2023届高考一轮复习讲义（理科）第九章　平面解析几何 第5讲　第1课时　高效演练分层突破学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第九章　平面解析几何 第5讲　第1课时　高效演练分层突破学案，共8页。
A.eq \f(9,8) B．eq \f(3\r(2),2)
C.eq \f(4,3) D．eq \f(3\r(2),4)
解析：选D.因为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2－b2,a2))＝eq \f(1,3)，所以8a2＝9b2，所以eq \f(a,b)＝eq \f(3\r(2),4).故选D.
2．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是eq \f(3,4)，则此椭圆的标准方程是( )
A.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)＝1
B.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)＝1或eq \f(x2,7)＋eq \f(y2,16)＝1
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1
D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1或eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1
解析：选B.因为a＝4，e＝eq \f(3,4)，
所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝16－9＝7.
因为焦点的位置不确定，
所以椭圆的标准方程是eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)＝1或eq \f(x2,7)＋eq \f(y2,16)＝1.
3．已知点F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．4 B．6
C．8 D．12
解析：选A.由|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs 60°＝|F1F2|2，得3|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|·|PF2|＝4，故选A.
4．设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为( )
A.eq \r(2)－1 B．eq \f(\r(5)－1,2)
C.eq \f(\r(2),2) D．eq \r(2)＋1
解析：选A.不妨设椭圆E的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，如图所示，因为△PF1F2为直角三角形，所以PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝2eq \r(2)c，所以|PF1|＋|PF2|＝2c＋2eq \r(2)c＝2a，所以椭圆E的离心率e＝eq \r(2)－1.故选A.
5．(2020·江西赣州模拟)已知A，B是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的两点，且A，B关于坐标原点对称，F是椭圆的一个焦点，若△ABF面积的最大值恰为2，则椭圆E的长轴长的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D.如图所示，
设直线AB的方程为ty＝x，F(c，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ty＝x，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1))可得y2＝eq \f(a2b2,b2t2＋a2)＝－y1y2，
所以△ABF的面积S＝eq \f(1,2)c|y1－y2|＝
eq \f(1,2)ceq \r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝ceq \r(\f(a2b2,b2t2＋a2))≤cb，当t＝0时取等号．
所以bc＝2.所以a2＝b2＋c2≥2bc＝4，a≥2.所以椭圆E的长轴长的最小值为4.故选D.
6．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．
解析：不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝eq \r(36－20)＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.
设M(x，y)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，,|F1M|2＝（x＋4）2＋y2＝64，,x>0，,y>0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝\r(15)，))
所以M的坐标为(3，eq \r(15))．
答案：(3，eq \r(15))
7．(2020·河北衡水三模)“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目．近期，“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点，被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面100千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面15千米，则椭圆形轨道的焦距为________千米．
解析：设椭圆的长半轴长为a千米，半焦距为c千米，月球半径为r千米．
由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋c＝100＋r，,a－c＝15＋r，))解得2c＝85.
即椭圆形轨道的焦距为85千米．
答案：85
8．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于eq \f(4,5)，则椭圆E的离心率的取值范围是________．
解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得，A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.
又d＝eq \f(|3×0－4×b|,\r(32＋（－4）2))≥eq \f(4,5)，所以1≤b0)的右焦点为F2(3，0)，离心率为e.
(1)若e＝eq \f(\r(3),2)，求椭圆的方程；
(2)设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且eq \f(\r(2),2)b>0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是________．
解析：设正方形的边长为2m，因为椭圆的焦点在正方形的内部，所以m>c，又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，所以eq \f(m2,a2)＋eq \f(m2,b2)＝1>eq \f(c2,a2)＋eq \f(c2,b2)＝e2＋eq \f(e2,1－e2)，整理得e4－3e2＋1>0，e2