2023届高考一轮复习讲义（理科）第二章　函数概念与基本初等函数 第8讲　函数与方程学案

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[学生用书P33]
一、知识梳理
1．函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
2．函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
常用结论
有关函数零点的三个结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
二、习题改编
1．(必修1P92A组T2改编)已知函数y＝f(x)的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：
则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：选B.由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内均有零点，所以y＝f(x)在[1，6]上至少有3个零点．故选B.
2．(必修1P92A组T5改编)函数f(x)＝ln x－eq \f(2,x)的零点所在的大致范围是( )
A．(1，2) B．(2，3)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))和(3，4) D．(4，＋∞)
解析：选B.易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－eq \f(2,3)＞0，得f(2)·f(3)＜0.故选B.
3．(必修1P88例1改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是______．
解析：由已知得f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝eq \f(1,e)－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．
答案：1
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( )
(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．( )
(5)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ｋ))(1)错用零点存在性定理；
(2)误解函数零点的定义；
(3)忽略限制条件；
(4)错用二次函数在R上无零点的条件．
1．函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)的零点个数是______．
解析：函数的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)<0，所以函数没有零点．
答案：0
2．函数f(x)＝x2－3x的零点是______．
解析：由f(x)＝0，得x2－3x＝0，
即x＝0和x＝3.
答案：0和3
3．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是______．
解析：二次函数f(x)图象的对称轴方程为x＝1.若在区间(0，4)上存在零点，只需f(1)≤0且f(4)>0即可，即－1＋m≤0且8＋m>0，解得－8答案：(－8，1]
4．若二次函数f(x)＝x2＋kx＋k在R上无零点，则实数k的取值范围是______．
解析：由题意得Δ＝k2－4k<0，解得0答案：(0，4)
[学生用书P34]
函数零点所在区间的判断(自主练透)
1．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
解析：选B.因为f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，所以f(1)·f(2)＜0，
因为函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，且为增函数，所以f(x)的零点所在的区间是(1，2)．
2．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析：选A.因为a＜b＜c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，
f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，
由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点．因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.
3．设函数y1＝x3与y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x－2)的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是______．
解析：令f(x)＝x3－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x－2)，
则f(x0)＝0，易知f(x)为增函数，
有f(1)<0，f(2)>0，
所以x0所在的区间是(1，2)．
答案：(1，2)
eq \a\vs4\al()
确定函数零点所在区间的方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)图象法：把方程转化为两个函数，看它的交点所在区间．
(3)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(4)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
函数零点的个数(师生共研)
(1)函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2，x≤0，,2x－6＋ln x，x>0))的零点个数是______．
(2)函数f(x)＝4cs2eq \f(x,2)·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为______．
【解析】 (1)当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－eq \r(2)(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；当x>0时，f′(x)＝2＋eq \f(1,x)>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.
(2)f(x)＝2(1＋cs x)sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|，x>－1，函数f(x)的零点个数即为函数y1＝sin 2x(x>－1)与 y2＝|ln(x＋1)|(x>－1)的图象的交点个数．分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f(x)有两个零点．
【答案】 (1)2 (2)2
eq \a\vs4\al()
判断函数零点个数的方法
(1)解方程法：所对应方程f(x)＝0有几个不同的实数解就有几个零点．
(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．
1．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点．
当x＞0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0.
则ex＝－x＋3.
分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．
又根据对称性知，当x＜0时函数f(x)也有一个零点．
综上所述，f(x)的零点个数为3.
2．函数f(x)＝2x|lg0.5x|－1的零点个数为______．
解析：由f(x)＝0，得|lg0.5x|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)，作出函数y1＝|lg0.5x|和y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)的图象，
由右图知两函数图象有2个交点，
故函数f(x)有2个零点．
答案：2
函数零点的应用(多维探究)
角度一 根据函数零点个数求参数
(2020·安徽合肥二模)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|ln x|，x>0，,ex（x＋1），x≤0.))若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,e2)，0))
C．(1，＋∞)∪{0} D．(0，1]
【解析】 令g(x)＝f(x)－b＝0，函数g(x)＝f(x)－b有三个零点等价于f(x)＝b有三个根，当x≤0时，f(x)＝ex(x＋1)，则f′(x)＝ex(x＋1)＋ex＝ex(x＋2 )，由f′(x)<0得ex(x＋2)<0，即x<－2，此时f(x)为减函数，由f′(x)>0得ex(x＋2)>0，即－2【答案】 D角度二 根据函数有无零点求参数
(1)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上有零点，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2))) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(10,3)))
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0，x≤0，,ex，x＞0，))则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是( )
A．[0，1) B．(－∞，1)
C．(－∞，1]∪(2，＋∞) D．(－∞，0]∪(1，＋∞)
【解析】 (1)由题意知方程ax＝x2＋1在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上有解，即a＝x＋eq \f(1,x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上有解，设t＝x＋eq \f(1,x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))，则t的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(10,3))).所以实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(10,3))).
(2)函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根，画出h(x)＝f(x)＋x＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x，x≤0，,ex＋x，x＞0))的大致图象(图略)．观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m＞1时，有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点．
【答案】 (1)D (2)D
角度三 根据函数零点的范围求参数
若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是______．
【解析】 依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≠2，,f（－1）·f（0）<0，,f（1）·f（2）<0，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≠2，,[m－2－m＋（2m＋1）]（2m＋1）<0，,[m－2＋m＋（2m＋1）][4（m－2）＋2m＋（2m＋1）]<0，))
解得eq \f(1,4)【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2)))
eq \a\vs4\al()
根据函数零点的情况求参数的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
1．方程lgeq \s\d9(\f(1,2))(a－2x)＝2＋x有解，则a的最小值为______．
解析：若方程lgeq \s\d9(\f(1,2))(a－2x)＝2＋x有解，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2＋x)＝a－2x有解，即eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＋2x＝a有解，因为eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＋2x≥1，故a的最小值为1.
答案：1
2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ex， x≤0,ln x， x>0))，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是______．
解析：函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.
答案：a≥－1
[学生用书P267(单独成册)]
[基础题组练]
1．(2020·河南商丘九校联考)函数f(x)＝(x2－1)·eq \r(x2－4)的零点个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.要使函数有意义，则x2－4≥0，解得x≥2或x≤－2.由f(x)＝0得x2－4＝0或x2－1＝0(不成立舍去)，即x＝2或x＝－2.所以函数的零点个数为2.故选B.
2．函数y＝x－4·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)的零点所在的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
解析：选B.因为y＝f(x)＝x－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＝x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x－2)是R上连续递增的函数，且f(1)＝1－2<0，f(2)＝2－1>0，所以f(1)·f(2)<0，故函数y＝x－4·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B.
3．(2020·福建晋江四校联考)设函数y＝lg3x与y＝3－x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
解析：选C.令m(x)＝lg3x＋x－3，则函数m(x)＝lg3x＋x－3的零点所在的区间即为函数y＝lg3x与y＝3－x的图象的交点的横坐标所在的区间．因为m(x)＝lg3x＋x－3单调递增且连续，且满足m(2)m(3)<0，所以m(x)＝lg3x＋x－3的零点在(2，3)内，从而可知方程lg3x＋x－3＝0的解所在的区间是(2，3)，即函数y＝lg3x与y＝3－x的图象交点的横坐标x0所在的区间是(2，3)．故选C.
4．(2020·河南焦作统考)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－x2，x≥0，,1－ln（x＋6），－6A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.由题知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－x2，x≥0，,1－ln（x＋6），－65．(2020·河北张家口模拟)已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝f(x)－mx恰有三个零点，则实数m的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，\f(2,e)))
C．(0，1) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，＋∞))
解析：选A.g(x)有三个零点，即y＝f(x)与y＝mx的图象有三个交点，作出y＝f(x)和y＝mx的图象如图．当y＝mx与y＝f(x)相切时，设切点坐标为(x0，ln x0)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(mx0＝ln x0，,\f(1,x0)＝m，))解得m＝eq \f(1,e).则当06．已知函数f(x)＝lg2(x＋1)＋3x＋m的零点在(0，1]上，则实数m的取值范围为______．
解析：由题意知函数f(x)＝lg2(x＋1)＋3x＋m在定义域上单调递增，又由函数f(x)在(0，1]上存在零点，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（0）<0，,f（1）≥0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2（0＋1）＋3×0＋m<0，,lg2（1＋1）＋3×1＋m≥0，))解得－4≤m<0，即实数m的取值范围为[－4，0)．
答案：[－4，0)
7．已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)－cs x，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为________．
解析：如图，作出g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)与h(x)＝cs x的图象，可知其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0，2π]上的零点个数为3.
答案：3
8．函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(|x－1|)＋2cs πx(－4≤x≤6)的所有零点之和为________．
解析：可转化为两个函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(|x－1|)与y＝－2cs πx在[－4，6]上的交点的横坐标的和，因为两个函数均关于x＝1对称，所以两个函数在x＝1两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象易知两个函数在x＝1两侧分别有5个交点，所以5×2＝10.
答案：10
9．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m的取值范围．
解：显然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，010．设函数f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x)))(x>0)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当0(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．
解：(1)如图所示．
(2)因为f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x)))
＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－1，x∈（0，1]，,1－\f(1,x)，x∈（1，＋∞），))
故f(x)在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，
由0且eq \f(1,a)－1＝1－eq \f(1,b)，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2.
(3)由函数f(x)的图象可知，当0[综合题组练]
1．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝ln x－eq \f(2,x)的零点，则g(x0)等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－eq \f(2,3)>0，故x0∈(2，3)，所以g(x0)＝[x0]＝2.故选B.
2．(2020·湖南娄底二模)若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2等于( )
A．1 B．－1
C．e D．eq \f(1,e)
解析：选A.考虑到x1，x2是函数y＝ex、函数y＝ln x与函数y＝eq \f(1,x)的图象的交点A，B的横坐标，而Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，\f(1,x1)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，\f(1,x2)))两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1.故选A.
3．(2020·湘赣十四校联考)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax2＋2x＋a（x≤0）,ax－3（x>0）))，有且只有1个零点，则实数a的取值范围是______．
解析：当a>0时，函数y＝ax－3(x>0)必有一个零点，又因为－eq \f(1,a)<0，故aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)))eq \s\up12(2)＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)))＋a>0，解得a>1；当a＝0时，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x（x≤0），,－3（x>0）))恰有一个零点；当a<0时，若x>0，则f(x)＝ax－3<0，若x≤0，则f(x)＝ax2＋2x＋a，此时，f(x)恒小于0，所以当a<0时，f(x)无零点，故答案为a＝0或a>1.
答案：a＝0或a>1
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|x2＋5x＋4|，x≤0，,2|x－2|，x＞0))若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．
解析：
在同一平面直角坐标系内画出函数y＝f(x)和y＝a|x|的图象可知，若满足条件，则a＞0.
当a≥2时，在y轴右侧，两函数图象只有一个公共点，
此时在y轴左侧，射线y＝－ax(x≤0)与抛物线y＝－x2－5x－4(－4＜x＜－1)需相切．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－x2－5x－4，,y＝－ax))消去y，
得x2＋(5－a)x＋4＝0.
由Δ＝(5－a)2－16＝0，解得a＝1或a＝9.
a＝1与a≥2矛盾，a＝9时，切点的横坐标为2，不符合题意．
当0＜a＜2，此时，在y轴右侧，两函数图象有两个公共点，若满足条件，则－a＜－1，即a＞1.故1＜a＜2.
答案：(1，2)
5．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,4x)，x>0，,x＋1，x≤0.))
(1)求g(f(1))的值；
(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．
解：(1)利用解析式直接求解得
g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.
(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象如图，由图象可知，当1≤a6．设函数f(x)＝eq \f(x＋1,x－1)，x∈R且x≠1.
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＋f(4)＋f(6)＋f(8)＋f(10)的值；
(2)就m的取值情况，讨论关于x的方程f(x)＋x＝m在x∈[2，3]上解的个数．
解：(1)根据题意，函数f(x)＝eq \f(x＋1,x－1)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(\f(1,x)＋1,\f(1,x)－1)＝eq \f(1＋x,1－x)＝－eq \f(1＋x,x－1)，
则f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝0，
则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＋f(4)＋f(6)＋f(8)＋f(10)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)))＋f(10)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))＋f(8)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)))＋f(6)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＋f(4)＝0.
(2)根据题意，设g(x)＝f(x)＋x＝eq \f(x＋1,x－1)＋x＝(x－1)＋eq \f(2,x－1)＋2，
令t＝x－1，又由x∈[2，3]，则t∈[1，2]，
则设h(t)＝t＋eq \f(2,t)＋2，有h′(t)＝1－eq \f(2,t2)＝eq \f(t2－2,t2)，
分析可得，在区间[1，eq \r(2))上，h(t)单调递减，在区间[eq \r(2)，2]上，h(t)单调递增；
则h(t)在[1，2]有最小值h(eq \r(2))＝2eq \r(2)＋2，
且h(1)＝h(2)＝5，
则函数h(t)在区间[1，2]上有最大值5，最小值2eq \r(2)＋2，
方程f(x)＋x＝m的解的个数即为函数g(x)与直线y＝m的交点个数，
分析可得，当m＜2eq \r(2)＋2时，函数g(x)与直线y＝m没有交点，方程f(x)＋x＝m无解；
当m＝2eq \r(2)＋2时，函数g(x)与直线y＝m有1个交点，方程f(x)＋x＝m有1个解；
当2eq \r(2)＋2＜m≤5时，函数g(x)与直线y＝m有2个交点，方程f(x)＋x＝m有2个解；
当m＞5时，函数g(x)与直线y＝m没有交点，方程f(x)＋x＝m无解；
综上可得，当m＜2eq \r(2)＋2或m＞5时，方程f(x)＋x＝m无解；
当m＝2eq \r(2)＋2时，方程f(x)＋x＝m有1个解；
当2eq \r(2)＋2＜m≤5时方程f(x)＋x＝m有2个解．
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 的图象
与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
两个
一个
零个
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
35
－74
14.5
－56.7
－123.6