2023届高考一轮复习讲义（文科）第四章　三角函数、解三角形 第3讲　第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（文科）第四章　三角函数、解三角形 第3讲　第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案，共13页。学案主要包含了知识梳理，习题改编等内容，欢迎下载使用。

一、知识梳理
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin αcs β±cs αsin β；
cs(α∓β)＝cs αcs β±sin αsin β；
tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±β，α，β均不为kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin αcs α；
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α，2α均不为kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
3．三角函数公式的关系
常用结论
四个必备结论
(1)降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
(2)升幂公式：1＋cs 2α＝2cs2α，1－cs 2α＝2sin2α.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1±tan αtan β)，
1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cs α)2，
sin α±cs α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±\f(π,4))).
(4)辅助角公式
asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin (x＋φ)，其中tan φ＝eq \f(b,a).
二、习题改编
1．(必修4P137A组T5改编)已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(15,17)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5,6)π))，则sin α的值为( )
A.eq \f(8,17) B.eq \f(15\r(3)＋8,34)
C.eq \f(15－8\r(3),34) D．eq \f(15＋8\r(3),34)
解析：选D.因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5,6)π))，所以α－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))>0，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,17)))\s\up12(2))＝eq \f(8,17)，所以sin α＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))cs eq \f(π,3)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))sin eq \f(π,3)＝eq \f(15,17)×eq \f(1,2)＋eq \f(8,17)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(15＋8\r(3),34).故选D.
2．(必修4P131练习T5改编)计算：sin 108°cs 42°－cs 72°·sin 42°＝ ．
解析：原式＝sin(180°－72°)cs 42°－cs 72°sin 42°＝sin 72°cs 42°－cs 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．( )
(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．( )
(3)cs 80°cs 20°－sin 80°sin 20°＝cs(80°－20°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).( )
(4)公式tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )
(5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)(1)不会用公式找不到思路；
(2)不会合理配角出错．
1．若cs α＝－eq \f(4,5)，α是第三象限的角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝( )
A．－eq \f(\r(2),10) B.eq \f(\r(2),10)
C．－eq \f(7\r(2),10) D．eq \f(7\r(2),10)
解析：选C.因为cs α＝－eq \f(4,5)，α是第三象限的角，所以sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(3,5)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝sin α·cseq \f(π,4)＋cs αsineq \f(π,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(7\r(2),10).
2．sin 15°＋sin 75°的值是 ．
解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cs 15°＝eq \r(2)sin(15°＋45°)＝eq \r(2)sin 60°＝eq \f(\r(6),2).
答案：eq \f(\r(6),2)
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
三角函数公式的直接应用(师生共研)
(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，2sin 2α＝cs 2α＋1，则sin α＝( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),5)
C.eq \f(\r(3),3) D．eq \f(2\r(5),5)
(2)(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知tan(α－eq \f(5π,4))＝eq \f(1,5)，则tan α＝ ．
【解析】 (1)依题意得4sin αcs α＝2cs2α，由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，知cs α>0，所以2sin α＝cs α.又sin2α＋cs2α＝1，所以sin2α＋4sin2α＝1，即sin2α＝eq \f(1,5).又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以sin α＝eq \f(\r(5),5)，选B.
(2)法一：因为taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＝eq \f(1,5)，所以eq \f(tan α－tan \f(5π,4),1＋tan αtan\f(5π,4))＝eq \f(1,5)，即eq \f(tan α－1,1＋tan α)＝eq \f(1,5)，解得tan α＝eq \f(3,2).
法二：因为taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＝eq \f(1,5)，所以tan α＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＋\f(5π,4)))＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＋tan\f(5π,4),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))tan\f(5π,4))＝eq \f(\f(1,5)＋1,1－\f(1,5)×1)＝eq \f(3,2).
【答案】 (1)B (2)eq \f(3,2)
eq \a\vs4\al()
利用三角函数公式时应注意的问题
(1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
1．(2020·石家庄市模拟(一))已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝2cs(π－α)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝( )
A．－3 B．3
C．－eq \f(1,3) D．eq \f(1,3)
解析：选A.因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝2cs(π－α)，所以－sin α＝－2cs α，所以tan α＝2，所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝－3，故选A.
2．已知sin α＝eq \f(1,3)＋cs α，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则eq \f(cs 2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))))的值为( )
A．－eq \f(\r(2),3) B.eq \f(\r(2),3)
C．－eq \f(1,3) D．eq \f(1,3)
解析：选A.因为sin α＝eq \f(1,3)＋cs α，即sin α－cs α＝eq \f(1,3)，所以eq \f(cs 2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))))＝eq \f(cs2α－sin2α,sin αcs\f(π,4)＋cs αsin\f(π,4))＝eq \f(（cs α－sin α）（cs α＋sin α）,\f(\r(2),2)（sin α＋cs α）)＝eq \f(－\f(1,3),\f(\r(2),2))＝－eq \f(\r(2),3)，故选A.
3．(2020·长春市质量监测(二))直线y＝2x绕原点顺时针旋转45°得到直线l，若l的倾斜角为α，则cs 2α的值为( )
A.eq \f(8＋\r(10),10) B.eq \f(8－\r(10),10)
C．－eq \f(4,5) D．eq \f(4,5)
解析：选D.设直线y＝2x的倾斜角为β，则tan β＝2，α＝β－45°，
所以tan α＝tan(β－45°)＝eq \f(tan β－tan 45°,1＋tan 45°·tan β)＝eq \f(1,3)，
cs 2α＝cs2α－sin2α＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq \f(4,5)，故选D.
三角函数公式的逆用与变形应用(师生共研)
(1)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cs C的值为( )
A．－eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ ．
【解析】 (1)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝－1，
即tan(A＋B)＝－1，又(A＋B)∈(0，π)，
所以A＋B＝eq \f(3π,4)，则C＝eq \f(π,4)，cs C＝eq \f(\r(2),2).
(2)因为sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，
所以sin2α＋cs2β＋2sin αcs β＝1 ①，
cs2α＋sin2β＋2cs αsin β＝0 ②，
①②两式相加可得sin2α＋cs2α＋sin2β＋cs2β＋2(sin αcs β＋cs αsin β)＝1，
所以sin(α＋β)＝－eq \f(1,2).
【答案】 (1)B (2)－eq \f(1,2)
eq \a\vs4\al()
(1)三角函数公式活用技巧
①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；
②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题
①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；
②注意特殊角的应用，当式子中出现eq \f(1,2)，1，eq \f(\r(3),2)，eq \r(3)等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．
1．(1－tan215°)cs215°的值等于( )
A.eq \f(1－\r(3),2) B．1
C.eq \f(\r(3),2) D．eq \f(1,2)
解析：选C.(1－tan215°)cs215°＝cs215°－sin215°＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2).
2．已知sin 2α＝eq \f(1,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝( )
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3)
C．－eq \f(2,3) D．eq \f(2,3)
解析：选D.cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,2))),2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)sin 2α＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
3．(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝ ．
解析：(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2.
答案：2
两角和、差及倍角公式的灵活应用(多维探究)
角度一 三角函数公式中变“角”
(2020·黑龙江大庆实验中学考前训练)已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(24,25)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝ ．
【解析】 由题意知，α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)