2023届高考一轮复习讲义（理科）第九章　平面解析几何 第3讲　高效演练分层突破学案

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1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
解析：选A.设圆心为(0，a)，则eq \r(（1－0）2＋（2－a）2)＝1，
解得a＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.
2．(2020·河北省九校第二次联考)圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2－4x＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0
解析：选C.由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m>0)，则eq \f(|3m＋4|,\r(32＋42))＝2，解得m＝2或m＝－eq \f(14,3)(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故选C.
3．方程|x|－1＝eq \r(1－（y－1）2)所表示的曲线是( )
A．一个圆 B．两个圆
C．半个圆 D．两个半圆
解析：选D.由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（|x|－1）2＋（y－1）2＝1，,|x|－1≥0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－1）2＋（y－1）2＝1，,x≥1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x＋1）2＋（y－1）2＝1，,x≤－1.))
故原方程表示两个半圆．
4．(一题多解)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(8，0)，以OA为直径的圆与直线y＝2x在第一象限的交点为B，则直线AB的方程为( )
A．x＋2y－8＝0 B．x－2y－8＝0
C．2x＋y－16＝0 D．2x－y－16＝0
解析：选A.法一：如图，由题意知OB⊥AB，因为直线OB的方程为y＝2x，所以直线AB的斜率为－eq \f(1,2)，因为A(8，0)，所以直线AB的方程为y－0＝－eq \f(1,2)(x－8)，即x＋2y－8＝0，故选A.
法二：依题意，以OA为直径的圆的方程为(x－4)2＋y2＝16，
解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－4）2＋y2＝16,y＝2x))，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(8,5),y＝\f(16,5)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0,y＝0))(舍去)，即Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(16,5)))，因为A(8，0)，所以kAB＝eq \f(\f(16,5),\f(8,5)－8)＝－eq \f(1,2)，所以直线AB的方程为y－0＝－eq \f(1,2)(x－8)，即x＋2y－8＝0，故选A.
5．(2020·河北五个一名校联盟一诊)已知点P为圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4上一点，A(0，－6)，B(4，0)，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值为( )
A.eq \r(26)＋2 B．eq \r(26)＋4
C．2eq \r(26)＋4 D．2eq \r(26)＋2
解析：选C.取AB的中点D(2，－3)，则eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝2eq \(PD,\s\up6(→))，|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|＝|2eq \(PD,\s\up6(→))|，|eq \(PD,\s\up6(→))|的最大值为圆心C(1，2)与D(2，－3)的距离d再加半径r，又d＝eq \r(1＋25)＝eq \r(26)，所以d＋r＝eq \r(26)＋2.
所以|2eq \(PD,\s\up6(→))|的最大值为2eq \r(26)＋4.故选C.
6．点M，N是圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径为________．
解析：圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(k,2)，－1)).因为点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，所以直线x－y＋1＝0经过圆心，即－eq \f(k,2)＋1＋1＝0，k＝4.所以圆的方程为x2＋y2＋4x＋2y－4＝0，圆的半径为eq \f(1,2)×eq \r(42＋22－4×（－4）)＝3.
答案：3
7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，eq \r(5))在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为eq \f(4\r(5),5)，则圆C的方程为________________．
解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a>0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝eq \f(2a,\r(5))＝eq \f(4\r(5),5)，
解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝eq \r(4＋5)＝3，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案：(x－2)2＋y2＝9
8．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，则点M的轨迹方程为________________．
解析：圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，
所以圆心为C(0，4)，半径为4.
设M(x，y)，则eq \(CM,\s\up6(→))＝(x，y－4)，eq \(MP,\s\up6(→))＝(2－x，2－y)．
由题设知eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(MP,\s\up6(→))＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0.
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
答案：(x－1)2＋(y－3)2＝2
9．(一题多解)一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2eq \r(7)，则该圆的方程为________．
解析：法一：因为所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
所以设所求圆的圆心为(3a，a)，
又所求圆与y轴相切，
所以半径r＝3|a|，
又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2eq \r(7)，圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝eq \f(|2a|,\r(2))，
所以d2＋(eq \r(7))2＝r2，
即2a2＋7＝9a2，所以a＝±1.
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心(a，b)到直线y＝x的距离为eq \f(|a－b|,\r(2))，
所以r2＝eq \f(（a－b）2,2)＋7，即2r2＝(a－b)2＋14. ①
由于所求圆与y轴相切，所以r2＝a2， ②
又因为所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
所以a－3b＝0， ③
联立①②③，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝1，,r2＝9))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝－1，,r2＝9.))
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
法三：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，
半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F).
在圆的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.
由于所求圆与y轴相切，
所以Δ＝0，则E2＝4F. ①
圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))到直线y＝x的距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)＋\f(E,2))),\r(2))，
由已知得d2＋(eq \r(7))2＝r2，
即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)． ②
又圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))在直线x－3y＝0上，
所以D－3E＝0. ③
联立①②③，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝－6，,E＝－2，,F＝1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝6，,E＝2，,F＝1.))
故所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
答案：x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0
10．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－1），,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2).
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝eq \f(4k2＋4,k2).
由题设知eq \f(4k2＋4,k2)＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y0＝－x0＋5，,（x0＋1）2＝\f(（y0－x0＋1）2,2)＋16，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝3，,y0＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝11，,y0＝－6.))
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
[综合题组练]
1．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为( )
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
解析：选D.由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．
因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，
所以|PO|2＋r2＝|PC|2，
所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，
即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0，故选D.
2．设点P是函数y＝－eq \r(4－（x－1）2)的图象上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为( )
A.eq \f(8\r(5),5)－2 B．eq \r(5)
C.eq \r(5)－2 D．eq \f(7\r(5),5)－2
解析：选C.如图所示，点P在半圆C(实线部分)上，且由题意知，C(1，0)，点Q在直线l：x－2y－6＝0上．过圆心C作直线l的垂线，垂足为点A，则|CA|＝eq \r(5)，|PQ|min＝|CA|－2＝eq \r(5)－2.故选C.
3．(2020·福建厦门一模)在△ABC中，AB＝4，AC＝2，A＝eq \f(π,3)，动点P在以点A为圆心，半径为1的圆上，则eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最小值为________．
解析：如图，以点A为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
则A(0，0)，B(4，0)，C(1，eq \r(3))，设P(x，y)，则eq \(PB,\s\up6(→))＝(4－x，－y)，eq \(PC,\s\up6(→))＝(1－x，eq \r(3)－y)，
所以eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝(4－x)(1－x)－y(eq \r(3)－y)＝x2－5x＋y2－eq \r(3)y＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)－3，其中eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)表示圆A上的点P与点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(\r(3),2)))之间距离|PM|的平方，由几何图形可得|PM|min＝|AM|－1＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))－1＝eq \r(7)－1，
所以(eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→)))min＝(eq \r(7)－1)2－3＝5－2eq \r(7).
答案：5－2eq \r(7)
4．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4eq \r(10).则直线CD的方程为________，圆P的方程为________．
解析：由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2)．
则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①
又因为直径|CD|＝4eq \r(10)，所以|PA|＝2eq \r(10)，
所以(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝6，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝－2.))
所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)．
所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
答案：x＋y－3＝0 (x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40
5．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．
解：(1)由D2＋E2－4F>0得(－2)2＋(－4)2－4m>0，解得m<5.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x＋2y－4＝0得x＝4－2y；将x＝4－2y代入x2＋y2－2x－4y＋m＝0得5y2－16y＋8＋m＝0，所以y1＋y2＝eq \f(16,5)，y1y2＝eq \f(8＋m,5).因为OM⊥ON，所以eq \f(y1,x1)·eq \f(y2,x2)＝－1，即x1x2＋y1y2＝0.因为x1x2＝(4－2y1)(4－2y2)＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2，所以x1x2＋y1y2＝16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0，即(8＋m)－8×eq \f(16,5)＋16＝0，解得m＝eq \f(8,5).
(3)设圆心C的坐标为(a，b)，则a＝eq \f(1,2)(x1＋x2)＝eq \f(4,5)，b＝eq \f(1,2)(y1＋y2)＝eq \f(8,5)，半径r＝|OC|＝eq \f(4\r(5),5)，所以所求圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4,5)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(8,5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(16,5).
6．在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.
(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
解：由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.
设A(x1，0)，B(x2，0)，则可得Δ＝m2－8m>0，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.
令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)．
(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0或m＝－eq \f(1,2).
由Δ>0得m<0或m>8，所以m＝－eq \f(1,2)，
此时C(0，－1)，AB的中点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0))即圆心，半径r＝|CM|＝eq \f(\r(17),4)，
故所求圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,4)))eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(17,16).
(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，
将点C(0，2m)代入可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0，
整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.
令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2－y＝0，,x＋2y－2＝0，))可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,5)，,y＝\f(4,5)，))
故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(4,5))).