2023届高考一轮复习讲义（理科）第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 第6讲　离散型随机变量及其分布列学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 第6讲　离散型随机变量及其分布列学案，共17页。学案主要包含了知识梳理，习题改编等内容，欢迎下载使用。

一、知识梳理
1．离散型随机变量
(1)随机变量
特点：随着试验结果的变化而变化的变量．
表示：常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
(2)离散型随机变量的特点
所有取值可以一一列举出来．
2．离散型随机变量的分布列
(1)定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则下表
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．
(2)性质：
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))pi＝1.
3．常见的两类特殊分布列
(1)两点分布
若随机变量X服从两点分布，则其分布列为
其中p＝P(X＝1)称为成功概率．
(2)超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝eq \f(Ceq \\al(k,M)Ceq \\al(n－k,N－M),Ceq \\al(n,N))，k＝0，1，2，…，m，即：
其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
常用结论
1．随机变量的线性关系
若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．
2．分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．
(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
二、习题改编
1．(选修2­3P77A组T1改编)设随机变量X的分布列如下：
则p＝________．
解析：由分布列的性质知，eq \f(1,12)＋eq \f(1,6)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)＋p＝1，
所以p＝1－eq \f(3,4)＝eq \f(1,4).
答案：eq \f(1,4)
2．(选修2­3P49A组T1改编)有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是________．
解析：因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取到次品数为0，1，2，3.
答案：0，1，2，3
3．(选修2­3P49A组T5改编)设随机变量X的分布列为
则P(|X－3|＝1)＝________．
解析：由eq \f(1,3)＋m＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,6)＝1，解得m＝eq \f(1,4)，
P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)
＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,6)＝eq \f(5,12).
答案：eq \f(5,12)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．( )
(2)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( )
(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )
(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．( )
(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．( )
(6)由下表给出的随机变量X的分布列服从两点分布．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)×
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ｋ))(1)随机变量的概念不清；
(2)超几何分布类型掌握不准；
(3)分布列的性质不清致误．
1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( )
A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数 D．取到的球的个数
解析：选C.A，B两项表述的都是随机事件，D项是确定的值2，并不随机；C项是随机变量，可能取值为0，1，2.故选C.
2．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)＝________．
解析：{X＝4}表示从盒中取了2个旧球，1个新球，故P(X＝4)＝eq \f(Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,9),Ceq \\al(3,12))＝eq \f(27,220).
答案：eq \f(27,220)
3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝________．
解析：由已知得X的所有可能取值为0，1，且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝0)＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
离散型随机变量的分布列的性质(典例迁移)
设离散型随机变量X的分布列为
求：(1)2X＋1的分布列；
(2)P(1＜X≤4)．
【解】 由分布列的性质知：
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，
解得m＝0.3.
(1)2X＋1的分布列：
(2)P(1＜X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.1＋0.3＋0.3＝0.7.
【迁移探究】 (变问法)在本例条件下，求|X－1|的分布列．
解：|X－1|的分布列：
eq \a\vs4\al()
离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值．
(2)若X为随机变量，则2X＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．
1．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
则q的值为( )
A．1 B．eq \f(3,2)±eq \f(\r(33),6)
C.eq \f(3,2)－eq \f(\r(33),6) D．eq \f(3,2)＋eq \f(\r(33),6)
解析：选C.由分布列的性质知
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－3q≥0，,q2≥0，,\f(1,3)＋2－3q＋q2＝1，))
解得q＝eq \f(3,2)－eq \f(\r(33),6).
2．离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝eq \f(a,n（n＋1）)(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(eq \f(1,2)