2023届高考一轮复习讲义（理科）第四章　三角函数、解三角形 第6讲　高效演练分层突破学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第四章　三角函数、解三角形 第6讲　高效演练分层突破学案，共7页。

1．(2020·湖北武汉调研测试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝eq \r(3)b，A－B＝eq \f(π,2)，则角C＝( )
A.eq \f(π,12) B．eq \f(π,6)
C.eq \f(π,4) D．eq \f(π,3)
解析：选B.因为在△ABC中，A－B＝eq \f(π,2)，所以A＝B＋eq \f(π,2)，所以sin A＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,2)))＝cs B，因为a＝eq \r(3)b，所以由正弦定理得sin A＝eq \r(3)sin B，所以cs B＝eq \r(3)sin B，所以tan B＝eq \f(\r(3),3)，因为B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,6)，所以C＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,2)))－eq \f(π,6)＝eq \f(π,6)，故选B.
2．(2020·湖南怀化一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若2S＝(a＋b)2－c2，则tan C的值是( )
A.eq \f(4,3) B．eq \f(3,4)
C．－eq \f(4,3) D．－eq \f(3,4)
解析：选C.因为S＝eq \f(1,2)absin C，c2＝a2＋b2－2abcs C，
所以由2S＝(a＋b)2－c2，
可得absin C＝(a＋b)2－(a2＋b2－2ab·cs C)，
整理得sin C－2cs C＝2，所以(sin C－2cs C)2＝4，
所以eq \f(（sin C－2cs C）2,sin2C＋cs2C)＝4，eq \f(sin2C＋4cs2C－4sin Ccs C,sin2C＋cs2C)＝4，化简得3tan2C＋4tan C＝0，
因为C∈(0，π)，
所以tan C＝－eq \f(4,3)，故选C.
3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析：选B.因为bcs C＋ccs B＝asin A，所以由正弦定理得sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin2A，所以sin(B＋C)＝sin2A.又sin(B＋C)＝sin A且sin A≠0，所以sin A＝1，所以A＝eq \f(π,2)，所以△ABC为直角三角形，故选B.
4．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝eq \r(3)，则S△ABC＝( )
A.eq \r(2) B．eq \r(3)
C.eq \f(\r(3),2) D．2
解析：选C.因为A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°，所以由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B，得c＝2，所以由正弦定理得S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(\r(3),2)，故选C.
5．在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边且∠A＝60°，若S△ABC＝eq \f(3\r(3),2)且2sin B＝3sin C，则△ABC的周长等于( )
A．5＋eq \r(7) B．12
C．10＋eq \r(7) D．5＋2eq \r(7)
解析：选A.在△ABC中，∠A＝60°.因为2sin B＝3sin C，故由正弦定理可得2b＝3c，再由S△ABC＝eq \f(3\r(3),2)＝eq \f(1,2)bc·sin A，可得bc＝6，所以b＝3，c＝2.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc·cs A＝7，所以a＝eq \r(7)，故△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋eq \r(7)，故选A.
6．(2020·河北衡水模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且有a＝1，eq \r(3)sin Acs C＋(eq \r(3)sin C＋b)cs A＝0，则A＝________．
解析：由eq \r(3)sin Acs C＋(eq \r(3)sin C＋b)cs A＝0，得eq \r(3)sin Acs C＋eq \r(3)sin Ccs A＝－bcs A，所以eq \r(3)sin (A＋C)＝－bcs A，即eq \r(3)sin B＝－bcs A，又eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，所以eq \f(\r(3),cs A)＝eq \f(－b,sin B)＝－eq \f(a,sin A)，从而eq \f(sin A,cs A)＝－eq \f(1,\r(3))⇒tan A＝－eq \f(\r(3),3)，又因为0答案：eq \f(5π,6)
7．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积为________．
解析：法一：因为a＝2c，b＝6，B＝eq \f(π,3)，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccs eq \f(π,3)，得c＝2eq \r(3)，所以a＝4eq \r(3)，所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×4eq \r(3)×2eq \r(3)×sin eq \f(π,3)＝6eq \r(3).
法二：因为a＝2c，b＝6，B＝eq \f(π,3)，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccs eq \f(π,3)，得c＝2eq \r(3)，所以a＝4eq \r(3)，所以a2＝b2＋c2，所以A＝eq \f(π,2)，所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×6＝6eq \r(3).
答案：6eq \r(3)
8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acs B－c－eq \f(b,2)＝0，a2＝eq \f(7,2)bc，b>c，则eq \f(b,c)＝________．
解析：由acs B－c－eq \f(b,2)＝0及正弦定理可得sin AcsB－sin C－eq \f(sin B,2)＝0.因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acs B＋cs Asin B，所以－eq \f(sin B,2)－cs Asin B＝0，所以cs A＝－eq \f(1,2)，即A＝eq \f(2π,3).由余弦定理得a2＝eq \f(7,2)bc＝b2＋c2＋bc，即2b2－5bc＋2c2＝0，又b>c，所以eq \f(b,c)＝2.
答案：2
9．(2020·河南郑州一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为S，且满足sin B＝eq \f(b2,4S).
(1)求sin Asin C；
(2)若4cs Acs C＝3，b＝eq \r(15)，求△ABC的周长．
解：(1)因为△ABC的面积为S＝eq \f(1,2)acsin B，sin B＝eq \f(b2,4S)，
所以4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)acsin B))×sin B＝b2，所以ac＝eq \f(b2,2sin2B)，
所以由正弦定理可得sin Asin C＝eq \f(sin2B,2sin2B)＝eq \f(1,2).
(2)因为4cs Acs C＝3，sin Asin C＝eq \f(1,2)，
所以cs B＝－cs(A＋C)＝sin Asin C－cs Acs C＝eq \f(1,2)－eq \f(3,4)＝－eq \f(1,4)，
因为b＝eq \r(15)，所以ac＝eq \f(b2,2sin2B)＝eq \f(b2,2（1－cs2B）)＝eq \f(（\r(15)）2,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,16))))＝8，
所以由余弦定理可得15＝a2＋c2＋eq \f(1,2)ac＝(a＋c)2－eq \f(3,2)ac＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋c))eq \s\up12(2)－12，
解得a＋c＝3eq \r(3)，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝3eq \r(3)＋eq \r(15).
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a2＋c2－b2＝abcs A＋a2csB．
(1)求角B；
(2)若b＝2eq \r(7)，tan C＝eq \f(\r(3),2)，求△ABC的面积．
解：(1)因为a2＋c2－b2＝abcs A＋a2cs B，所以由余弦定理，得2accs B＝abcs A＋a2cs B，
又a≠0，所以2ccs B＝bcs A＋acsB．由正弦定理，得2sin Ccs B＝sin Bcs A＋sin Acs B＝sin(A＋B)＝sin C，
又C∈(0，π)，sin C>0，所以cs B＝eq \f(1,2).
因为B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，π))，所以B＝eq \f(π,3).
(2)由tan C＝eq \f(\r(3),2)，C∈(0，π)，得sin C＝eq \f(\r(21),7)，cs C＝eq \f(2\r(7),7)，所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcs C＋cs Bsin C＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(2\r(7),7)＋eq \f(1,2)×eq \f(\r(21),7)＝eq \f(3\r(21),14).
由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得a＝eq \f(bsin A,sin B)＝eq \f(2\r(7)×\f(3\r(21),14),\f(\r(3),2))＝6，所以△ABC的面积为eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×6×2eq \r(7)×eq \f(\r(21),7)＝6eq \r(3).
[综合题组练]
1．(2020·安徽六安模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \f(2a－c,b)＝eq \f(cs C,cs B)，b＝4，则△ABC的面积的最大值为( )
A．4eq \r(3) B．2eq \r(3)
C．2 D．eq \r(3)
解析：选A.因为在△ABC中，eq \f(2a－c,b)＝eq \f(cs C,cs B)，
所以(2a－c)cs B＝bcs C，
所以(2sin A－sin C)cs B＝sin Bcs C，
所以2sin Acs B＝sin Ccs B＋sin Bcs C＝sin(B＋C)＝sin A，
所以cs B＝eq \f(1,2)，即B＝eq \f(π,3)，由余弦定理可得16＝a2＋c2－2accs B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac，所以ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，
所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(\r(3),4)ac≤4eq \r(3).故选A.
2．(2020·福建漳州二模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acs A＝bcs C＋ccs B，b＋c＝3，则a的最小值为( )
A．1 B．eq \r(3)
C．2 D．3
解析：选B.在△ABC中，因为3acs A＝bcs C＋ccs B，
所以3sin Acs A＝sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin(B＋C)＝sin A，
即3sin Acs A＝sin A，又A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cs A＝eq \f(1,3).
因为b＋c＝3，所以两边平方可得b2＋c2＋2bc＝9，由b2＋c2≥2bc，可得9≥2bc＋2bc＝4bc，解得bc≤eq \f(9,4)，当且仅当b＝c时等号成立，所以由a2＝b2＋c2－2bccs A，可得a2＝b2＋c2－eq \f(2,3)bc＝(b＋c)2－eq \f(8bc,3)≥9－eq \f(8,3)×eq \f(9,4)＝3，当且仅当b＝c时等号成立，所以a的最小值为eq \r(3).故选B.
3．(2020·湖北恩施2月质检)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cs B＝eq \f(1,3)，b＝4，S△ABC＝4eq \r(2)，则△ABC的周长为________．
解析：由cs B＝eq \f(1,3)，得sin B＝eq \f(2\r(2),3)，由三角形面积公式可得eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)ac·eq \f(2\r(2),3)＝4eq \r(2)，则ac＝12①，由b2＝a2＋c2－2accs B，可得16＝a2＋c2－2×12×eq \f(1,3)，则a2＋c2＝24②，联立①②可得a＝c＝2eq \r(3)，所以△ABC的周长为4eq \r(3)＋4.
答案：4eq \r(3)＋4
4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a2＋b2－c2)(acs B＋bcs A)＝abc.若a＋b＝2，则c的取值范围为________．
解析：在△ABC中，因为(a2＋b2－c2)(acs B＋bcs A)＝abc，
所以eq \f(a2＋b2－c2,ab)(acs B＋bcs A)＝c，
由正、余弦定理可得2cs C(sin Acs B＋sin Bcs A)＝sin C，所以2cs Csin(A＋B)＝sin C，即2cs Csin C＝sin C，
又sin C≠0，所以cs C＝eq \f(1,2)，因为C∈(0，π)，所以C＝eq \f(π,3)，B＝eq \f(2π,3)－A，
所以由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－A)))＝eq \f(c,\f(\r(3),2))，可得a＝eq \f(csin A,\f(\r(3),2))，b＝eq \f(csin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－A)),\f(\r(3),2))，
因为a＋b＝2，所以eq \f(csin A,\f(\r(3),2))＋eq \f(csin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－A)),\f(\r(3),2))＝2，
整理得c＝eq \f(\r(3),sin A＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－A)))＝eq \f(\r(3),\f(3,2)sin A＋\f(\r(3),2)cs A)＝eq \f(1,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6))))，
因为A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，所以A＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))，可得
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，所以c＝eq \f(1,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6))))∈[1，2)．
答案：[1，2)
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6))).
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
解：(1)在△ABC中，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，可得bsin A＝asin B，又由bsin A＝acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))，得asin B＝acs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))，即sin B＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))，可得tan B＝eq \r(3).又因为B∈(0，π)，可得B＝eq \f(π,3).
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝eq \f(π,3)，有b2＝a2＋c2－2accs B＝7，故b＝eq \r(7).
由bsin A＝acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))，可得sin A＝eq \f(\r(3),\r(7)).因为a所以sin(2A－B)＝sin 2Acs B－cs 2Asin B＝eq \f(4\r(3),7)×eq \f(1,2)－eq \f(1,7)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),14).
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，A＝60°.
(1)若△ABC的面积为3eq \r(3)，a＝eq \r(13)，求b－c；
(2)若△ABC是锐角三角形，求sin Bsin C的取值范围．
解：(1)由S△ABC＝3eq \r(3)，得eq \f(1,2)bcsin A＝3eq \r(3)，
即eq \f(1,2)bcsin 60°＝3eq \r(3)，得bc＝12.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccs A，即b2＋c2－bc＝13，
所以(b－c)2＝13－bc＝1，所以b－c＝1或b－c＝－1.
(2)因为A＝60°，所以B＋C＝120°，所以C＝120°－B.
所以sin Bsin C＝sin Bsin(120°－B)
＝sin Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs B＋\f(1,2)sin B))＝eq \f(\r(3),4)sin 2B＋eq \f(1－cs 2B,4)
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin 2B－\f(1,2)cs 2B＋\f(1,2)))＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2B－30°))＋eq \f(1,4).
因为△ABC是锐角三角形，所以C＝120°－B<90°，得B>30°，
所以30°所以eq \f(1,2)所以eq \f(1,2)所以sin Bsin C的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4))).