2023届高考一轮复习讲义（理科）第十二章　复数、算法、推理与证明 第5讲　高效演练分层突破学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第十二章　复数、算法、推理与证明 第5讲　高效演练分层突破学案，共5页。

A．a1＋(k－1)d B．eq \f(k（a1＋ak）,2)
C．ka1＋eq \f(k（k－1）,2)d D．(k＋1)a1＋eq \f(k（k＋1）,2)d
解析：选C.假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋eq \f(k（k－1）,2)d.
2．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，那么下列命题总成立的是( )
A．若f(1)<2成立，则f(10)<11成立
B．若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立
C．若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立
D．若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立
解析：选D.当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，说明如果当k＝n时，f(n)≥n＋1成立，那么当k＝n＋1时，f(n＋1)≥n＋2也成立，所以如果当k＝4时，f(4)≥5成立，那么当k≥4时，f(k)≥k＋1也成立．
3．用数学归纳法证明1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n)＝eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,2n)，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上( )
A.eq \f(1,2k＋2) B．－eq \f(1,2k＋2)
C.eq \f(1,2k＋1)－eq \f(1,2k＋2) D．eq \f(1,2k＋1)＋eq \f(1,2k＋2)
解析：选C.因为当n＝k时，左端＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2k－1)－eq \f(1,2k)，当n＝k＋1时，
左端＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2k－1)－eq \f(1,2k)＋eq \f(1,2k＋1)－eq \f(1,2k＋2).所以，左端应在n＝k的基础上加上eq \f(1,2k＋1)－eq \f(1,2k＋2).
4．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系是( )
A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2
C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2
D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2
解析：选A.f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
5．利用数学归纳法证明不等式1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2n－1)A．1项 B．k项
C．2k－1项 D．2k项
解析：选D.令不等式的左边为g(n)，则g(k＋1)－g(k)＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2k－1)＋eq \f(1,2k)＋eq \f(1,2k＋1)＋…＋eq \f(1,2k＋1－1)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)＋\f(1,3)＋…＋\f(1,2k－1)))＝eq \f(1,2k)＋eq \f(1,2k＋1)＋…＋eq \f(1,2k＋1－1)，
其项数为2k＋1－1－2k＋1＝2k＋1－2k＝2k.
故左边增加了2k项．
6．用数学归纳法证明1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2n－1)1)时，第一步应验证的不等式是________．
解析：由n∈N*，n>1知，n取第一个值n0＝2，
当n＝2时，不等式为1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)<2.
答案：1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)<2
7．用数学归纳法证明eq \f(1,22)＋eq \f(1,32)＋…＋eq \f(1,（n＋1）2)>eq \f(1,2)－eq \f(1,n＋2)，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________________．
答案：eq \f(1,22)＋eq \f(1,32)＋…＋eq \f(1,（k＋1）2)＋eq \f(1,（k＋2）2)>eq \f(1,2)－eq \f(1,k＋3)
8．用数学归纳法证明不等式eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,n＋n)>eq \f(13,24)(n≥2)的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________．
解析：不等式的左边增加的式子是eq \f(1,2k＋1)＋eq \f(1,2k＋2)－eq \f(1,k＋1)＝eq \f(1,（2k＋1）（2k＋2）)，故填eq \f(1,（2k＋1）（2k＋2）).
答案：eq \f(1,（2k＋1）（2k＋2）)
9．用数学归纳法证明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·eq \f(n（n＋1）,2).
证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1，
右边＝(－1)0×eq \f(1×（1＋1）,2)＝1，左边＝右边，原等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1·eq \f(k（k＋1）,2).
那么，当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k·(k＋1)2
＝(－1)k－1·eq \f(k（k＋1）,2)＋(－1)k·(k＋1)2
＝(－1)k·eq \f(k＋1,2)[－k＋2(k＋1)]
＝(－1)k·eq \f(（k＋1）（k＋2）,2).
所以当n＝k＋1时，等式也成立，
由(1)(2)知，对任意n∈N*，都有
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·eq \f(n（n＋1）,2).
10．已知f(n)＝1＋eq \f(1,23)＋eq \f(1,33)＋eq \f(1,43)＋…＋eq \f(1,n3)，g(n)＝eq \f(3,2)－eq \f(1,2n2)，n∈N*.
(1)当n＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小；
(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．
解：(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，
所以f(1)＝g(1)；
当n＝2时，f(2)＝eq \f(9,8)，g(2)＝eq \f(11,8)，
所以f(2)＜g(2)；
当n＝3时，f(3)＝eq \f(251,216)，g(3)＝eq \f(312,216)，
所以f(3)＜g(3)．
(2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明．
①当n＝1，2，3时，不等式显然成立．
②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时不等式成立，即1＋eq \f(1,23)＋eq \f(1,33)＋eq \f(1,43)＋…＋eq \f(1,k3)＜eq \f(3,2)－eq \f(1,2k2).
那么，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋eq \f(1,（k＋1）3)＜eq \f(3,2)－eq \f(1,2k2)＋eq \f(1,（k＋1）3).
因为eq \f(1,2（k＋1）2)－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2k2)－\f(1,（k＋1）3)))
＝eq \f(k＋3,2（k＋1）3)－eq \f(1,2k2)＝eq \f(－3k－1,2（k＋1）3k2)＜0，
所以f(k＋1)＜eq \f(3,2)－eq \f(1,2（k＋1）2)＝g(k＋1)．
由①②可知，对一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立．
[综合题组练]
1．已知整数p>1，证明：当x>－1且x≠0时，(1＋x)p>1＋px.
证明：用数学归纳法证明．
①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．
②假设当p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立．
则当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.
所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．
综合①②可得，当x>－1且x≠0时，对一切整数p>1，
不等式(1＋x)p>1＋px均成立．
2．已知数列{xn}满足x1＝eq \f(1,2)，且xn＋1＝eq \f(xn,2－xn)(n∈N*)．
(1)用数学归纳法证明：0(2)设an＝eq \f(1,xn)，求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：①当n＝1时，x1＝eq \f(1,2)∈(0，1)，不等式成立．
②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，不等式成立，
即xk∈(0，1)，
则当n＝k＋1时，xk＋1＝eq \f(xk,2－xk)，
因为xk∈(0，1)，所以2－xk>0，即xk＋1>0.
又因为xk＋1－1＝eq \f(2（xk－1）,2－xk)<0，所以0综合①②可知0(2)由xn＋1＝eq \f(xn,2－xn)可得eq \f(1,xn＋1)＝eq \f(2－xn,xn)＝eq \f(2,xn)－1，
即an＋1＝2an－1，所以an＋1－1＝2(an－1)．
令bn＝an－1，
则bn＋1＝2bn，又b1＝a1－1＝eq \f(1,x1)－1＝1，
所以{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，
即bn＝2n－1，所以an＝2n－1＋1.
3．将正整数作如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下：
S1＝1，
S2＝2＋3＝5，
S3＝4＋5＋6＝15，
S4＝7＋8＋9＋10＝34，
S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，
…
试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明．
解：由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；
当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；
当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；
当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44.
猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4，
那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)可知，对于任意的n∈N*，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立．