】 (1)因为f(x)＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))－1
＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))＝sin 2x.
所以T＝eq \f(2π,2)＝π，f(x)＝sin 2x是奇函数．
故函数f(x)是最小正周期为π的奇函数．
(2)因为函数y＝2sin(ωx＋θ)的最大值为2，且其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2－x1|的最小值为π，所以函数y＝2sin(ωx＋θ)的最小正周期是π.
由eq \f(2π,ω)＝π得ω＝2.
因为函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，所以θ＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z.
又0＜θ＜π，所以θ＝eq \f(π,2)，故选A.
【答案】 (1)A (2)A
eq \a\vs4\al()
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acs ωx＋b的形式．
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，y＝Acs(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为eq \f(2π,ω)，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为eq \f(π,ω)求解．
1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2))) B．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))
C．y＝sin 2x＋cs 2x D．y＝sin x＋cs x
解析：选B.y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝cs 2x是偶函数，不符合题意；y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝－sin 2x是T＝π的奇函数，符合题意；同理C，D均不是奇函数．
2．(2020·石家庄市质量检测)设函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋φ－\f(π,4)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )
A．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增
B．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递减
C．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递减
D．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递增
解析：选A.f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋φ－\f(π,4)))，因为f(x)的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋φ－\f(π,4))).f(－x)＝f(x)，即f(x)为偶函数，所以φ－eq \f(π,4)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，所以φ＝kπ＋eq \f(3π,4)(k∈Z)．因为|φ|＜eq \f(π,2)，所以φ＝－eq \f(π,4)，所以f(x)＝－cs 2x，所以f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))上单调递减，故选A.
三角函数的对称性(师生共研)
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称，它的最小正周期为π，则函数f(x)图象的一个对称中心是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，0)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，0))
【解析】 由题意可得eq \f(2π,ω)＝π，所以ω＝2，
可得f(x)＝Asin(2x＋φ)，
再由函数图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称，
故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋φ))＝±A，故可取φ＝－eq \f(π,6).
故函数f(x)＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，令2x－eq \f(π,6)＝kπ，k∈Z，
可得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)，k∈Z，故函数的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)＋\f(π,12)，0))，k∈Z.
所以函数f(x)图象的一个对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0)).
【答案】 B
eq \a\vs4\al()
三角函数图象的对称轴和
对称中心的求解思路和方法
(1)思路：函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y＝sin x图象的对称轴和对称中心求解．
(2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得x＝eq \f(（2k＋1）π－2φ,2ω)，k∈Z，即对称轴方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝eq \f(kπ－φ,ω)，k∈Z，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y＝Acs(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可以利用类似方法求解(注意y＝Atan(ωx＋φ)的图象无对称轴)．
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x1＝eq \f(π,4)，x2＝eq \f(3π,4)是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝( )
A．2 B.eq \f(3,2)
C．1 D．eq \f(1,2)
解析：选A.依题意得函数f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,ω)＝2×(eq \f(3π,4)－eq \f(π,4))＝π，解得ω＝2，选A.
2．已知函数f(x)＝|sin x||cs x|，则下列说法错误的是( )
A．f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称
B．f(x)的周期为eq \f(π,2)
C．(π，0)是f(x)的一个对称中心
D．f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递减
解析：选A.f(x)＝|sin x||cs x|＝|sin xcs x|＝eq \f(1,2)·|sin 2x|，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝eq \f(1,2)|sin π|＝0，则f(x)的图象不关于直线x＝eq \f(π,2)对称，故A错误；函数周期T＝eq \f(1,2)×eq \f(2π,2)＝eq \f(π,2)，故B正确；f(π)＝eq \f(1,2)|sin 2π|＝0，则(π，0)是f(x)的一个对称中心，故C正确；当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))时，2x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，此时sin 2x＞0，且sin 2x为减函数，故D正确．
三角函数的图象与性质的综合问题(师生共研)
已知函数f(x)＝sin(2π－x)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－x))－eq \r(3)cs2x＋eq \r(3).
(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(7π,12)))时，求f(x)的最小值和最大值．
【解】 (1)由题意，得f(x)＝(－sin x)(－cs x)－eq \r(3)cs2x＋eq \r(3)＝sin xcs x－eq \r(3)cs2x＋eq \r(3)＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \f(\r(3),2)(cs 2x＋1)＋eq \r(3)＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \f(\r(3),2)cs 2x＋eq \f(\r(3),2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋eq \f(\r(3),2)，
所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π；
令2x－eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，则x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(5π,12)(k∈Z)，
故所求图象的对称轴方程为x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(5π,12)(k∈Z)．
(2)当0≤x≤eq \f(7π,12)时，－eq \f(π,3)≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(5π,6)，
由函数图象(图略)可知，－eq \f(\r(3),2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))≤1，即0≤sin(2x－eq \f(π,3))＋eq \f(\r(3),2)≤eq \f(2＋\r(3),2).
故f(x)的最小值为0，最大值为eq \f(2＋\r(3),2).
eq \a\vs4\al()
解决三角函数图象与性质综合问题的方法
先将y＝f(x)化为y＝asin x＋bcs x的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))).
(1)求函数的最大值及相应的x值的集合；
(2)求函数f(x)的图象的对称轴方程与对称中心．
解：(1)当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＝1时，2x－eq \f(π,4)＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
即x＝kπ＋eq \f(3π,8)，k∈Z，此时函数取得最大值为2；
故f(x)的最大值为2，使函数取得最大值的x的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＝\f(3π,8)＋kπ，k∈Z)))).
(2)由2x－eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，
得x＝eq \f(3π,8)＋eq \f(1,2)kπ，k∈Z.
即函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝eq \f(3π,8)＋eq \f(1,2)kπ，k∈Z.
由2x－eq \f(π,4)＝kπ，k∈Z得x＝eq \f(π,8)＋eq \f(1,2)kπ，k∈Z，
即对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)＋\f(1,2)kπ，0))，k∈Z.
[基础题组练]
1．函数y＝eq \r(3)sin 2x＋cs 2x的最小正周期为( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(2π,3)
C．π D．2π
解析：选C.因为y＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin 2x＋\f(1,2)cs 2x))＝
2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，所以T＝eq \f(2π,2)＝π.
2．f(x)＝tan x＋sin x＋1，若f(b)＝2，则f(－b)＝( )
A．0 B．3
C．－1 D．－2
解析：选A.因为f(b)＝tan b＋sin b＋1＝2，
即tan b＋sin b＝1.
所以f(－b)＝tan(－b)＋sin(－b)＋1
＝－(tan b＋sin b)＋1＝0.
3．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，0))是函数f(x)＝sin ωx＋cs ωx图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C.因为f(x)＝sin ωx＋cs ωx＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))，
由题意，知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)))＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ωπ,8)＋\f(π,4)))＝0，所以eq \f(ωπ,8)＋eq \f(π,4)＝kπ(k∈Z)，即ω＝8k－2(k∈Z)，当k＝1时，ω＝6.
4．关于函数y＝tan(2x－eq \f(π,3))，下列说法正确的是( )
A．是奇函数
B．在区间(0，eq \f(π,3))上单调递减
C．(eq \f(π,6)，0)为其图象的一个对称中心
D．最小正周期为π
解析：选C.函数y＝tan(2x－eq \f(π,3))是非奇非偶函数，A错；在区间(0，eq \f(π,3))上单调递增，B错；最小正周期为eq \f(π,2)，D错；由2x－eq \f(π,3)＝eq \f(kπ,2)，k∈Z得x＝eq \f(kπ,4)＋eq \f(π,6)，当k＝0时，x＝eq \f(π,6)，所以它的图象关于(eq \f(π,6)，0)中心对称，故选C.
5．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( )
A．关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))对称 B．关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)，0))对称
C．关于直线x＝eq \f(π,3)对称 D．关于直线x＝eq \f(5π,3)对称
解析：选B.函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω＞0)的最小正周期是4π，而T＝eq \f(2π,ω)＝4π，所以ω＝eq \f(1,2)，即f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6))).函数f(x)的对称轴为eq \f(x,2)＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋kπ，解得x＝eq \f(2,3)π＋2kπ(k∈Z)；令k＝0得x＝eq \f(2,3)π.函数f(x)的对称中心的横坐标为eq \f(x,2)＋eq \f(π,6)＝kπ，解得x＝2kπ－eq \f(1,3)π(k∈Z)，令k＝1得f(x)的一个对称中心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)π，0)).
6．若函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω∈N*)图象的一个对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))，则ω的最小值为 ．
解析：由题意知eq \f(πω,6)＋eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，所以ωmin＝2.
答案：2
7．(2020·无锡期末)在函数①y＝cs|2x|；②y＝|cs 2x|；③y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))；④y＝tan 2x中，最小正周期为π的所有函数的序号为 ．
解析：①y＝cs|2x|＝cs 2x，最小正周期为π；②y＝cs 2x，最小正周期为π，由图象知y＝|cs 2x|的最小正周期为eq \f(π,2)；③y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π；④y＝tan 2x的最小正周期T＝eq \f(π,2).因此①③的最小正周期为π.
答案：①③
8．已知函数f(x)＝2sin(ωx－eq \f(π,6))＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为 ．
解析：由函数f(x)＝2sin(ωx－eq \f(π,6))＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
所以ω＝k＋eq \f(2,3)，又ω∈(1，2)，所以ω＝eq \f(5,3)，从而得函数f(x)的最小正周期为eq \f(2π,\f(5,3))＝eq \f(6π,5).
答案：eq \f(6π,5)
9．已知函数f(x)＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4))).求函数f(x)的最小正周期和图象的对称中心．
解：因为f(x)＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋1＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)－\f(π,4)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＋1
＝eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(\r(3),2)sin 2x＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))＋1
＝eq \f(\r(3),2)sin 2x－eq \f(1,2)cs 2x＋1
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋1，
所以f(x)的最小正周期为eq \f(2π,2)＝π，图象的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋\f(kπ,2)，1))，k∈Z.
10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0