2023届高考一轮复习讲义（理科）第十一章　统计与统计案例 第1讲　高效演练分层突破学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第十一章　统计与统计案例 第1讲　高效演练分层突破学案，共6页。

1．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则 ( )
A．p1＝p2＜p3 B．p2＝p3＜p1
C．p1＝p3＜p2 D．p1＝p2＝p3
解析：选D.由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p1＝p2＝p3.
2．为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A，B，C三所中学抽取60名教师进行调查，已知A，B，C三所学校中分别有180，270，90名教师，则从C学校中应抽取的人数为( )
A．10 B．12
C．18 D．24
解析：选A.根据分层抽样的特征，从C学校中应抽取的人数为eq \f(90,180＋270＋90)×60＝10.
3．现用系统抽样方法从已编号(1～60)的60枚新型导弹中，随机抽取6枚进行试验，则所选取的6枚导弹的编号可能是( )
A．5，10，15，20，25，30 B．2，4，8，16，32，48
C．5，15，25，35，45，55 D．1，12，34，47，51，60
解析：选C.从60枚新型导弹中随机抽取6枚，采用系统抽样间隔应为eq \f(60,6)＝10，只有C选项中导弹的编号间隔为10.
4．某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学按01，02，03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是( )
(注：下表为随机数表的第8行和第9行)
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50,71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79))第8行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07,44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54))第9行
A．07 B．25
C．42 D．52
解析：选D.依题意得，依次选出的个体分别是12，34，29，56，07，52，…，因此选出的第6个个体是52，选D.
5．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B.35÷7＝5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间[139，151]上共有20个数据，分在4个小组中，每组取一人，共取4人．
6．为了解1 200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采取系统抽样，则分段的间隔k为________．
解析：在系统抽样中，确定分段间隔k，对编号进行分段，k＝eq \f(N,n)(N为总体的容量，n为样本的容量)，所以k＝eq \f(N,n)＝eq \f(1 200,30)＝40.
答案：40
7．某高校有教授120人，副教授100人，讲师80人，助教60人，现用分层抽样的方法从以上所有老师中抽取一个容量为n的样本．已知从讲师中抽取的人数为16，那么n＝________．
解析：依题意得，eq \f(80,120＋100＋80＋60)＝eq \f(16,n)，由此解得n＝72.
答案：72
8．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：
按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，则z的值为________．
解析：设该厂这个月共生产轿车n辆，
由题意得eq \f(50,n)＝eq \f(10,100＋300)，所以n＝2 000，
则z＝2 000－100－300－150－450－600＝400.
答案：400
9．最新高考改革方案已在上海和浙江实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：
在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且z＝2y.
(1)现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？
(2)在(1)中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出3人进行座谈，求至少有1名教师被选出的概率．
解：(1)由题意知eq \f(x,500)＝0.3，所以x＝150，
所以y＋z＝60.
因为z＝2y，所以y＝20，z＝40.
则应抽取“不赞成改革”的教师人数为eq \f(50,500)×20＝2，
应抽取“不赞成改革”的学生人数为eq \f(50,500)×40＝4.
(2)至少有1名教师被选出的概率
P＝eq \f(Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,4),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(12＋4,20)＝eq \f(4,5).
10．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：
(1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为研究生的概率；
(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取1人，此人的年龄为50岁以上的概率为eq \f(5,39)，求x，y的值．
解：(1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m，所以eq \f(30,50)＝eq \f(m,5)，解得m＝3.
抽取的样本中有研究生2人，本科生3人，分别记作S1，S2；B1，B2，B3.
从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)．
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)．
所以从中任取2人，至少有1人学历为研究生的概率为eq \f(7,10).
(2)由题意，得eq \f(10,N)＝eq \f(5,39)，解得N＝78.
所以35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20，
所以eq \f(48,80＋x)＝eq \f(20,50)＝eq \f(10,20＋y)，
解得x＝40，y＝5.
即x，y的值分别为40，5.
[综合题组练]
1．某学校有体育特长生25人，美术特长生35人，音乐特长生40人．用分层抽样的方法从中抽取40人，则抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为( )
A．8，14，18 B．9，13，18
C．10，14，16 D．9，14，17
解析：选C.因为25＋35＋40＝100，
用分层抽样的方法从中抽取40人，
所以每个个体被抽到的概率是P＝eq \f(40,100)＝eq \f(2,5)＝0.4，
所以体育特长生25人应抽25×0.4＝10(人)，
美术特长生35人应抽35×0.4＝14(人)，
音乐特长生40人应抽40×0.4＝16(人)．
2．一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，…，10.现抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组中随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码的个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是( )
A．63 B．64
C．65 D．66
解析：选A.由题设知，若m＝6，则在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同，而第7组中数字编号依次为60，61，62，63，…，69，故在第7组中抽取的号码是63.故选A.
3．北京某校三个年级共有18个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到18，现用系统抽样方法，抽取6个班进行调查．若抽到的编号之和为57，则抽到的最小编号为________．
解析：系统抽样的间隔为eq \f(18,6)＝3.设抽到的最小编号为x，
则x＋(3＋x)＋(6＋x)＋(9＋x)＋(12＋x)＋(15＋x)＝57.解得x＝2.
答案：2
4．经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出5位“喜欢”摄影的同学，1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多________人．
解析：设班里“喜欢”摄影的同学有y人，“一般”的有x人，“不喜欢”的有(x－12)人，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x－12,x)＝\f(1,3)，,\f(y,x)＝\f(5,3)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝18，,y＝30.))所以全班共有30＋18＋6＝54(人)，又30－eq \f(54,2)＝3(人)．所以“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多3人．
答案：3
5．为了解某市市民晚饭后1小时内的生活方式，调查小组设计了“阅读”“锻炼”“看电视”和“其他”四个选项，用随机抽样的方法调查了该市部分市民，并根据调查结果绘制成统计图如图所示．
根据统计图所提供的信息，解答下列问题：
(1)本次共调查了________名市民；
(2)补全条形统计图；
(3)该市共有480万市民，估计该市市民晚饭后1小时内“锻炼”的人数．
解：(1)本次共调查的市民人数为800÷40%＝2 000.故填2 000.
(2)晚饭后选择“其他”的人数为2 000×28%＝560，晚饭后选择“锻炼”的人数为2 000－800－240－560＝400.
将条形统计图补充完整，如图所示．
(3)晚饭后选择“锻炼”的人数所占的比例为400÷2 000＝20%，故该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数为480×20%＝96(万)．
6．据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3 600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：
已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05.
(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？
(2)在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流．求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望．
解：(1)因为抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，
所以eq \f(120＋x,3 600)＝0.05，解得x＝60.
所以持“无所谓”态度的人数共有3 600－2 100－120－600－60＝720，所以应在持“无所谓”态度的人中抽取720×eq \f(360,3 600)＝72(人)．
(2)由(1)知持“应该保留”态度的一共有180人，
所以在所抽取的6人中，在校学生为eq \f(120,180)×6＝4(人)，社会人士为eq \f(60,180)×6＝2(人)，于是第一组在校学生人数ξ＝1，2，3，
P(ξ＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,2),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(1,5)，P(ξ＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,2),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(3,5)，P(ξ＝3)＝eq \f(Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(0,2),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(1,5)，
ξ的分布列为
所以E(ξ)＝1×eq \f(1,5)＋2×eq \f(3,5)＋3×eq \f(1,5)＝2.
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
赞成改革
不赞成改革
无所谓
教师
120
y
40
学生
x
z
130
学历
35岁以下
35～50岁
50岁以上
本科
80
30
20
研究生
x
20
y
态度
调查人群
应该取消
应该保留
无所谓
在校学生
2 100人
120人
y人
社会人士
600人
x人
z人
ξ
1
2
3
P
eq \f(1,5)
eq \f(3,5)
eq \f(1,5)