2023届高考一轮复习讲义（理科）第四章　三角函数、解三角形 第3讲　第2课时　简单的三角恒等变换学案

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三角函数式的化简(师生共研)
(1)化简：eq \f(2cs4x－2cs2x＋\f(1,2),2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)))＝________；
(2)(一题多解)化简：sin2αsin2β＋cs2αcs2β－eq \f(1,2)cs 2αcs 2β＝________．
【解析】 (1)原式＝eq \f(\f(1,2)（4cs4x－4cs2x＋1）,2×\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)))·cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)))
＝eq \f(（2cs2x－1）2,4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)))
＝eq \f(cs22x,2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x)))＝eq \f(cs22x,2cs 2x)＝eq \f(1,2)cs 2x.
(2)法一：原式＝eq \f(1－cs 2α,2)·eq \f(1－cs 2β,2)＋eq \f(1＋cs 2α,2)·eq \f(1＋cs 2β,2)－eq \f(1,2)cs 2αcs 2β＝
eq \f(1－cs 2β－cs 2α＋cs 2αcs 2β,4)＋
eq \f(1＋cs 2β＋cs 2α＋cs 2αcs 2β,4)－eq \f(1,2)cs 2αcs 2β＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)cs 2αcs 2β－eq \f(1,2)cs 2αcs 2β＝eq \f(1,2).
法二：原式＝(1－cs2α)(1－cs2β)＋cs2αcs2β－eq \f(1,2)(2cs2α－1)(2cs2β－1)
＝1－cs2β－cs2α＋cs2αcs2β＋cs2αcs2β－eq \f(1,2)(4cs2αcs2β－2cs2α－2cs2β＋1)
＝1－cs2β－cs2α＋2cs2αcs2β－2cs2αcs2β＋cs2α＋cs2β－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).
法三：原式＝sin2αsin2β＋cs2αcs2β－eq \f(1,2)(cs2α－sin2α)·(cs2β－sin2β)
＝eq \f(1,2)(2sin2αsin2β＋2cs2αcs2β－cs2αcs2β＋cs2αsin2β＋sin2αcs2β－sin2αsin2β)
＝eq \f(1,2)[sin2α(sin2β＋cs2β)＋cs2α(sin2β＋cs2β)]
＝eq \f(1,2)(sin2α＋cs2α)＝eq \f(1,2).
【答案】 (1)eq \f(1,2)cs 2x (2)eq \f(1,2)
eq \a\vs4\al()
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(2)三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
1．化简：eq \f(2sin（π－α）＋sin 2α,cs2\f(α,2))＝________．
解析：eq \f(2sin（π－α）＋sin 2α,cs2\f(α,2))＝eq \f(2sin α＋2sin αcs α,\f(1,2)（1＋cs α）)
＝eq \f(2sin α（1＋cs α）,\f(1,2)（1＋cs α）)＝4sin α.
答案：4sin α
2．化简：eq \f(（1＋sin α＋cs α）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)－sin \f(α,2))),\r(2＋2cs α))＝________(其中0