2023届高考一轮复习讲义（理科）第三章　导数及其应用第3讲　定积分与微积分基本定理学案

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这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第三章　导数及其应用第3讲　定积分与微积分基本定理学案，共13页。

一、知识梳理
1．定积分的概念
如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0在eq \i\in(a,b,)f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．
2．定积分的性质
(1)eq \i\in(a,b,)kf(x)dx＝keq \i\in(a,b,)f(x)dx(k为常数)．
(2)eq \i\in(a,b,)[f1(x)±f2(x)]dx＝eq \i\in(a,b,)f1(x)dx±eq \i\in(a,b,)f2(x)dx．
(3)eq \i\in(a,b,)f(x)dx＝eq \i\in(a,c,)f(x)dx＋eq \i\in(c,b,)f(x)dx(其中a3．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么eq \i\in(a,b,)f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼茨公式．
为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(b,a))，即eq \i\in(a,b,)f(x)dx＝F(x)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(b,a))＝F(b)－F(a)．
常用结论
1．定积分应用的常用结论
当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．
2．若函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有
(1)若f(x)为偶函数，则eq \i\in(－a,a,)f(x)dx＝2eq \i\in(0,a,)f(x)dx.
(2)若f(x)为奇函数，则eq \i\in(－a,a,)f(x)dx＝0.
二、习题改编
1．(选修22P66T14改编)设f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2，x≥0，,2x，x<0，))则eq \i\in(－1,1,)f(x)dx的值是( )
A.eq \i\in(－1,1,)x2dx B．eq \i\in(－1,1,)2xdx
C.eq \i\in(－1,0,)x2dx＋eq \i\in(0,1,)2xdx D．eq \i\in(－1,0,)2xdx＋eq \i\in(0,1,)x2dx
解析：选D.由分段函数的定义及定积分运算性质，
得eq \i\in(－1,1,)f(x)dx＝eq \i\in(－1,0,)2xdx＋eq \i\in(0,1,)x2dx.故选D.
2．(选修22P66A组T14改编)eq \i\in(2,e＋1,)eq \f(1,x－1)dx＝________．
解析：eq \i\in(2,e＋1,)eq \f(1,x－1)dx＝ln(x－1)|eq \\al(e＋1,2)＝ln e－ln 1＝1.
答案：1
3．(选修22P55A组T1改编)若 EQ \i\in(0,eq \s\d5(\f(π,2)),)(sin x－acs x)dx＝2，则实数a等于________．
解析：由题意知(－cs x－asin x)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(eq \f(π,2),0))＝1－a＝2，a＝－1.
答案：－1
4．(选修22P60A组T6改编)汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的位移是________m.
解析：s＝eq \i\in(1,2,)(3t＋2)dt＝eq \b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)t2＋2t))))eq \s\up12(2)1
＝eq \f(3,2)×4＋4－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋2))＝10－eq \f(7,2)＝eq \f(13,2)(m)．
答案：eq \f(13,2)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则eq \i\in(a,b,)f(x)dx＝eq \i\in(a,b,)f(t)dt.( )
(2)若f(x)是偶函数，则eq \i\in(－a,a,)f(x)dx＝2eq \i\in(0,a,)f(x)dx.( )
(3)若f(x)是奇函数，则eq \i\in(－a,a,)f(x)dx＝0.( )
(4)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的区域面积是eq \i\in(0,1,)(x2－x)dx.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ｋ))(1)误解积分变量致误；
(2)不会利用定积分的几何意义求定积分；
(3)f(x)，g(x)的图象与直线x＝a，x＝b所围成的曲边图形的面积的表达式不清致错．
1．定积分eq \i\in(－1,2,)(t2＋1)dx＝________．
解析：eq \i\in(－1,2,)(t2＋1)dx＝(t2＋1)x|eq \\al(2,－1)
＝2(t2＋1)＋(t2＋1)＝3t2＋3.
答案：3t2＋3
2.eq \i\in(0,\r(2),)eq \r(2－x2)dx＝________
解析：eq \i\in(0,\r(2),)eq \r(2－x2)dx表示以原点为圆心，eq \r(2)为半径的eq \f(1,4)圆的面积，故eq \i\in(0,\r(2),)eq \r(2－x2)dx＝eq \f(1,4)π×(eq \r(2))2＝eq \f(π,2).
答案：eq \f(π,2)
3．如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．
解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－x2＋2x＋1，,y＝1，))得x1＝0，x2＝2.
所以S＝eq \i\in(0,2,)(－x2＋2x＋1－1)dx＝eq \i\in(0,2,)(－x2＋2x)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x3,3)＋x2))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(2,0))＝－eq \f(8,3)＋4＝eq \f(4,3).
答案：eq \f(4,3)
[学生用书P53]
定积分的计算(多维探究)
角度一利用微积分基本定理求定积分
计算下列定积分：
(1)eq \i\in(1,2,)eq \f(2,x)dx；(2)eq \i\in(0,π,)cs xdx；(3)eq \i\in(1,3,)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x2)))dx.
【解】 (1)因为(ln x)′＝eq \f(1,x)，所以eq \i\in(1,2,)eq \f(2,x)dx＝2eq \i\in(1,2,)eq \f(1,x)dx＝2ln xeq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(2,1))＝2(ln 2－ln 1)＝2ln 2.
(2)因为(sin x)′＝cs x，所以eq \i\in(0,π,)cs xdx＝sin xeq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(π,0))＝sin π－sin 0＝0.
(3)因为(x2)′＝2x，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))′＝－eq \f(1,x2)，所以eq \i\in(1,3,)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x2)))dx＝eq \i\in(1,3,)2xdx＋eq \i\in(1,3,)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x2)))dx＝x2eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(3,1))＋eq \f(1,x)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(3,1))＝eq \f(22,3).
角度二利用定积分的几何意义求定积分
计算下列定积分：
(1)eq \i\in(0,1,)eq \r(1－（x－1）2)dx；
(2)eq \i\in(－5,5,)(3x3＋4sin x)dx.
【解】 (1)
根据定积分的几何意义，可知eq \i\in(0,1,)eq \r(1－（x－1）2)dx表示的是圆(x－1)2＋y2＝1的面积的eq \f(1,4)(如图中阴影部分)．
故eq \i\in(0,1,)eq \r(1－（x－1）2)dx＝eq \f(π,4).
(2)设y＝f(x)＝3x3＋4sin x，
则f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x)＝－(3x3＋4sin x)＝－f(x)，
所以f(x)＝3x3＋4sin x在[－5，5]上是奇函数．
所以eq \i\in(－5,0,)(3x3＋4sin x)dx＝－eq \i\in(0,5,)(3x3＋4sin x)dx.
所以eq \i\in(－5,5,)(3x3＋4sin x)dx＝eq \i\in(－5,0,)(3x3＋4sin x)dx＋eq \i\in(0,5,)(3x3＋4sin x)dx＝0.
eq \a\vs4\al()
计算定积分的解题步骤
(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．
(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分．
(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．
(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．
[提醒] 当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，可利用定积分的几何意义求定积分．
1.eq \i\in(－1,1,)e|x|dx的值为( )
A．2 B．2e
C．2e－2 D．2e＋2
解析：选C.eq \i\in(－1,1,)e|x|dx＝eq \i\in(－1,0,)e－xdx＋eq \i\in(0,1,)exdx
＝－e－xeq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(1,-1))＋exeq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(1,0))＝[－e0－(－e)]＋(e－e0)
＝－1＋e＋e－1＝2e－2，故选C.
2.eq \i\in(0,1,)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(1－x2)＋\f(1,2)x))dx＝________．
解析：eq \i\in(0,1,)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(1－x2)＋\f(1,2)x))dx＝eq \i\in(0,1,)eq \r(1－x2)dx＋eq \i\in(0,1,)eq \f(1,2)xdx，eq \i\in(0,1,)eq \f(1,2)xdx＝eq \f(1,4)，eq \i\in(0,1,)eq \r(1－x2)dx表示四分之一单位圆的面积，为eq \f(π,4)，所以结果是eq \f(π＋1,4).
答案：eq \f(π＋1,4)
利用定积分求平面图形的面积(师生共研)
(一题多解)求由抛物线y2＝2x与直线y＝x－4围成的平面图形的面积．
【解】
如图所示，解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝2x，,y＝x－4，))得两交点的坐标分别为(2，－2)，(8，4)．
法一：选取横坐标x为积分变量，则图中阴影部分的面积S可看作两部分面积之和，
即S＝2eq \i\in(0,2,)eq \r(2x)dx＋eq \i\in(2,8,)(eq \r(2x)－x＋4)dx＝18.
法二：选取纵坐标y为积分变量，则图中阴影部分的面积S＝eq \i\in(－2,4,)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋4－\f(1,2)y2))dy＝18.
eq \a\vs4\al()
设阴影部分的面积为S，则对如图所示的四种情况分别有：

(1)S＝eq \i\in(a,b,)f(x)dx.
(2)S＝－eq \i\in(a,b,)f(x)dx.
(3)S＝eq \i\in(a,c,)f(x)dx－eq \i\in(c,b,)f(x)dx.
(4)S＝eq \i\in(a,b,)f(x)dx－eq \i\in(a,b,)g(x)dx＝eq \i\in(a,b,)[f(x)－g(x)]dx.
1．已知曲线C：y＝x2＋2x在点(0，0)处的切线为l，则由C，l以及直线x＝1围成的区域的面积等于________．
解析：因为y′＝2x＋2，所以曲线C：y＝x2＋2x在点(0，0)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝2，所以切线方程为y＝2x，所以由C，l以及直线x＝1围成的区域如图中阴影部分所示，其面积S＝eq \i\in(0,1,)(x2＋2x－2x)dx＝eq \i\in(0,1,)x2dx＝eq \f(x3,3)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(1,0))＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
2.已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为eq \f(1,12)，则a的值为________．
解析：f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，因为f′(0)＝0，所以b＝0，所以f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a＜0)．S阴影＝－eq \i\in(a,0,)(－x3＋ax2)dx＝eq \f(1,12)a4＝eq \f(1,12)，
所以a＝－1.
答案：－1
定积分在物理中的应用(师生共研)
(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋eq \f(25,1＋t)(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )
A．1＋25ln 5 B．8＋25ln eq \f(11,3)
C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2
(2)一物体在力F(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5，0≤x≤2，,3x＋4，x>2))(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为________J.
【解析】 (1)令v(t)＝0得，3t2－4t－32＝0，
解得t＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＝－\f(8,3)舍去)).
汽车的刹车距离是
eq \i\in(0,4,)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7－3t＋\f(25,1＋t)))dt＝[7t－eq \f(3,2)t2＋25ln(t＋1)]eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(4,0))
＝4＋25ln 5.
(2)由题意知，力F(x)所做的功为
W＝eq \i\in(0,4,)F(x)dx＝eq \i\in(0,2,)5dx＋eq \i\in(2,4,)(3x＋4)dx＝5×2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x2＋4x))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(4,2))
＝10＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)×42＋4×4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)×22＋4×2))))＝36(J)．
【答案】 (1)C (2)36
eq \a\vs4\al()
定积分在物理中的两个应用
(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝eq \i\in(a,b,)v(t)dt.
(2)变力做功，一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝eq \i\in(a,b,)F(x)dx.
1．物体A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C.因为物体A在t秒内行驶的路程为eq \i\in(0,t,)(3t2＋1)dt，物体B在t秒内行驶的路程为eq \i\in(0,t,)10tdt，因为(t3＋t－5t2)′＝3t2＋1－10t，所以eq \i\in(0,t,)(3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(t,0))＝t3＋t－5t2＝5，
整理得(t－5)(t2＋1)＝0，解得t＝5.
2．设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________J(x的单位：m；力的单位： N)．
解析：变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10所做的功为W＝eq \i\in(1,10,)F(x)dx＝eq \i\in(1,10,)(x2＋1)dx，因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x3＋x))′＝x2＋1，所以原式＝342(J)．
答案：342
[学生用书P274(单独成册)]
[基础题组练]
1．定积分eq \i\in(0,1,)(3x＋ex)dx的值为( )
A．e＋1 B．e
C．e－eq \f(1,2) D．e＋eq \f(1,2)
解析：选D.eq \i\in(0,1,)(3x＋ex)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x2＋ex))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(1,0))＝eq \f(3,2)＋e－1＝eq \f(1,2)＋e.
2．若f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg x，x＞0，,x＋\a\vs4\al(\i\in(0,a,)3t2dt，x≤0，)))f(f(1))＝1，则a的值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
解析：选A.因为f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝eq \i\in(0,a,)3t2dt＝t3eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(a,0))＝a3，所以由f(f(1))＝1得a3＝1，所以a＝1.
3．若f(x)＝x2＋2eq \i\in(0,1,)f(x)dx，则eq \i\in(0,1,)f(x)dx＝( )
A．－1 B．－eq \f(1,3)
C.eq \f(1,3) D．1
解析：选B.因为f(x)＝x2＋2eq \i\in(0,1,)f(x)dx，
所以eq \i\in(0,1,)f(x)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x3＋2x\a\vs4\al(\i\in(0,1,)f（x）dx)))|eq \\al(1,0)
＝eq \f(1,3)＋2eq \i\in(0,1,)f(x)dx，所以eq \i\in(0,1,)f(x)dx＝－eq \f(1,3).
4．设f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(1－x2)，x∈[－1，1]，,x2－1，x∈（1，2]，))则eq \i\in(－1,2,)f(x)dx的值为( )
A.eq \f(π,2)＋eq \f(4,3) B．eq \f(π,2)＋3
C.eq \f(π,4)＋eq \f(4,3) D．eq \f(π,4)＋3
解析：选A.eq \i\in(－1,2,)f(x)dx＝eq \i\in(－1,1,)eq \r(1－x2)dx＋eq \i\in(1,2,)(x2－1)dx＝eq \f(1,2)π×12＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x3－x))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(2,1))＝eq \f(π,2)＋eq \f(4,3)，故选A.
5.
由曲线y＝x2和曲线y＝eq \r(x)围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(3,10)
C.eq \f(1,4) D．eq \f(1,5)
解析：选A.由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x2，,y＝\r(x)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))所以阴影部分的面积为eq \i\in(0,1,)(eq \r(x)－x2)dx＝eq \f(1,3).故选A.
6．定积分eq \i\in(－1,1,)(x2＋sin x)dx＝________．
解析：eq \i\in(－1,1,)(x2＋sin x)dx
＝eq \i\in(－1,1,)x2dx＋eq \i\in(－1,1,)sin xdx
＝2eq \i\in(0,1,)x2dx＝2·eq \f(x3,3)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(1,0))＝eq \f(2,3).
答案：eq \f(2,3)
7.eq \i\in(－1,1,)(x2tan x＋x3＋1)dx＝________．
解析：因为x2tan x＋x3是奇函数．
所以eq \i\in(－1,1,)(x2tan x＋x3＋1)dx＝eq \i\in(－1,1,)1dx＝x|eq \\al(1,－1)＝2.
答案：2
8．一物体受到与它运动方向相反的力：F(x)＝eq \f(1,10)ex＋x的作用，则它从x＝0运动到x＝1时F(x)所做的功等于________．
解析：由题意知W＝－eq \i\in(0,1,)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)ex＋x))dx
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)ex＋\f(1,2)x2))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(1,0))＝－eq \f(e,10)－eq \f(2,5).
答案：－eq \f(e,10)－eq \f(2,5)
9．求下列定积分：
(1)eq \i\in(1,2,)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－x2＋\f(1,x)))dx；
(2)eq \i\in(－π,0,)(cs x＋ex)dx.
解：(1)eq \i\in(1,2,)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－x2＋\f(1,x)))dx＝eq \i\in(1,2,)xdx－eq \i\in(1,2,)x2dx＋eq \i\in(1,2,)eq \f(1,x)dx
＝eq \f(x2,2)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(2,1))－eq \f(x3,3)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(2,1))＋ln xeq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(2,1))＝eq \f(3,2)－eq \f(7,3)＋ln 2＝ln 2－eq \f(5,6).
(2)eq \i\in(－π,0,)(cs x＋ex)dx＝eq \i\in(－π,0,)cs xdx＋eq \i\in(－π,0,)exdx
＝sin xeq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(0,－π))＋exeq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(0,－π))＝1－eq \f(1,eπ).
10．已知函数f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在点(1，2)处的切线与函数g(x)＝x2围成的图形的面积．
解：因为(1，2)为曲线f(x)＝x3－x2＋x＋1上的点，
设过点(1，2)处的切线的斜率为k，
则k＝f′(1)
＝(3x2－2x＋1)|x＝1＝2，
所以过点(1，2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形如图中阴影部分所示，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x2，,y＝2x))可得交点A(2，4)，O(0，0)，故y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形的面积
S＝eq \i\in(0,2,)(2x－x2)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(1,3)x3))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(2,0))＝4－eq \f(8,3)＝eq \f(4,3).
[综合题组练]
1．由曲线xy＝1，直线y＝x，x＝3所围成的封闭平面图形的面积为( )
A.eq \f(32,9) B．4－ln 3
C．4＋ln 3 D．2－ln 3
解析：选B.画出平面图形，根据图形确定积分的上、下限及被积函数．由曲线xy＝1，直线y＝x，x＝3所围成的封闭的平面图形如图所示：
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xy＝1，,y＝x，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1))
或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1.（舍）))
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x，,x＝3，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝3.))
故阴影部分的面积为eq \i\in(1,3,)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))dx＝
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x2－ln x))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(3,,1))＝4－ln 3.
2．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若eq \i\in(0,1,)f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．
解析：eq \i\in(0,1,)f(x)dx＝eq \i\in(0,1,)(ax2＋c)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)ax3＋cx))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(1,,0))＝eq \f(1,3)a＋c＝f(x0)＝axeq \\al(2,0)＋c，
所以xeq \\al(2,0)＝eq \f(1,3)，x0＝±eq \f(\r(3),3).
又因为0≤x0≤1，所以x0＝eq \f(\r(3),3).
答案：eq \f(\r(3),3)
3.eq \i\in(－1,1,)(eq \r(1－x2)＋ex－1)dx＝________．
解析：eq \i\in(－1,1,)(eq \r(1－x2)＋ex－1)dx
＝eq \i\in(－1,1,)eq \r(1－x2)dx＋eq \i\in(－1,1,)(ex－1)dx.
因为eq \i\in(－1,1,)eq \r(1－x2)dx表示单位圆的上半部分的面积，
所以eq \i\in(－1,1,)eq \r(1－x2)dx＝eq \f(π,2).
而eq \i\in(－1,1,)(ex－1)dx＝(ex－x)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(1,－1))
＝(e1－1)－(e－1＋1)＝e－eq \f(1,e)－2，
所以eq \i\in(－1,1,)(eq \r(1－x2)＋ex－1)dx＝eq \f(π,2)＋e－eq \f(1,e)－2.
答案：eq \f(π,2)＋e－eq \f(1,e)－2
4．若函数f(x)在R上可导，f(x)＝x3＋x2f′(1)，则eq \i\in(0,2,)f(x)dx＝________．
解析：因为f(x)＝x3＋x2f′(1)，
所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)．
所以f′(1)＝3＋2f′(1)，解得f′(1)＝－3.
所以f(x)＝x3－3x2.
故eq \i\in(0,2,)f(x)dx＝eq \i\in(0,2,)(x3－3x2)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x4,4)－x3))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(2,0))＝－4.
答案：－4
5．如图，在曲线C：y＝x2，x∈[0，1]上取点P(t，t2)，过点P作x轴的平行线l.曲线C与直线x＝0，x＝1及直线l围成的图形包括两部分，面积分别记为S1，S2.当S1＝S2时，求t的值．
解：根据题意，直线l的方程是y＝t2，且0＜t＜1.
结合题图，得交点坐标分别是
A(0，0)，P(t，t2)，B(1，1)．
所以S1＝eq \i\in(0,t,)(t2－x2)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t2x－\f(1,3)x3))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(t,0))
＝t3－eq \f(1,3)t3＝eq \f(2,3)t3，0＜t＜1.
S2＝eq \i\in(t,1,)(x2－t2)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x3－t2x))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(1,t))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－t2))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)t3－t3))
＝eq \f(2,3)t3－t2＋eq \f(1,3)，0＜t＜1.
由S1＝S2，
得eq \f(2,3)t3＝eq \f(2,3)t3－t2＋eq \f(1,3)，
所以t2＝eq \f(1,3).又0＜t＜1，所以t＝eq \f(\r(3),3).
所以当S1＝S2时，t＝eq \f(\r(3),3).